液体热膨胀时对容器底部压强的变化

蒋勇

由于液体具有流动性，所以，对支撑面的压力和压强，与固体有截然不同的“表现”.

利用物体间力的作用规律及二力平衡知识容易证明，对于固体若将物体放在水平支撑面上，物体静止时，它对对支撑面的压力等于自身的重力.可是，液体却不是这样，即便盛放液体的容器底面是水平的，液体对容器底部的压力也未必等于液体的重力.可以证明，静止的柱状液体对水平支撑面的压力，等于液柱的重力.

我们先对正四棱柱状液体进行证明.如图1，在水平放置的长方体容器中装有一定量的某种液体，静止时，柱状液体受六个力的作用，容器四个侧面对液体向里的压力F前、F后、F左、F右，容器底对液体向上的托力F下和液体的重力G，由于长方体状液体四个侧面相对的两个面面积相等，且液体的平均深度也相等，所以，相对的两个侧面受容器侧壁的压力等值、反向且共线，因此，F前与F后是一对平衡力，F左与F右也是一对平衡力，因为液体是静止的，所以，六个力中剩下的一对力F下与G也应是一对平衡力，故有，F下=G，即，正四棱柱状的液体，对水平支撑面的压力等于自身的重力.

取一个截面积与图1中长方体底面积相等的任意形状的柱状容器（比如三棱柱、五棱柱、圆柱等），将图1中所装的液体倒入其中，因为柱体的体积等于底面积与高的积，所以，在新的容器中，液体的深度将不发生变化，液体对底部的压强当然也不变，由于液体的底面积也没变，所以，液体对水平底部的压力不变，也等于自身的重力.这就是说，对任意形状的柱状液体，液体对水平支撑面的压力，都等于自身的重力.

例1 圆柱形容器里装有煤油，不考虑容器的热膨胀，当温度升高，煤油发生热膨胀时，煤油对水平容器底部的压强如何变化？

解析 因为不考虑容器的热膨胀，所以煤油发生热膨胀时，煤油的深度增大，但与此同时，煤油的密度减小，因此，根据液体的压强公式p=ρgh没法判断煤油对容器底部压强的变化 情形.可以根据压强的定义公式p=F/S判断，煤油发生热膨胀后，虽然深度增加了，但其形状仍是柱状的，而煤油发生热膨胀时，其重力是不变的，所以，煤油对容器底部的压力也不变，因为容器的底面积没有变化，所以，煤油对水平容器底部的压强不变.

若考虑容器的热膨胀，同学们能判断出发生热膨胀的煤油对水平容器底部压强的变化情形吗？

例2 如图2，甲乙两容器置于水平桌面上，里面都装有煤油，不考虑容器的热膨胀，当温度升高，煤油发生热膨胀时，煤油对容器底面的压强各怎样变化？

解析 先分析温度升高煤油发生热膨胀时，图2甲中煤油对容器底部压强的变化.

像几何证明作辅助线一样，为了说明问题的方便，可以作一个辅助容器.如图3，作柱状辅助容器丙，使得与甲容器中同样体积、相同温度的煤油倒入丙容器后，煤油的深度与甲相等，显然，丙容器的截面积应满足大于甲容器的底面积而小于甲容器中液面的面积.当温度的升高量一定时，由于热膨胀，甲、丙两容器中煤油体积的增量是相同的，由于两容器原来液面之上的截面相比，丙较甲的小，所以，升高相同的温度之后，丙容器中煤油的深度比甲的大，由于热膨胀之后，两容器中煤油体积的增量相同，故，热膨胀后，两容器中煤油的密度相等，根据液体的压强公式p=ρgh可知，甲容器中煤油对底部的压强比丙的小，而丙是柱状容器，在发生热膨胀时，煤油对底部的压强不变，所以，口大底小的甲容器中的煤油，发生热膨胀之后，煤油对底部的压强比原来的小.

用同样的方法，我们可以证明，图2中口小底大的乙容器中所盛的煤油，温度升高发生热膨胀后，煤油对容器底部的压强将增大.