有限元中基于ID的快速扫角算法

郝靖玮， 潘小敏， 盛新庆

(北京理工大学 信息与电子学院， 电磁仿真中心，北京 100081)



有限元中基于ID的快速扫角算法

郝靖玮， 潘小敏， 盛新庆

(北京理工大学 信息与电子学院， 电磁仿真中心，北京 100081)

基于interpolative decomposition (ID)技术的有限元快速扫角算法，能有效地计算电目标的单站雷达散射截面(RCS). 算法针对不同入射波对应的右端项(RHSs)，构成一个激励矩阵. 将ID技术应用到激励矩阵用来选取对应的Skeleton入射波的方向. 在采用快速算法得到Skeleton入射波对应的解之后，所要求解的角响应可以通过Skeleton对应的解重构出来. 对电目标的数值实验表明了该算法的效率和精度.

ID；Skeleton；角扫描；有限元

在许多电磁波散射的应用中，需要计算大范围角度的电磁场分布，本文称这种计算为角响应. 每个入射角度对应一个右端项，这就是说每个入射角度都需要一次求解，因此对于计算大范围角响应的需求，计算量很大. 目前人们主要采用基于有理函数逼近的算法来实现大范围角度响应的计算. 有两种方法来生成合理的近似函数：一种是插值模型，基于模型的参数估计(MBPE)[1]；另一种最先开始应用在高速电路分析，为渐进波形估计(AWE)[2]. MBPE的关键在于建立优良的拟合模型，但对于复杂目标，很难找到一种通用的拟合模型. AWE固有的问题在于其近似误差不可控，并且对于大尺寸问题，需要大量的插值点，而这些插值点的选取也是比较困难的. 为了解决这些问题，本文基于Skeleton-based快速扫角理论，利用interpolative decomposi-tion (ID)[3]技术和Skeleton概念[4-7]来计算电目标的RCS.

1 ID技术的简单介绍

首先对ID技术[3]做一个简单的介绍. 假定C是一个m×n的复矩阵，秩为q，q≤m，q≤n. 存在一个m×q的复矩阵B，B矩阵的列是C矩阵列的子集. 存在一个q×n型的矩阵P有以下性质：

①P矩阵列的子集组成q×q的单位矩阵；

② P中元素的绝对值都不大于1；

④ P矩阵的最小奇异值至少为1；

基于上述性质，近似的表达式可以写成

(1)

当Cm×n的秩大于q时，Cm×n的q+1阶奇异值非常小. 在式(1)进行分解之前，通常阈值εID用来控制近似误差.εID在L2范数标准下，衡量C和B·P的误差.

2 有限元方法

有限元方法(FEM)是一种非常有效的电磁计算方法，由于其使用灵活的四面体单元对计算区域进行离散，因此该方法非常适合于求解复杂金属和介质目标的电磁特性[8].

三维复杂目标的散射属于开域问题，使用有限元方法必须对无限区域进行截断. 本文采用一阶吸收边界条件(ABC)将无限区域截断为带有边界条件的有限计算区域Ω，在计算区域Ω内散射电场满足如下微分方程和边界条件：

(3)

为使用有限元方法解决式(2)所定义的边值问题，整个计算区域需用四面体有限单元对其进行离散，这样计算区域内的矢量电场可用边缘元矢量基函数进行展开. 使用矢量基函数对式(2)进行迦略金匹配，可得到式(4)所示的有限元弱解方程为

(4)

有限元系数矩阵K和激励向量f由下面公式计算得

K=

(5)

f=

(6)

式中N为包含边缘元矢量基函数的列向量. 由式(4)(5)可以看出，对于同一散射问题，有限元系数矩阵是相同的，对于不同的入射角度，激励向量有所不同，因此得到不同的散射电磁场. 通过求解方程(4)便可得到整个计算区域的未知电场系数，从而获取整个电场分布.

3 快速算法基本思想

近期，Skeleton的概念已经成功运用到开发快速方法. 在这里，它被用来实现大规模电磁波散射角响应的快速计算. 对于有限元方法，将不同入射方向对应的右端项和解组合起来，可以得到一个线性方程组，这些方程组可以写成

(7)

式中：K为N×N的有限元矩阵；f(λ)为N×Ninc已知平面波的激励矩阵；E(λ)为N×Ninc的未知求解矩阵；N为未知数的数量；Ninc为激励的个数；λ为入射波的方向.

(8)

把ID技术应用f(λ)，可以得到

(9)

fs(λ)为Skeletonized以后得到的激励矩阵，R(λ)为投影矩阵. 把式(9)代入到式(8)可得

(10)

所以

(11)

是对应于fs(λ)的解矩阵. 从式(10)和式(11)可知，E(λ)变为

(12)

通过式(11)求解出Es(λ)之后，所有入射波所对应的解可由式(12)求出. 特别的，求解全部λ∈[λmin，λmax](λ=θ，φ)的角响应，只需求解对应于skeleton的激励项，从而实现角响应计算的加速.

由于ID的特性，矩阵fs(λ)中的每一列都包含在f(λ)中. 因为f(λ)的每一个列都对应一个激励向量，也就是有限元每个入射角度对应的右端项，fs(λ)的列则是Skeleton对应的激励向量. 通过式(11)可知，Es(λ)中的列数为Skeleton入射角度的个数. 这个特点把Skeleton-based快速扫角算法和基于SVD/QR[9]的方法以及其扩展方法[10]区分开来. 利用这种特性，可以方便地恢复所有入射波对应的解. 具体的，如果式(12)中的Es(λ)和R(λ)都已计算出来，那么所有入射波的解可以直接从式(12)中恢复出来.

