浅析广东卷和全国卷Ⅰ解析几何的命题特点

陈俊瑜

2016年广东高考数学将使用全国统一命题的试卷，结束了10年自主命题.面对高考的新变化，备考教师应 “抓同重异”——抓住两卷的相同点，重视两卷的差异点，“强增略减”——强化训练全国卷Ⅰ所增加的内容，简略全国卷Ⅰ未出现的考点.

一、近三年全国卷与广东卷解析几何试题考点分析

1.广东卷“解析几何”板块的试题特点

从表1可以看出，广东卷解析几何试题有如下特点：

（1） 题量稳定：题量为2道或3道.

（2） 题型稳定：题型为1或2道选择题和1道解答题，选择题主要考查椭圆或双曲线的方程与基本结合性质，两条直线平行的判定，圆的切线方程，直线与圆的位置关系；解答题主要考查求轨迹方程、动点的轨迹方程、弦长公式、函数的最值、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.

（3） 分值稳定：分值为24或19分，选择题5分或10分，解答题14分.

（4） 难度稳定：选择题难度中等偏易，解答题文理一般是同一道题，难度偏难，但解答题有3个小问，其难度梯度设置合理，区分度较好.

2.全国卷“解析几何”板块的试题特点

从表2可以看出，全国卷Ⅰ解析几何试题有如下特点：

（1） 题量稳定：题量为3道，约占全卷题量的

12.5%.

（2） 题型稳定：

题型为2道客观题和1道解答题，选择题主要考查圆锥曲线的方程与基本性质结合，直线与圆锥曲线的位置关系；解答题主要考查抛物线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线标准方程及简单几何性质，弦长公式，函数的最值，曲线方程的求法，圆的方程与几何性质等.

（3） 分值稳定：

分值为22分，客观题10分，解答题12分，约占14.7%.

（4） 难度稳定：

客观题难度中等；解答题难度中等偏难，相对广东卷难度下降.

二、典型例题剖析

通过以上分析不难看出，广东卷与全国卷Ⅰ的“解析几何”板块在高考六大板块中的分值比重几乎是前两位.全国卷分值稳定在22分，广东卷分值为24或19分.广东卷的解答题比全国卷难，具有较好的区分度，但全国卷的客观题对学生的数学能力要求较高.

下面举例说明近三年“解析几何”，两种试题对学生考查要求.

1. 客观题剖析

例1（2014年广东理科4）若实数k满足0

y29-k=1与曲线x225-k-y29=1

的（ ）.

A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等

例2（2015年全国卷Ⅰ理科5）：已知M（x0，y0）是双曲线C：x22-y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是（ ）.

A.（-33，33） B.（-36 ，36）

C.（-223，223）D.（-233，233）

评析例1和例2同样都是中档题的难度，考查的都是双曲线的标准方程及简单几何性质，广东卷简单很多，严格按照双曲线的性质c2=a2+b2可以直接写出答案；全国卷Ⅰ还结合向量数量积坐标表示，一元二次不等式解法一起考查，计算量大.

例3（全国卷Ⅰ文科16）.已知F是双曲线C：x2-y28=1的右焦点，P是C左支上一点， A（0，66），

当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .

评析例3以填空题形式作为压轴题出现，难度较大，得分率较低，考查双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系、最值问题，体现了一定的综合性，对学生的计算能力、数形结合、逻辑推理能力要求较高.而广东卷客观题“解析几何”作为压轴题没有出现过.

2. 主观题剖析

例4（2015年广东文理20）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

第（1）问通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论，属于送分小题；

第（2）问常规解法是设直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用方程的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论.

第（3）问通过联立直线L与圆C1的方程，利用判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论.当然也可以通过数形结合的方法求出.

评析该题来源于人教版选修2-1第37页A组第4题：过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.该题设有三小问，难度逐渐加大.该题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题.

例5（2015年全国卷Ⅰ文科20）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1交于M，N两点.

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）OM·ON=12，其中O为坐标原点，求|MN|.

评析该题考查直线与圆的位置关系、韦达定理、数量积、距离公式；相对广东卷难度小，属于常见的题型，相对中等生只要平时注重训练，拿满分不难.

例4与例5是广东卷与全国卷Ⅰ解析几何解答题的缩影，解析几何部分都是直线与圆，直线与圆锥曲线的相关问题，主要考查了（1）求直线与曲线相交弦中点问题；（2）主要知识点：求根公式，判别式，韦达定理，点到直线距离公式，向量数量积，弦长公式等；（3）数形结合思想；（4）计算量都较大，强调方法的选择.广东卷一般分三小问，起步容易，但计算量大，经常考部分曲线，要求考生注重细节，得高分难；全国卷Ⅰ考的题型比较常见，考查基本知识.广东卷与全国卷Ⅰ都要求学生平时训练要注重方法技巧的积累，有一定解题技能、小技巧的考生可以节约时间，减少计算量.

三、2016年广东高考“解析几何”（除选做题外）板块的备考建议

针对全国卷Ⅰ和广东卷在“解析几何”（除选做题外）知识点的异同，为了使广东考生更从容面对2016年全国卷Ⅰ的高考数学，建议按以下几点复习备考：

1.认真研究《考试大纲》.《考试大纲》是高考命题的重要依据，作为教师必须研读《考试大纲》，了解大纲的变化，必须把考试大纲中涉及的考点认真复习，不留盲点.

2.回归教材抓基础，重视基本概念.很多高考题来自教材的例题、习题，高于教材，特别是选做填空题，很多是教材上例题习题的改编题.在解析几何知识的复习过程中，要以课本知识为主，针对课本上的例题、知识要加以概括、提高和延伸.在复习的过程中，要充分挖掘教材实例、习题的功能，一定要重视基础知识、基本方法、基本技能的形成与运用.

3.加强计算能力训练，强化思维过程.解析几何部分对学生的计算能力要求较高，学生平时训练的时候要多训练，总结解题技巧.对一些基本方法要熟悉，如用定义法、直接法、动点转移法、参数法、交轨法等常用方法求轨迹方程.熟悉用韦达定理、判别式来研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握参数方程、基本不等式求最值，以及数形结合思想、分类与整合思想的总结.

四、总结

无论是考全国卷Ⅰ还是广东卷，解析几何这部分是考试的重点，全国卷客观题的难度比广东卷大，计算量多，所以在平时复习中要加强小题练习；解答题经常作为压轴题考，考生要训练不同题型的解答，提升解题能力，养成严谨细致的作答习惯，争取多得分.

（收稿日期：2016-01-12）