让规范成为一种解题习惯

孙伟刚

让规范成为一种解题习惯

孙伟刚

方程（组）与不等式（组）是初中数学中最基本、最核心的知识和技能之一，这块内容也是历年中考命题的重点和热点.从近几年各地中考的发展趋势来看，既重视对基础知识的考查，如直接考解方程（组）或解不等式（组），又注重考查综合运用知识的能力，如考方程（组）与图形的运动相结合问题，考不等式（组）与函数相结合的实际问题等.那么如何规范地解答有关方程（组）与不等式（组）的问题呢？笔者想通过举例予以说明，旨在给同学们有所启迪.

一、考查解方程与解不等式问题

例1（2015·庆阳）（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m-1= 0有两个相等的实数根.

（1）求m的值；

（2）解原方程.

【考点】根的判别式；解一元二次方程.

【分析】（1）据题意得到：Δ=0，由此列出关于m的方程并解答；（2）用直接开平方法解方程.

∴Δ=m2-4×m×（m-1）=0，且m≠0，（3分）

解得m=2；（5分）

（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+ 2x+1=0，（6分）

即（x+1）2=0，（7分）

解得x1=x2=-1.（8分）

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+ bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ= 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.但必须注意上述结论是针对一元二次方程来说的，因此，同学们解答此题时，应首先考虑a≠0这个前提条件，也就是说，不能漏了m≠0这个踩分点，否则会影响答案的完整，白白扣了2分，会而不对，令人惋惜.

解答第（2）小题时，首先应明确是在解答了第（1）小题的前提下进行的，因此第（1）小题的结论“m=2”可以作为条件直接拿来使用，从而确定一元二次方程.而解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对本题来讲，同学们任意选择一种方法都是可以的，只是方程的解应写成“x1=x2=-1”的形式，因为对于一元二次方程来说，要么没有实数根，要么就一定有两个实数根，如果把解写成“x=-1”将会扣掉1分.可见，打牢基础，注重细节，规范解题是何等的重要啊！

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集.

【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把x的系数化为1即可.

解：去分母得，4（2x-1）≤3（3x+2）-12，（1分）

去括号得，8x-4≤9x+6-12，（2分）移项得，8x-9x≤6-12+4，

合并同类项得，-x≤-2，（3分）把x的系数化为1得，x≥2.（4分）在数轴上表示为：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.一元一次不等式的解法步骤虽与解一元一次方程类似，但不完全相同，特别是“把x的系数化为1”这一步骤，两者有质的区别.如，由“-x=-2”得到“x=2”显得顺理成章，而由“-x≤-2”得到“x≥2”却是深入理解和掌握不等式基本性质3后才有的良好效果.同学们脑海中必须强化“不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变”这一性质，才会牢牢抓住这宝贵的1分，如果仅仅归结为粗心是不可取的，应上升到对不等式的基本性质缺乏理解和认识这一高度.让自己的思维更严谨些，让平时的做题更规范些，这才是同学们应有的态度.

另外，在数轴上表示不等式的解集时，可按如下“三部曲”进行：①画数轴；②定边界点，含等号用实心圈，无等号用空心圈；③定方向，大于向右画，小于向左画.按部就班，把最后这1分得到，让这种方式成为你的解题习惯，你会因为好习惯受益终身.

二、考查方程（组）与不等式（组）的综合应用问题

例3（2015·宁夏）（本题满分8分）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个.

（1）原计划募捐3 400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？

（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4 800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？

【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用.

【分析】（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60-x）个，根据题意得：50x+ 70（60-x）=3 400，即可解答；

（2）设女款书包能买y个，则男款书包（80-y）个，根据题意得：70y+50（80-y）≤4 800，即可解答.

解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60-x）个，（1分）

根据题意得：50x+70（60-x）=3400，（2分）

解得：x=40，

60-x=60-40=20.（3分）

答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个.（4分）

（2）设女款书包能买y个，则男款书包买（80-y）个，（5分）

根据题意得：70y+50（80-y）≤4 800，（6分）

解得：y≤40，（7分）

所以女款书包最多能买40个.（8分）

【点评】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式.对于第（1）小题，首先应熟知列一元一次方程解应用题的一般步骤：①根据问题设出未知数；②根据等量关系列出一元一次方程；③解出方程并验根；④根据问题做出答.每个步骤各1分，其中第①步设未知数时需带上单位，同时应把相关的量用含未知数的代数式表示出来，这1分就抓住了.而第③步注意看清要求的两个量，除了求出男款书包的数量，还得求出女款书包的数量，这样才能获得1分.第④步作答让解应用题步骤更完整，也有1分，不容小觑.

对于第（2）小题，同样应熟知列一元一次不等式解应用题的一般步骤（与列一元一次方程解应用题的一般步骤类似，这里不赘述），也是每个步骤各1分.需要提醒同学们的是，第①步设未知数时有所变化，如果想当然地设为“女款书包最多能买y个”，就会失去这1分，因为列出的不等式求解实质上是求它的解集，而解集中的每个值不可能都是“y的值”，因此设为“女款书包能买y个”就比较恰当，事实上，诸如求“最多”量、“最少”量均可以在解集中寻找答案，这点提请同学们务必注意.

例4（2015·庆阳）（本题满分8分）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元.

（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；

（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17 400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案.

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用.

【分析】（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得到方程组即可解得结果；

（2）设购进篮球m个，排球（100-m）个，根据题意得不等式组即可得到结果.

解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，（1分）

答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元.（4分）

（2）设购进篮球m个，排球（100-m）个，

根据题意得：

∴m=34或m=35.（7分）

∴购进篮球34个、排球66个，或购进篮球35个、排球65个两种购买方案.（8分）

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键.在第（1）小题中，利用“销售两种球”所获的不同利润，寻找等量关系，建立二元一次方程组，并按步解答，不难获得4分；在第（2）小题中，以“所用资金”和“球类数量”为线索，寻找不等关系，从而建立不等式组.需要强调的是，求出的结果要进行合理的取舍.如，求得m的取值范围后，就需要同学们注意到“m为整数”这一隐含条件来确定m的值.而作答时，不仅仅是回答“有两种方案”，还需回答具体的方案设计情况.看清问题的要求，作出规范的解答，养成良好的解题习惯，应成为同学们学习的常态.

同学们，考试的一个特点是以卷面为唯一依据，这就要求我们要做到会而且对，对而且全，全而且规范.不规范的解答，诸如“跳步骤”“缺步骤”“游离解题计划”等是造成失分的重要根源.养成规范的解题习惯，注重步骤，注重细节，准不吃亏.因为数学是按步骤给分的，踩上知识点就给分，踩得多就给得多，这足以说明解题规范的重要性.让规范成为一种解题习惯吧！

（作者单位：江苏省无锡市港下中学）