分数阶和整数阶混沌系统的投影同步

邵克勇 马 迪 陈柏全 张婷婷 徐 向

(东北石油大学电气信息工程学院，黑龙江 大庆 163318)

分数阶和整数阶混沌系统的投影同步

邵克勇 马 迪 陈柏全 张婷婷 徐 向

(东北石油大学电气信息工程学院，黑龙江 大庆 163318)

介绍了一种新的三维分数阶混沌系统，通过理论解析、Lyapunov指数与维数求解以及变换分数阶混沌系统阶数时，系统相图和吸引子的变化情况验证了该系统是混沌的。通过研究追踪信号的理念和模拟整数阶混沌同步控制器的原理，发现了一个新的非线性控制器。理论推导和Matlab实例仿真结果表明：该非线性控制器可使分数阶混沌系统与同维整数阶混沌系统之间具有良好的投影同步效果。

分数阶混沌系统 整数阶混沌系统 投影同步 非线性控制器 Matlab

20世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹在分析天气预报问题时，发现一个微小的误差随着时间的不断推移能够造成巨大的后果，从而首次提出了空气动力学中的混沌现象，即“蝴蝶效应”[1]。混沌这只“小蝴蝶”从此便影响了整个非线性控制领域[2]。由于混沌在工程技术方面的重大研究价值及其在各个领域中的巨大应用前景[3]，混沌控制和同步问题作为混沌应用的关键环节已成为研究热点[4]。混沌控制的主要方法有线性反馈法、周期扰动与激励控制法和参数扰动法[5]。

混沌现象的本质是对系统初值的高度依赖性与外部扰动的极端敏感性[6]。近年来，在混沌同步研究中，相同阶数的混沌同步占据主导地位[7]，不同维数整数阶混沌系统的同步已成为大多数学术论文的核心思想[8,9]。但针对分数阶混沌系统的探讨却很少，尤其是整数阶与分数阶混沌系统之间的同步[10]。而发展分数阶混沌理论的应用领域与范围将会拓宽人们在非线性分数阶系统认知方面的视野[11]。为此，笔者通过对以往混沌系统性质、定义等方面的整理总结，提出了一个新的三维分数阶混沌系统，并基于分数阶稳定性理论特性和追踪控制思想优化了其控制器，使分数阶混沌系统与整数阶混沌系统达到更好的同步效果，最后依据理论推导和Matlab实例仿真证明了系统非线性控制器的可行性和有效性。

1 分数阶混沌系统①

考虑如下分数阶混沌系统：

(1)

其中，a、b、c、h为实常数；qi(i=1,2,3)为相应状态变量的阶数，且0

a. 状态轨迹

b. 吸引子图1 q1=q2=0.9、q3=0.8时 分数阶混沌系统的状态轨迹和吸引子

a. 状态轨迹

b. 吸引子图2 q1=q2=q3=0.9时 分数阶混沌系统的状态轨迹和吸引子

a. 状态轨迹

b. 吸引子图3 q1=q2=q3=0.8时 分数阶混沌系统的状态轨迹和吸引子

式(1)在(x,y,z)→(-x,-y,-z)变换下具有不变性，即式(1)关于z轴具有对称性，并且这种系统的对称性对于不同的系统参数都满足。由此可知，z轴本身也是系统的一条轨迹线。

(2)

即：

s0=(0,0,0)

s1=(8.299398,8.299398,24.6)

s2=(-8.299398,-8.299398,24.6)

其中，si(i=0,1,2)为系统的平衡点。则与s0对应的Jacobian矩阵为：

由det(J0-λI)=0可知，其特征值为：

λ1=-27.3736

λ2=17.9736

λ3=-2.800

通过Jacobian矩阵求得的Lyapunov指数分别为：

λ1.1=2.3554

λ1.2=0

λ1.3=-14.5561

系统的Lyapunov维数为：

2 整数阶混沌系统

考虑如下整数阶混沌系统：

(3)

当(a,b,c)=(20,14,10.6)时，式(3)存在混沌。因而式(1)可以改写成：

(4)

令同步误差e=y-λx，其中e=(e1,e2,…,en)T,ei=yi-λxi(i=1,2,…,n),λ为比例因子。

因而式(4)可改写为：

(5)

其中，β(x(t))为补偿器，ϑ(y(t),x(t))为自适应控制器。

引理2[15]驱动系统为：

学生进行自学活动的过程中，或许会产生一些新问题，有一些新想法，可能超出教师当初编写学案时所考虑的范围，教师在上课前对学生的这些问题进行收集、汇总、分析，在课堂上进行有效解答，对教师教学和学生学习都有利。

(6)

响应系统为：

(7)

其中，G为任意一个控制器；t为时间；矢量X,Y∈Rn，分别具有n维分量(x1,x2，…,xn)、(y1,y2,…,yn)。令X(t,t0；X0)、Y(t,t0；Y0)分别为式(6)、(7)的解，当存在一个子集D(t0)∈Rn时，则在初值X0,Y0∈D(t0),t→∞时存在的关系为：

