数学开放题教学之拙见

聂斌

【摘 要】 数学开放题现已发展为结论开放、条件开放、推理开放与问题本身开放几大类。教师对开放题起了积极的推动作用，促进了课堂中的开放式教学。开放题的本质是培养学生的创新意识和创新能力，核心是灵活应用数学思想方法。

【关键词】 数学开放题；培养兴趣；开放式教学

【中图分类号】 G63.22 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2016）25-00-02

数学开放题，不仅在开放题的理论研究上有所创建，而且还设计了许多典型的开放问题，如“水槽问题”，“子弹问题”，还有花圃设计问题和电活问题等。在我国，此项研究始于1984年，浙江教育学院戴再平教授对“给定一定条件研究所有结论的开放题”，作出了独具中国特色的研究，并取得了我国“九.五”规划的教育科研成果。随着各国数学教育工作者，对数学开放题的认识逐渐加深，现已发展为结论开放、条件开放、推理开放与问题本身开放几大类。在第一届东亚数学教育会议上，澳大利亚的阿·比诗霍布教授鉴于东方的数学教学基本上以教师为中心，以课本为中心，以课堂为中心，强调练习，注重考试，提倡“热能生巧”，学生往往不求甚解，缺乏创造力，普遍负担过重的状况，建议东亚国家改革这些考试文化内的试题。并且还举出了5个例子：多于一个正确答案的问题；学生编制的问题；现实中的开放题；探究性问题；“公文包”式试题（类似于论文）。考试的目的不仅是看学生知道什么数学知识，还应该体现广泛的人生价值、教育价值、数学能力和意识。数学开放题就是为实现上述教育价值的一种形式。正因为开放题有着较好的功能。我国专家小组在1999年起草的《中国基础教育课程改革指导纲要》中，指出“教科书是教学内容的重要载体，应体现……开放性”，应“改变学生的学习方式，增加课程的开放性”。教育部发布《关于2000年初中毕业，升学考试改革的指导意见》明确指出：“数学考试应设计一定的……开放性问题”，表明我国教育领导部门肯定了数学开放题的作用和地位。中考中曾经出现的镶嵌问题，求24数问题等都属于开放题，这就为教师学生对开放题的认识起了积极的推动作用，促进了课堂中的开放式教学。

那么开放题有哪些明显的特点呢？人教社中学数学室俞求是先生认为，开放题的含义是：（l）问题的“结论”是在问题系统内部相对于问题的“条件”而言的，不能与问题的“答案”概念混淆；问题的“答案”（解法）是相对于整个问题而言的；（2）对于问题的条件不作太多的限定，对问题的答案给以宽松的环境，但要求是多样化的，丰富多彩的。就是说，答案是不唯一的问题称为开放题，其显著特征是：答案有多样性（多层次性）。数学开放题是那些答案不唯一，并在设问方式上要求学行多方面，多角度、多层次探索的数学习题。从上面对开放题进行的描述定义中，这就使得开放题必须具有如下的几个重要特点：

1.条件开放中含有不完备性

对于一个开放题的条件可以不足，也可以是有多余的，在条件不足时，要求学生予以补充条件多余时要求学生从中进行选择。

例1，现有含盐4%的盐水60kg，含盐12%的盐水500kg，另有足够多的盐和水，现要配成10%的盐水600kg，问如何作配制？

例2，试从不同类型的方程中找出x=l为解的方程。

例3，在△ABC中，有两条线段BD、CE，在什么条件下，就有BD=CE的结论。

以上几例，都是在结论固定的情况下，让学生研究、探索出条件的问题。在例l中，条件作选择。在例2、例3中就是探讨在一定条件下使结论成立的命题。

2.结论开放中含有不确定性、具有层次性

解答一般的数学开放题，在其解答上具有多样性。解答的结论不是唯一的，这就决定出够满足各种层次水平的学生的需要和求知。使他们可以在自己的能力范围内解决问题。从而地体现出层次性，激发学生对解题的积极主动地叁与解题活动有较大的驱动力。

例4，PA.PB是⊙○的切线，切点A、B，AC.BE是直径，由以上条件，你能推出哪些并证明之。

例5，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，你能得出哪些结论，并作出证明。

以上两道题是仅给出了已知条件的开放题，这就要求学生用解同类问题的经验进行推理，想象、猜想出结论，层次不同的学生所得结论不相同。以上几例，都可满足不同的学生的需求，各种不同层次学生都可做出不同水平的解答。

3.问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性

解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思维模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。

例6，试比较下列两个几何图形的异同。

这两个图形的异同点可从多方面来挖掘。

它们的相同点：（1）同是多边形。（2）都是正多边形。（3）都有相等的边。（4）都有相等的内角。（5）都有一内切圆和一外接圆。（6）各边的中垂线交于一点，且与各角平分线的交点相重合。（7）都是轴对称图形。（8）各边都是其内切圆半径或外接圆半径的正比例函数。（9）面积都是其内切圆或外接圆半径的二次函数等。

它们的不同点：（1）边数（或顶点数）不同。（2）各自的内角的大小不同。（3）对称轴数目不等。（4）正六边形还是中心对称图形。（5）各自边所对的中心角大小不等。（6）正六边形有对角线。（7）正三角形的边长，正六边形的边长与各自内切圆外接圆的半径比值不同。（8）各自的周长与其外接圆的周长比值不同。（9）各自的面积与其外接圆面积的比值不同等。

