利用函数知识巧解规律探索题

王维松

利用函数知识巧解规律探索题

王维松

规律探索问题是中考常考题型，类型比较多，此类题型解法也多种多样，有一些规律探索问题根据数字规律，巧用函数知识可以很快解决.其关键是把变量和序号放在一起加以比较，就容易发现其中的奥秘.

一、巧用一次函数解题

例1有一列数：8，14，20，26，32，……，则第20个数是_______.

【解析】第一个数是8，由序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）；

第二个数是14，由序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）；

第三个数是20，由序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）.

设第n个数为y=kn+b，

把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：解得：k=6，b=2，用C点检验，符合题意，正确.

所以规律为y=6n+2.取n=20，则y=122.

【点评】我们发现相邻之间的数据差相等，便可运用一次函数求解规律探索问题，只要把序号作为自变量，每个变量作为函数值，用待定系数法就可以解决.

例2用边长为1 cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______cm（用含n的代数式表示）.

【解析】第一个图周长是4 cm，由序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，4）；

第二个图周长是8 cm，由序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，8）；

第三个图周长是12 cm，由序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，12）.

设第n个图形的周长为y=kn+b，

把A（1，4），C（3，12）分别代入y=kn+b中得：解得：k=4，b=0，

用B点检验，符合题意，正确.

所以规律为y=4n.

即第n次所搭图形的周长是4n cm.

【点评】对于此类型的题目，我们应该先观察图形排列顺序的规律，然后把它们转化为相应的数据，并根据规律用函数模型表示图形的数量关系、变化规律加以解答.

二、巧用二次函数解题

例3有一列数1，3，6，10，15，21，……，第50个数是_______.

【解析】本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律，我们不妨利用函数的思想去试一试.

当序号为1时，对应的值是1，由序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，1）；

当序号为2时，对应的值是3，由序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，3）；

当序号为3时，对应的值是6，由序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，6）.

对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c.

把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an2+bn+c中，得：

检验：当x=4时，y=10，正确.

∴第50个数是1275.

【点评】一组数据，每相邻两个数据作差得到的新数据等差，如果是4组以上的数据，就可以任取三个数据，用函数关系y= ax2+bx+c列出方程组，分别求出a、b、c的值，再将第四组数据代入验证，如果不正确，说明不能用函数找规律.

例4下图中的实心点个数分别为1，5，12，22，……被称为五角形数，若按此规律继续下去，则第n个五角形数m是_______.

【解析】观察图形的序号与点数有下列关系：

序号：1234……

点总数：151222……

设m与n的函数解析式是m=an2+bn+c

【点评】解题时，如果题中隐去了序列号，要加上序列号，以便列出方程组求解.

三、运用其他类型函数解题

例5观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有（）个.

A.4nB.3n-2

C.n4D.4n-1

【解析】观察本图形，会发现序号与三角形个数关系十分复杂，但根据所给选项知道结果是幂的形式，且呈现以下规律：

序号：1234……

点总数：1222426……

设三角形的个数为y=2an+b，代入上述两组数据，得

解这个方程组得：a=2，b=-2，

检验：当x=3时，y=16，正确.

∴第n个图中最小的三角形的个数为y=22n-2=4n-1，选D.

【点评】一般地运用an类型函数求解的“找规律”题，我们发现相邻之间的数据商相等.

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）