受限切换拓扑时延多智能体系统的指数一致性

梁志鹏，李杰雄，江泓逸

(1.香港科技大学 理学院，香港 999077；2.广东外语外贸大学 金融学院，广东 广州 510006)



受限切换拓扑时延多智能体系统的指数一致性

梁志鹏1，李杰雄2，江泓逸2

(1.香港科技大学 理学院，香港 999077；2.广东外语外贸大学 金融学院，广东 广州 510006)

针对多智能体系统的一致性问题，建立一阶动力学模型，并考虑时变时延和受限拓扑切换，设计出相应的一致性控制器，其中有向网络拓扑根据ADT型切换信号进行切换，并通过状态变换将一致性问题转化为低阶差异系统的指数稳定性问题，通过构造分段Lyapunov-Krasovskii泛函，并借助詹森不等式给出在线性矩阵不等式框架下多智能体系统达到指数一致性的充分条件。

多智能体系统；指数一致性；一阶积分器；时变时延；受限切换

LIANG Zhipeng1, LI Jiexiong2, JIANG Hongyi2

(1. School of Science, Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong 999077, China;2. School of Finance, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou 510006, China)

多智能体系统的一致性问题研究得较早的是一阶积分器型动力系统，其中较为经典的理论是Ren等证明了：对于一阶系统，当信息交互拓扑中存在一个生成树时，所施加的控制器能保证系统达到渐近一致性[1]。对于复杂网络系统，Chen等提出运用图论对系统的同步能力进行分析[2]。上述理论均建立在固定信息交互拓扑的基础上。然而，在实际应用中，其研究对象通常存在通信拓扑切换[3]。对于多智能体网络，由于个体只对局部区域内信息作出感应或对障碍作出反应，网络中的通信路径可能会断开或重联，这导致系统的通信拓扑是时变或切换的[4]。

针对网络通信拓扑切换，Belykh等提出耦合根据一定概率进行切换的闪烁网络[5]，但其设定用于控制拓扑切换的切换信号通常过于迅速。对于现实中大部分多智能体系统，Liu等提出通信网络切换过于迅速易缩短机器的使用寿命[6]。Liberson等提出切换网络可能在速度较快的切换信号下无法保持稳定[7]。因此，针对一阶多智能体系统，研究人员开始研究通过限制切换信号转换的速度来减慢系统网络拓扑的切换速度。其中，Liu等研究拓扑切换下时延网络的局部指数同步[8]，其通信网络拓扑根据ADT信号进行切换，但系统针对的是恒定耦合时延，在实际应用中具有较大的局限性。

基于以上论述的启发，本文主要考察在以下两个约束条件下一阶多智能体系统的一致性问题：(1)ADT转换规则下的受限有向切换信息交互网络；(2)时变的信息交互时延。

1 动力学模型

假定所研究的多智能体系统中包含智能体的 个智能体，本文只考虑一阶积分器型时间连续系统，建立动力学模型如下[9]

(1)

另外，d(t)表示时变时延，可定义为一种满足以下条件的时变可微函数

(2)

其中，h>0且μ为常数。同时，令x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T，则多智能系统可写成矩阵形式如下式所示

(3)

其中，Lσ为有限切换拓扑的拉普拉斯矩阵。在建立一阶带自时延和有限切换拓扑的多智能体系统模型后，本文的目标是分析多智能系统在具有ADT特性的切换拓扑下，达到指数一致性的充分条件。因此，需在此引入ADT的定义。

定义1 对于切换信号σ(t)和任意T2≥T1≥0，令Nσ(T1,T2)表示σ(t)在区间(T1,T2)内切换的次数。若存在τa>0和整数N0≥0使得

(4)

则称τa为ADT。通常规定N0=0。

2 一致性分析

2.1 状态变换

为分析上述多智能体系统的指数一致性，本文对多智能体系统进行状态变换如下

y(t)[y1(t),y2(t),…,yN-1(t)]，其中，矩阵E=[-1N-1,IN-1]∈R(N-1)×N。对于i=1，2，…,N-1，有yi(t)=xi+1(t)-x1(t)，则矩阵形式的多智能体系统可转化为如下降阶形式

(6)

其中，Πσ=-ELσF，F=[0N-1,IN-1]T∈RN×(N-1)。通过状态变换(5)，向量y(t)∈R(N-1)可用于描述系统(1)中智能体间的差异。因此，经转换后的降阶系统(6)可用来描述原系统的动态差异，称其为差异系统。

2.2 指数一致性分析

(7)

针对子系统(7)，构造Lyapunov-Krasovskii泛函如下

(8)

其中

(9)

[yT(t)Qiy(t)-e-αhyT(t-h)Qiy(t-h)]

(10)

[μ-e-αh]yT(t-d(t))Riy(t-d(t))

(11)

(12)

综合式(9)～式(12)，并结合詹森不等式，可得

其中

假设Φi<0，则有

(13)

对其积分可得

Vi(t)≤e-α(t-t0)Vi(t0),∀i=M

(14)

针对整个系统(6)，构造如下的分段Lyapunov-Krasovskii泛函

(15)

其中

假设存在β≥1，对于∀i,j∈M有

Pi≤βPj,Qi≤βQj,Ri≤βRj,Zi≤βZj

(16)

则根据式(16)进一步可得，对于切换时刻tj有

(17)

(18)

同时，由式(15)可得

a‖y(t)‖2≤Vσ(t)(t)

(19)

(20)

其中

结合式(18)～式(20)可得

(21)

即

(22)

定理1 考虑以σ(t)作为切换信号的受限切换拓扑下的多智能体系统(1)，其中σ(t)满足式(4)，且时变时延d(t)满足式(2)。令α>0、h>0及μ为给定标量，若存在矩阵Pi>0、Qi>0、Ri>0、Zi>0，∀i∈M，使得

定理1给出在线性矩阵不等式框架下，检验受限切换拓扑下一阶多智能体系统是否达到指数一致性的充分条件。其中，LMI形式下的检验标准有以下优势：(1)检验过程中无需改变条件中的矩阵和(或)参数值；(2)通过LMI计算机数值模拟能使已执行问题得到有效验证。同时，在ADT满足式时，可进一步确定切换信号σ(t)使得多智能体系统达到指数一致性。

此外，定理1所描述的指数一致性检验准则是基于系统存在时变时延的情况，因此条件更符合实际应用的要求。同时，准则中只要求d(t)关于时间t的一阶导数μ为已知量，因此均适用于拥有较快或较慢的时变时延信息交互的多智能体系统。然而，当d(t)不可导或s(t)的导数未知时，定理1就会失效。此时，可调整并设计类似的检验准则来分析系统的指数一致性问题。

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Exponential Consensus of Multi-agent Systems with Time-varying Delay Under Constrained Switching Topologies

The consensus protocol is designed under constrained switching topologies orchestrated by switching signal with ADT property to addresses consensus problem of first order multi-agent systems (MASs). By introducing a state transformation, the problem is converted to the exponential stability problem of a reduced-order disagreement system. By constructing the piecewise Lyapunov-Krasovskii functionals, some sufficient conditions in the form of linear matrix inequality for exponential consensus are derived with the help of Jensen’s Inequality.

multi-agent system; exponential consensus; single-integrator; time-varying delay; constrained switching topology

2015- 12- 28

国家级大学生创新训练基金资助项目(201511846024)

梁志鹏(1992-)，男，硕士研究生。研究方向：应用数学。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.10.018

TP273+.5

A

1007-7820(2016)10-062-04