4 数值算例

为了证明ID算法应用到有限元的高效性和准确性，采用如图1所示的一个边长为0.5λ的介质立方块为例，分别研究介质特性为各向同性和各向异性时算法的精度与效率. 计算中采用了239 066 个未知数. 各向同性时，介质参数为ε=2，μ=1. 各向异性时介质参数为μ=1，

(13)

分别采用直接法和本文方法计算了介质立方体在θ=0°～180°，φ=0°平面波入射下的单站雷达散射截面. 计算中角度的步进为1°. 为了考察算法精度，采用

(14)

式中：β为绝对误差；R2为直接方法计算结果；R1本文算法计算结果.

表1给出计算的统计情况，图1和图2分别为各向同性时雷达散射截面和误差，图3和图4分别为各向异性时雷达散射截面和误差. 计算中V(λ)由181个激励向量组成，应用Skeleton-based扫角方法，无论是各向同性介质还是各向异性介质，都只需选取16个激励向量来生成Vs(λ). 而且由于ID非常高效，寻找Skeleton入射方向的时间开销很小，从而使得本文算法计算的加速到达7倍多. 由于式(1)的近似计算，所以该算法与直接法存在误差，误差可由阈值εID控制.

表1 两种算法对比图

从图2和图4的误差看，算法的计算精度非常高. 虽然绝对误差的最大值达到0.06 dBsm，但仔细观察发现，对应观察角RCS的准确值θRCS在-20 dBsm左右.

5 结 论

基于ID技术的有限元算法是一种计算电目标单站雷达散射截面的有效算法. 为了获得较高分辨率的雷达散射截面，往往需要对很多方向的入射波展开计算. 不同入射波共用一个相同的有限元矩阵，把ID技术应用于不同入射角度组成的激励矩阵后，可以高效得到Skeleton入射方向. 一般情况下，只需较少的Skeleton入射方向，就能精确得到较好分辨率的雷达散射截面. 数值实验表明，该算法显著提高了计算角效率，并且保证了计算的准确性，该算法通过对不同入射角度的插值提取来加速计算，从而提高扫角的效率.

[1] Miller E K. Model-based parameter estimation in electromagnetics.iii. applications to EM integral equations[J]. IEEE Antennas Propag Mag， 1998,40(3):49-66.

[2] Pillage L T, Rohrer R A. Asymptotic waveform evaluation fortiming analysis[J]. IEEE Trans. Computer-Aided Design， 1990,9(4):352-366.

[3] Liberty E， WoolfeF， Martinsson P G， et al. Randomized algorithms for the low-rank approximation of matrices[J]. 2007,104:20167-20172.

[4] Ho K L, Greengard L. A fast direct solver for structured linear systems by recursive skeletonization[J]. SIAM J Sci Comput.， 2012,34(5):A2507-A2532.

[5] Pan X M, Sheng X Q. Hierarchical interpolative decomposition multilevel fast multipole algorithm for dynamic electromagnetic simulations[J]. Progr. in Electromagnetics Research， PIER， 2013,134:79-94.

[6] Pan X M, Sheng X Q. Preconditioning technique in the interpolative decomposition multilevel fast multipole algorithm[J]. IEEE Trans. Antennas Propag.， 2013,61(6):3373-3377.

[7] Pan X M， Wei J G， Peng Z， et al. A fast algorithm formultiscale electromagnetic problems using interpolative decompositionand multilevel fast multipole algorithm[J]. Radio Sci.， 2012,47:RS1011.

[8] Schroder A， Bruxns H D， Schuster C. A hybrid approach forrapid computation of two-dimensional monostatic radar cross section problems with the multilevel fast multipole algorithm[J]. IEEE Trans. Antennas Propag.， 2012,60(12):6058-6061.

[9] Zhen P， Stephanson M B， Lee J F. Fast computation of angular responses of large-scale three-dimensional electromagnetic wave scattering[J]. IEEE Trans. Antennas Propag.， 2010,58(9):3004-3012.

[10] 高红伟，盛新庆.三维非均匀电大目标散射的有限元撕接区域分解法计算[J].北京理工大学学报，2012，32(6):602-606.

Gao Hongwei， Sheng Xinqing. Computation of electromagnetic scattering by 3D large inhomogeneous targets utilizing finite element tearing and interconnecting method[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2012，32(6):602-606. (in Chinese)

(责任编辑：刘芳)

Fast Algorithm for Angular Sweeping in FEM Based on Interpolative Decomposition

HAO Jing-wei， PAN Xiao-min， SHENG Xin-qing

(Center for Electromagnetic Simulation， School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

A fast angular sweeping algorithm based on interpolative decomposition was proposed for the finite element method (FEM) to efficiently compute monostatic radar dispersion section (RCS). In the algorithm, an excitation matrix was constructed from multiple right-hand-sides (RHSs) associated with different incidents. Then, interpolative decomposition (ID) was applied to the excitation matrix to figure out the skeleton incidents. After the solutions corresponding to the skeleton incidents were obtained through FEM, the desired angular responses could be reconstructed from those of skeletons. The results of numerical experiments on isotropic and anisotropic dielectric targets show the efficiency and accuracy of the proposed algorithm.

ID; Skeleton; angular sweeping; finite element method(FEM)

2013-10-31

国家“九七三”计划项目(2012CB720702)；国家自然科学基金资助项目(61371002)；国家教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-12-0045)

郝靖玮(1989—)，男，博士生，E-mail:hjw5299118@126.com；盛新庆(1968—)，男，教授，博士生导师，E-mail:xsheng@bit.edu.cn.

潘小敏(1978—)，男，副教授，博士生导师，E-mail:xmpan@bit.edu.cn.

O 441

A

1001-0645(2016)05-0498-04

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.011