巧用整体思想妙解难题

范洪雷

巧用整体思想妙解难题

范洪雷

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，根据研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养思维的灵活性、敏捷性.在代数式的化简求值时常用此法.

我们可从一道例题说起：

例1（苏科版《数学》教材七年级上册，第82页议一议）

求代数式5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y）的值，其中

【分析】此题x，y的值已知，所以可以直接代入求值，但是计算过程烦琐.我们通过观察发现，所求代数式之间都有（x-2y），所以把（x-2y）看成一个整体a，合并后再求值.

解：设x-2y=a，

原式=5a-3a+8a-4a=6a，

【分析】根据条件显然无法计算出x，y的值，只能考虑在所求代数式中构造出的形式，再整体代入求解.

【点评】根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入.从整体上把握解的方向和策略，使复杂问题简单化.

例3已知代数式x2+x+3的值是5，求代数式-3x2-3x+6的值.

【分析】当所求代数式的项与已知代数式中相应的项成倍数关系时，可考虑用整体代入求值.本题可把x2+x看成整体，进行整体代入.

解：因为x2+x+3=5，所以x2+x=2，所以

-3x2-3x+6

=-3（x2+x）+6

=-3×2+6

=0.

【点评】整体代入求值时，关键要分清所求代数式与已知代数式之间的关系，适当变形后再整体代入计算.

【分析】从表面看本题是一道常规的化简求值题，其常规解法就是先化简所给的式子，然后求出a的值，最后代入求值.但当我们将所给式子进行化简后，发现有“a2-a”这样一个整体，此时就可以不求a的值，进行整体代入求值会更简便.

=（a-2）（a+1）

=a2-a-2，

所以，当a2-a-1=0时，即a2-a=1，

原式=1-2=-1.

【点评】分式化简求值中经常运用整体思想，有些问题，从表面上看需要求出相关量，但实质上若从整体上把握这些量之间的关系，思路更为明朗，解法更为巧妙.

【分析】所要计算的四个括号中有相似的结构，可把其中两个分别看作一个整体，用相应字母代替，使运算简化.

【点评】本题直接计算非常复杂，根据题目结构特点进行整体设元，从而使运算变得简便.

例6已知x2-x-1=0，试求代数式-x3+ 2x+2008的值.

【分析】考虑所求式有3次方，而已知式可变形为x2=x+1.这样由乘法的分配律可将x3写成x2·x=x（x+1）=x2+x，这样可将3次降为2次，再进一步变形即可求解.

解：因为x2-x-1=0，所以x2=x+1，则

-x3+2x+2008

=-x2·x+2x+2008

=-x（x+1）+2x+2008

=-x2+x+2008

=-（x2-x-1）+2007

=2007.

【点评】本题是初中阶段很少接触到的三次方程，那么用初中阶段的知识直接解题是肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次，所需解题的技巧性还是很强的，同学们还可考虑更高次的方程该如何解决.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）