解答本题时，并没有常规的解题模式可以遵循，思维呈发散性。如能找到一个新视点，即可发现新的解答。

4.开放问题具有探索性和发展性

对一个开放题的研究与封闭题研究有很大不同，这主要体现在对答案的探索性和问题本身可以发展成为一系列的问题。

例7，一个钟面有l2个数字，试在某些数字前添上负号，使钟面上所有数字之和为零。

解决此问题，先要通过试错。经过一个规律的探索过程，即l+2+…+12=78，那么相加后为零，就是正、负数的和分别为39，虽找出了规律，但要写出全部答案也是件较繁的事。因本题的答案有多种。

此题同样可作变化发展。如：

（1）能否改变钟面上的数，比如只剩下六个偶数，仍在某些数的前面添加负号，使它们的和为零。

（2）在哪些时间里分针和时针所夹的那些数的前面添加负号，钟面上的各数的代数和就为零。

（3）在l2小时内，钟面上的时针与分针在哪些时间恰好成60°的角？

上面的例题所体现的是，开放题本身就具有开放性，当然这也是问题的内容和方法所决定，它的特殊开放功能。

5.开放题的解决离不开数学的基础知识和技能

就是说，开放问题的教学并不对其余教学过程和方法有排除性。只是在问题的解决中，对学科的知识运用更加灵活、更加全面、更加深入。封闭题对学生主要是引起思维的同化，而开放题则在学生的学习中，则可引起思维的顺应发展，既可强化知识的运用，又可从不同角度认识问题的新的特性。如龟兔赛跑，谁快谁慢的问题。这无非是一个速度问题实际上还要从它们的本身特点上去认识。在陆地上，显然是兔子的速度大；那么如依龟的两栖性，而应在水中龟兔同样赛一场。从陆地或水中对两者赛跑可都难以公平，最为公平的是在空中，把它们都放在一个陌生的环境中进行，这虽不是什么好数学问题，但含有影响速度大小环境条件的数学情境内容。因此在解决开放题的问题中，不仅要对数学问题本身作出认识，还要能对影响其中某一量的数学情景因素作出分析。一般来说，开放题具有的思维顺应发展性，主要反映在：（1）开放题作为数学开放式教学的载体，其中包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题。开放题能根据学生的兴趣和能力进行变化，当学生试图用数学语言表达问题的解答时，他会对效学的本质产生一种新的领悟。（2）开放题能使学生获得各种水平程度的解答，开放题所反映的是现实生活或数学的情境中的多种变因。使学生在解答的过程中必须探求某种策略，因而在解答时往往能导出一般的结论或是发展为另一个问的问题。在这种体验中，学生的概括能力和迁移能力会得到提高。

开放式的数学教学，由于开放题被引起广泛关注，以及在教学中显示出了它的独特功能，因此人们将开放题的单独教学过程而跃变为开放式的数学课堂教学。以图建立起课堂教学的新模式，在新的教学模式中，让学生更加得到全面的发展，使开放题的本质更充分地呈现出来。开放题的本质是培养学生的创新意识和创新能力，核心是灵活应用数学思想方法。而在现实的环境中，数学正是通过其思想方向影响着人们的思维方式、生活方式甚至生存方式。为此：世界各国的学者、专家都在努力地面对原始的现实创造出具有自己特色的开放性问题。国际数学大师陈省身告诉我们：要在本土上有自己的问题，让外国人跟着我们的问题做，要面对原始的问题，不要在文献的夹缝中求生存。目前我国创建了一些成功的开放题。如钟面数字问题，一个饭店地下室到10楼有三根电线不一样长如何测知它们的电阻问题，100以内自然数的等差分析问题等。进行创新的数学教育，就要创造自己的数学问题，一所优秀的学校，应发展自己的数学问题，一位优秀的数学教师应当有自己设计和编制的数学问题。没有自己的问题，谈不上创新，做别人提出的问题，与自己提出—个问题在学术上是不一样的。作为中国的数学教育工作者，不仅创建一些新的问题，建立起自己的合乎国情的教育理论和具有创新教育理论下的一些重大实践，还要为建设一支中国的数学教育学派而作出贡献。

进行开放式数学教学，一般是让学生能够按各自不同的目的，不同的选择，不同的兴趣进行数学学习并得到能力的发展。其目的是培养学生分析问题和解决问题的多方活动能力和数学思维能力，并在这一过程中，具有（1）培养和促进学生的好奇心和求知欲；（2）促进学生积极探索的态度和策略；（3）鼓励学生参照或应用已有的知识和技能，提出新问题，探讨新问题；（4）刺激学生提高数学品质和智力。（5）鼓励学生彼此交流讨论，这种教学模式既体现了数学教学为了所有的学生。又提高了学生的数学索质和创造性意识，还有利于我们教师在教学理论与实践的能力上提高。

进行数学交流是开放式教学中最为重要和突出的问题。通过对开放题的解答，要求学生对自己的想法能进行反思和加以说明，用数学语言、数学符号解释日常的语言；能对实际、周围环境提供的材料，图象、表格用数学概念作分析和阐述；让学生对数学思想能作口头的或书面的表述，在讨论和交流中，增强数学探索的科学精神。

参考文献：

[1]中学数学开放题探析-方千，《科技创新导报》-2012

[2]通过命题培训提高教师的数学素养-郑新发，《福建教育》-2010

[3]开放式高中数学课堂教学模式探讨-唐虹，《读写算：教育导刊》-2015

[4]中学数学开放式教学模式初探-黄邦杰，《课程教材教学研究：中教研究》-2004