具有兼职的维修工随机退化模型

张权， 崔利荣， 韩旸

(1.齐齐哈尔大学 理学院， 黑龙江，齐齐哈尔 161006；2.北京理工大学 数学与统计学院，北京 100081；3.北京理工大学 管理与经济学院， 北京 100081)



具有兼职的维修工随机退化模型

张权1，2， 崔利荣3， 韩旸1

(1.齐齐哈尔大学 理学院， 黑龙江，齐齐哈尔 161006；2.北京理工大学 数学与统计学院，北京 100081；3.北京理工大学 管理与经济学院， 北京 100081)

研究具有一个维修工的可修系统，且这个维修工有多个兼职工作. 如果系统失效并且维修工在做兼职工作，则该系统将等待维修直到这个维修工可用，当这个维修工可用时，本系统具有优先权. 维修后，本系统不能修复如新. 在这些假设下，建立模型，利用几何过程和补充变量法，推导了一些重要的可靠性指标，包括可靠度、可用度、失效发生率等. 最后，通过数值算例验证得到的结果．

几何过程；补充变量法； 可靠度；可用度；失效发生率

在可靠性领域，对简单的可修系统的研究一直是很重要的热点问题，一般的假设均是维修之后修复如新，这是一个完美的维修模型，但事实并非如此，由于系统的年龄、累积损耗等影响，一般的系统均是退化的，假设维修之后系统的工作时间会变得越来越短，失效之后，系统的维修时间会变得越来越长，这种假设是非常合理而实际的. 对于这种随机现象，Lam[1-2]引入了一个几何过程，在这种模型下，研究了一个简单可修系统的两种取代策略，一个是基于系统工作年龄T的，另一个是基于系统的失效次数N的. 然后，Zhang[3]考虑了一个二维取代策略(T，N)，证明了二维取代策略(T，N)是好于策略T和策略N的. 其它关于几何过程的研究包括Stanley[4]， Zhang等[5-6]， Zhang[7-9]， Lam等[10]. 而Li Yuan等[11]研究了维修工具有多个假期退化系统. 基于此，考虑的是维修工具有多兼职，且当维修工可用时，本系统具有优先权的退化系统模型. 由于对退化模型的假设，此随机现象不是马氏过程，采用补充变量的方法得到一个广义的马氏过程；最终运用马氏理论推导出一些重要的指标. 如可靠度、可用度、失效发生率等解析式.

1 模型假设

假设1 开始时，系统是新的，如果系统失效，系统可能不会立即被修复，系统的第(n-1)次维修和第n次维修被定义为系统的第n次循环．

假设2 系统不是修复如新，看做几何过程．

假设3 设Xn，Yn，Zn分别是第n次循环的工作时间、维修时间、延误维修时间，且Fn，Gn，Sn分别是Xn，Yn，Zn的分布函数，如下所示

式中：t≥0;n=1，2，…;a≥1，0

假设4Xn，Yn和Zn是独立的．

在这些假设下，系统的相继工作时间{Xn，n=1，2，…}形成一个具有率a递减的几何过程，相继维修时间{Yn，n=1，2，…}构成一个具有率b递增的几何过程.

2 建立模型

设N(t)是系统在时间t的状态，根据模型的假设有

N(t)=0，时刻t，系统在工作；

N(t)=1，时刻t，系统失效，维修工忙于兼职；

N(t)=2，时刻t，系统失效，维修工在维修失效系统．

{N(t)，t≥0}是具有状态空间E={0，1，2}的随机过程. 根据假设，{N(t)，t≥0}不是马尔科夫过程，因此，用补充变量法来解决这个问题. 设Y(t)是在时间t已经被维修的时间，I(t)是在时间t系统的循环数. {N(t)，Y(t)，I(t)，t≥0}构成一个广义的马尔科夫过程. 在时间t，系统的状态的概率定义为

根据以上分析有

即

(1)

即

(2)

即

(3)

当k=1时，有如下的微分方程

(4)

(5)

(6)

边界条件初始条件

对式(1)(6)的两端作L变换得

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由边界条件得

(13)

由式(8)得

(14)

由式(9)得

(15)

将式(15)代入式(7)得

(16)

由式(10)得

(17)

由式(15)～(17)得

(18)

(19)