则根据同步原理，可以将同步误差定义为：

ei=yi-λxi,i=1,2,3；λ≠0

或：

(8)

3 数值模拟

采用向响应系统中加入控制器的方法来观察式(3)、(4)能否实现投影同步，即验证所设计的控制器的可行性。选取式(2)作为驱动系统，为使驱动系统达到混沌状态，选取控制参数a=20，b=14,c=10.6,h=2.8,(q1,q2,q3)=(0.9,0.9,0.8)。初始点x1(0)=1,y1(0)=1,z1(0)=1,x2(0)=2,y2(0)=1,z2(0)=3。时间步长t=0.01，λ=2。选取式(3)作为响应系统。

加入控制器前后的系统同步误差曲线如图4、5所示。比较图4、5能够得出，当同步控制器u开始作用时，系统同步误差很快趋近于零，系统同步误差达到稳定，说明两个系统可以实现投影同步且同步效果良好。

图4 加入控制器之前的系统同步误差曲线

图5 加入控制器后的系统同步误差曲线

4 结束语

笔者介绍了一种新的三维分数阶混沌系统，该分数阶混沌系统与混沌系统相比，其动力学行为、拓扑结构更为复杂，动态行为更加难以预测、更难被破解。通过解析该三维分数阶混沌系统的理论参数、特性、相图和吸引子，以及分析当改变分数阶混沌系统的阶数时系统运动轨迹的变化情况等，证实了该系统是混沌的。数值模拟仿真结果表明，笔者所提控制器的控制效果较好，能够使系统同步误差稳定于零，拥有广阔的应用前景。

[1] 赵灵冬,胡建兵,刘旭辉.参数未知的分数阶超混沌Lorenz系统的自适应追踪控制与同步[J].物理学报,2010,59 (4):2305～2309.

[2] Cafagna D,Grassi G.Hyperchaos in the Fractional-Order Rossler System with Lowest-Order[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos,2009,19(1):339～347.

[3] Gao X.Chaotic Dynamics of Fractional-Order Liu System[J].Applied Mechanics and Materials,2011,55-57: 1327～1331.

[4] 杜太行,杨茜.基于混沌理论的触点交流接触压降的检测技术[J].化工自动化及仪表,2013,40(1):39～42.

[5] 李贤丽,张超颖,窦雪莹.超混沌系统的反同步研究[J].化工自动化及仪表,2015,42(5):512～515.

[6] 周云龙,何强勇.基于混沌理论与Elman神经网络的气固流化床流型识别[J].化工自动化及仪表,2009,36(5): 50～55.

[7] Chee C Y,Xu D.Secure Digital Communication Using Controlled Projective Synchronisation of Chaos[J]. Chaos Solitons & Fractals,2005,23(3):1063～1070.

[8] Li C,Liao X,Wong K W.Lag Synchronization of Hyperchaos with Application to Secure Communications[J]. Chaos Solitons & Fractals,2005,23(1):183～193.

[9] Ping Z.Synchronization between Fractional-Order Chaotic System and Chaotic System of Integer Orders[J]. Acta Physica Sinica,2010,59(10):6851～6858.

[10] Zhou P,Cao Y X.Function Projective Synchronization between Fractional-Order Chaotic Systems and Integer-Order Chaotic Systems[J]. Chinese Physics B,2010,19(10):163～166.

[11] Jia L X,Dai H,Hui M.Nonlinear Feedback Synchronisation Control between Fractional-Order and Integer-Order Chaotic Systems[J].Chinese Physics B,2010,19(11):194～199.

[12] Odibat Z M.Adaptive Feedback Control and Synchronization of Non-Identical Chaotic Fractional Order Systems[J].Nonlinear Dynamics,2010,60(4):479～487.

[13] Li S Y,Ge Z M.Generalized Synchronization of Chaotic Systems with Different Orders by Fuzzy Logic Constant Controller[J].Expert Systems with Applications,2011,38(3):2302～2310.

[14] 闵富红,余杨,葛曹君.超混沌分数阶Lü系统电路实验与追踪控制[J].物理学报,2009,58(3):1456～1461.

[15] Shi X R,Wang Z L.Adaptive Added-Order Anti-Synchronization of Chaotic Systems with Fully Unknown Parameters[J].Applied Mathematics & Computation,2009,215(5):1711～1717.

(Continued on Page 1084)

ProjectiveSynchronizationbetweenFractional-orderChaoticSystemandInteger-orderChaoticSystem

SHAO Ke-yong, MA Di, CHEN Bai-quan, ZHANG Ting-ting, XU Xiang

(CollegeofElectricalEngineeringandInformation,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,China)

TH865

A

1000-3932(2016)10-1060-06

2016-04-07(修改稿)

东北石油大学研究生创新科研项目(YJSCX2015-031NEPU )