函数图像平移问题解法指导

肖智敏

函数图像平移问题解法指导

肖智敏

在平面内将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.

函数的图像是图形，所以有关函数图像平移问题，其实质就是图形沿着x轴方向或y轴方向左右或上下移动，从而得到同样形状的新图像，是数形结合的典型问题.这类问题在中考试题中较为常见，而且形式多样、变化多种，同学们在遇到时普遍感到迷惑、易错.下面我就平移的基本特征，谈谈函数图像平移的规律.

一、一次函数的图像平移问题

一次函数的图像是直线，在一次函数y=kx+b中常数k决定着直线的倾斜程度：直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2.在此基础上，遵循下面规律即可实现直线平移.

例1将一个一次函数的图像向下平移2个单位长度后，所得的直线的关系式为y=5x-4，求原函数的关系式.

【解析】可设原函数的关系式为y=5x+ b，根据平移法则可知：b-2=-4，b=-2，所以原函数的关系式为y=5x-2.

例2函数y=3x+1的图像沿x轴正方向平行移动_______单位，使它过点（1，-1）.

【解析】将函数y=3x+1的图像沿x轴正方向平移m个单位，可以看作向右平移m个单位，根据平移法则，平移后的解析式为y=3（xm）+1，由平移后的图像过点（1，-1）可得

二、二次函数的图像平移问题

平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化.也就是说任意抛物线y=a（xh）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到：

例3把抛物线y=x2+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是y=x2-3x+5，则有（）.

A.b=3，c=7B.b=-9，c=-15

C.b=3，c=3D.b=-9，c=21

【解析】本题若先将y=x2+bx+c化为顶点式，按平移规律解答，较为烦琐，若采用逆推法，即将y=x2-3x+5=向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图像，较为简单，因此，，化简得y=x2+3x+7.选A.

例4把抛物线y=-3（x-1）2向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，已知，则平移后的抛物线解析式为_______.

【解析】根据平移法则，平移后的解析式为：

y=-3（x-1）2+k，即y=-3x2+6x+k-3.

∴y=-3（x-1）2+，即y=-3x2+6x-

三、反比例函数的图像平移问题

反比例函数图像为双曲线，平移时同样遵循平移变换化简口诀：左加右减，上加下减.

四、函数图像平移问题的综合应用

例6如图1，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式.

图1

【解析】首先过B作B′B∥OC，则点B平移后的对应点为B′，然后过B′作B′D⊥x轴于D，

∴点B′可以看成点B先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到，

∴平移后解析式为y=2（x-3）+1+3，即y=2x-2.

例7如图2，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+ bx+c经过x轴上的点A、B.

图2

（1）求点A、B、C的坐标.

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式.

【解析】（1）由平行四边形性质易求出A（2，0），B（6，0），C（4，8）；

（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，易求得a=-2，即抛物线解析式为y= -2（x-4）2+8.

∵抛物线向上平移，

∴设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，把（0，8）代入上式得k=32，

∴平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+ 40，即y=-2x2+16x+8.

【总结】对于一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0），反比例函数（k≠0），若将它们的函数图像向上（或下）平移m个单位，平移后的解析式分别为y=kx+b±m，y=a（x-h）2+k±m若将它们的函数图像向左（或右）平移n个单位，平移后的解析式分别为y=k（x±n）+b， y=a（x-h±n）2+k.简而言之：上加下减，左加右减.根据这一原则，可以顺利解答各类平移问题.

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）