(20)

当k=1时，

(21)

(22)

(23)

3 主要结论

3.1 系统可用度

在时间t系统可用度的定义如下

那么

由托贝尔定理，系统的稳态可用度为

显然，当时间t→∞时，稳态可用度趋于0，这是符合实际的，这是因为设备老化故障率增高，因此随着时间的增长，系统逐渐不可用．

3.2 失效发生率(系统瞬时故障频度)

设mf(t)表示瞬时故障频度，则

因此

3.3 维修工修理本系统的概率

设pR(t)表示维修工修理本系统的概率，则

对此方程两边做L变换得

当时间t→∞时，pR(t)→1，也就是说随着时间的增长，维修工会一直忙于修理本系统，其它兼职没时间去做．

3.4 系统的可靠性

由第2部分分析得到

(24)

初始条件：Q01(0)=1.

对式(24)取L变换得

即

(25)

对式(25)取L的逆变换得可靠性函数为

(26)

系统首次失效的平均时间为

(27)

tMTTFF=∫∞0R(t)dt=lims→0 R*(s)=(λ+γ)-1.

4 结 论

本文针对非马尔科夫型可修系统，建立了一个几何过程模型，通过引进补充变量，使讨论的问题变为一个广义的马尔科夫过程.并运用马氏过程的理论，推导了一些重要的可靠性指标解析式.充分体现了补充变量法在非马氏随机模型中的重要地位．

[1] Lam Y. Geometric processes and replacement problem[J]. Acta Math Appl Sin， 1988，4(4):366-377．

[2] Lam Y. A note on the optimal replacement problem[J]. Adv Appl Probab， 1988，20：479-482．

[3] Zhang Y L. A bivariate optimal replacement policy for a repairable system[J]. J Appl Probab， 1994，31：1123-1127.

[4] Stanley A D J. On geometric processes and repair replacement problems[J]. Microelectronics Reliability， 1993，33(4):489-491．

[5] Zhang Y L， Yam R C M， Zuo M J. Optimal replacement policy for a deteriorating production system with preventive maintenance[J]. Inter J Systems Sci， 2001，32(10) :1193-1198．

[6] Zhang Y L， Yam R C M， Zuo M J. Optimal replacement policy for a multistate repairable system[J]. J Oper Res Soc， 2002，53：336-341．

[7] Zhang Y L. A geometric-process repair-model with good-as-new preventive repair[J]. IEEE Trans Reliab，2002，51(2):223-228．

[8] Zhang Y L. An optimal replacement policy for a three-state repairable system with a monotone process model[J]. IEEE Trans Reliab， 2004，53:452-457.

[9] Zhang Y L. A geometric-process repair model for a repairable system with delayed repair[J]. Computers and Mathematics with Applications， 2008，55:1629-1643.

[10] Lam Y， Zhang Y L. A geometric-process maintenance model for a deteriorating system under a random environment[J]. IEEE Trans Reliab，2003，52(1):83-89．

[11] Li Yuan， Jian Xu. A deteriorating system with its repairman having multiple vacations[J]. Applied Mathematics and Computation， 2011，7:217-219.

(责任编辑：李兵)

Stochastic Deteriorating Model for a Repairman with Multiple Jobs

ZHANG Quan1，2， CUI Li-rong3， HAN Yang1

(1.Science College，Qiqihaer University，Qiqihaer，Heilongjiang 161006，China; 2.School of Mathematics and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 3.School of Management & Economics，Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

In this paper， a repairable system with a repairman who has multiple jobs was studied. If the system fails and the repairman is working， it will wait for repairing until the repairman is available. When the repairman is available， the system has priority. After repairing， the system is not “as good as new”. Under these assumptions， using the supplementary variable method and the geometric process， some important indexes were derived， such as the system reliability， availability， rate of occurrence of failures， etc. Finally， a numerical example was given to illustrate our results．

geometrical process; supplementary variable method; reliability; availability; rate of occurrence of failures

2014-09-22

十二五国家科技支撑计划资助项目(2013BAK12B0803);黑龙江省教育厅资助项目(12541900)

张权(1978—)，男， 博士生，讲师，E-mail:zhangquan122400@163.com .

O 213； O 211.62

A

1001-0645(2016)02-0197-04

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.02.017