从陀螺仪进动与章动分析讨论看大学物理刚体教学

伊厚会，姚延立



从陀螺仪进动与章动分析讨论看大学物理刚体教学

伊厚会，姚延立

（滨州学院 航空工程学院 应用物理研究中心，山东 滨州 256603）

从刚体转动力学知识出发，以陀螺仪为例研究了刚体的定点转动．利用角动量定理和简谐振动的处理方法，通过研究向心力、自转角速度、进动角速度和章动角速度等，分析了陀螺仪的进动与章动现象，并讨论了影响其进动和章动的因素．总结了定点转动和定轴转动的区别和联系，对大学物理刚体部分教学以及对理解和应用陀螺仪的性能提供一定的参考．

陀螺仪；进动；章动；定轴转动；定点转动

刚体的定轴转动是指在转动中，刚体的转轴固定不动．定轴转动是分析刚体转动的基础，是大学物理教学的重要内容．通过刚体定轴转动的教学，学生可以解决飞轮、圆盘和杆等定轴旋转问题．除定轴转动外，定点转动（即刚体绕一固定点转动）也是现实生活中常见的运动现象．陀螺仪、回转罗盘和航行器等都可看作定点转动的实例．定点转动中的进动和章动是工程技术和天文学中常见的现象，进动（亦称旋进）是指一个自转物体的自转轴绕另一轴旋转的现象；章动是指在进动的基础上，自转轴伴有上、下周期性运动．

陀螺仪在科学、技术和军事等各个领域有着广泛的应用[1-2]．陀螺仪既能绕自转轴高速旋转，又能绕其它轴旋转，其进动与章动运动分析是各类陀螺仪表设计的理论基础．由于对陀螺仪的动力学分析是一种较为高深的问题，严格的数学处理相当复杂，多数研究均从简化陀螺仪动力学模型出发[3-8]．

本文从刚体的定点转动模型出发，利用角动量定理和简谐振动处理方法，通过研究向心力、自转角速度、进动角速度和章动角速度等，分析了陀螺仪的旋转问题，讨论了影响陀螺仪进动与章动的因素．在大学物理教学中，针对机械设计制造等专业的学生结合陀螺仪实例拓展了该部分教学内容，并对感兴趣的学生进行了理论分析和实际应用指导，增强了学生的学习兴趣和分析解决问题的能力．

1 陀螺的进动分析

图1 陀螺旋转运动示意图

图2 陀螺自转轴垂直轴时，陀螺角动量增量和重力矩冲量关系示意图

陀螺进动时质心作圆周运动，需要外界提供向心力，分析各参数对向心力和陀螺运动的影响：（1）陀螺进动向心力与成正比，陀螺的质心到转动点的距离越小，陀螺越容易平稳旋转，即陀螺的重心越低越容易旋转；（2）陀螺进动向心力与成正比，陀螺的进动与其质量和转动惯量均有关，越小，陀螺越容易平稳旋转；（3）陀螺进动向心力与成反比，陀螺自转角速度越大，进动时需要的向心力越小，陀螺旋转越平稳；（4）陀螺进动向心力与成正比．陀螺自转轴与轴夹角越小，陀螺旋转越平稳，但陀螺自转轴与轴夹角对陀螺进动的角速度没有影响．

2 陀螺的章动分析

公式（3）为考虑章动时，陀螺的动力学方程表达形式．公式（3）中的第1项为重力矩，其主要作用是引起陀螺的进动．陀螺章动分析时，可以把公式（3）中的第1项舍去，得

通过分析，根据大学物理课程中刚体定轴转动的知识，刚体的定轴转动和定点转动的区别和联系主要有：（1）无论定轴转动还是定点转动，刚体转动的角动量总是沿自转轴方向，刚体的自转角速度的变化由平行于自转轴的合外力矩引起．（2）对于定轴转动，垂直于自转轴的合外力矩始终为零，刚体的自转轴始终固定；对于定点转动，刚体的进动和垂直于自转轴的合外力矩有关．当定点转动的刚体在垂直于进动方向有微小偏离时，刚体在进动的同时会伴有类似简谐振动的章动．

3 结语

本文从刚体力学知识出发，以陀螺仪为例分析了刚体的定点转动．研究了陀螺仪的进动与章动现象，并讨论了影响其进动和章动的力学因素．在此基础上，分析总结了刚体定轴转动和定点转动的区别和联系．在大学物理课程教学中，对机械设计制造等专业的学生拓展了该内容，并对部分感兴趣的学生进行了理论分析指导和实际应用．结合陀螺仪实例讲授刚体的定点转动，不仅有助于学生对大学物理刚体部分的理解，还有助于增强学生的学习兴趣和分析解决问题的能力，并能为应用陀螺仪的性能提供一定的参考．

参考文献：

[1] 黄德鸣．陀螺仪的应用与发展[J]．海陆空天惯性世界，2003（12）：39-39

[2] 宋桂云．陀螺仪的应用及发展[J]．有色金属工程，2002，54（4）：106-110

[3] 梁法库，路峻岭．可倒陀螺的机理研究与制作[J]．物理实验，2002，22（3）：39-41

[4] 廖耀发，佘守宪．陀螺与陀螺仪进动及章动的一种初等分析[J]．湖北工业大学学报，2004，19（5）：43-46

[5] 常振军，张志利，周召发．陀螺仪进动与章动运动分析[J]．传感器与微系统，2012，31（9）：54-56

[6] 刘延柱．陀螺力学中的非线性振动方法[J]．力学进展，1981（1）：33-36

[7] 任天荣，马建敏．基于陀螺力学的旋转导弹锥形运动分析[J]．宇航学报，2010，31（9）：2082-2087

[8] 朱二辉．微机械陀螺的动力学特性研究[J]．机械强度，2007，29（2）：228-232

College physics teaching of the rigid body via the analysis and discussion of gyrostat precession and nutation

YI Hou-hui，YAO Yan-li

（Research Center of Applied Physics，School of Aeronautical Engineering，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

Studies the rotation around a fixed point based on the knowledge of dynamics of rigid body by taking gyrostat as an example．Using the theorem of angular momentum and the method on processing simple harmonic vibration，the phenomenon of gyrostat precession and nutation and the affecting factors are analyzed and discussed by studying of the centripetal force，self-rotation angular velocity，procession angular velocity and nutation angular velocity．The relations and differences between the rotation around a fixed-axis and the rotation around a fixed point are summarized，which provide some references in teaching the rigid body part in college physics and in understanding the gyrostat property when using it．

gyrostat；precession；nutation；fixed-axis rotation；rotation around a fixed point

1007-9831（2016）10-0043-04

O313

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.012

2016-07-20

滨州学院教学研究项目（BYJYZD201306）

伊厚会（1976-），男，山东费县人，副教授，博士，从事量子力学和计算物理学等方面的研究．E-mail: houhuily@163.com