一种递推改进的DFT同步相量测量方法的特性分析

张湛，汪洋堃，张峰

（1.中国电力工程顾问集团中南电力设计院，武汉　430071；2.上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海　200240）

一种递推改进的DFT同步相量测量方法的特性分析

张湛1，汪洋堃2，张峰2

（1.中国电力工程顾问集团中南电力设计院，武汉430071；2.上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海200240）

针对传统离散傅里叶变换（DFT）测量算法提出改进方案，以减小电网频率波动时不同步采样造成的测量计算误差。运用采样点函数的递推关系构建特征值方程，选择数据点数可变的采样数据窗，削弱因系统频率偏移造成的周期截断误差，推导出了递推改进的同步相量计算公式。在基频额定值偏移量分别为定值、正弦量、线性函数值、随机数等情况下进行测试，相比传统DFT算法，改进算法的相角和幅值测量精度均有显著提升。在此基础上研究了采样频率和采样策略对算法性能的影响，以及算法对含有谐波信号的应用效果。试验结果表明，改进的DFT算法的计算精度和实时性均明显提高。

同步相量测量；离散傅里叶变换；误差；定频率采样

0　引言

同步相量可以反映电力系统的稳态状况和动态行为，在电力系统的稳态监测、暂态稳定预测和线路故障定位等领域的区域稳定控制、发电机励磁控制、系统暂态稳定分析和系统自适应失步保护等方面发挥着重要作用［1］，为电力系统运行状态的判断提供重要依据。同步相量测量是电力系统广域测量的重要基础技术之一，在电力系统的监测、保护和控制方面有广泛应用，有助于保证大电网的安全、稳定控制，测量的同步性、准确性、实时性是广域动态信号测量技术的基础和核心。

传统的数据采集与监视控制（SCADA）系统着力于电力系统稳态监测和控制，测量电压、电流幅值等稳态参量并进行相应的潮流计算与分析，但不能对网络的动态变化及时做出判别和响应。而传统的微机继电保护装置、故障录波器等故障监测保护装置，由于没有全网统一时标而缺乏数据同步性［2］。

现代同步相量测量装置（PMU）用于测量带有精确时标的电压相量，包括频率、幅值和相角3个重要参数［2］。研究有效的同步相量测量算法，对提高广域网的鲁棒性有重要意义。同步相量的测量精度和运算量是评价PMU算法性能优劣的重要指标，也是同步相量测量技术的重点。

同步相量测量的误差来源主要有：同步脉冲的系统误差，如同步信号传输时延、程序运算处理消耗时间等；测量装置的硬件电路误差，如电压电流互感器、输电缆、滤波器的相位延迟等；测量算法软件误差，如网络实时频率追踪误差、浮点处理策略原理性误差等。其中硬件误差可以通过提高设备的性能来减小，软件算法误差需要提出更优化的测量算法来逼近真实值。常用的同步相量测量算法有过零检测法、离散傅里叶变换（DFT）法、最小二乘法、卡尔曼滤波法和牛顿法等［3］。其中DFT算法因原理简明、易于硬件实现、可抑制谐波等特点［4］，成为同步相量测量的基本算法，各国学者在其基础上结合不同技术方法，提出了GPS锁相技术算法、加窗修正算法、一阶泰勒模型修正法等，用硬件或软件同步法对其进行改进优化［5］，以获得更为准确的测量结果。

采用DFT算法计算同步相量方便快捷，但当电力系统频率偏离额定值时，采样频率与基波频率不同步，会造成频谱泄漏，进而带来测量误差［6］。

本文针对传统DFT测量算法提出分析和改进方案，以减小电网频率波动时不同步采样造成的测量计算误差，提升频率和相角的测量精度，并在此基础上提出迭代递推傅里叶算法，以减小算法的运算量。

1　传统DFT同步相量测量算法及改进

1.1传统DFT同步相量测量方法的误差分析

电网频率质量的标准，如GB/T15945—1995《电能质量电力系统频率允许偏差》和《全国供用电规则》规定：电力系统频率偏差允许值为±0.2 Hz，电网装机容量在3000MW以下的，频率偏差允许浮动范围为±0.5Hz。当采样频率不是系统频率的整数倍时，单位采样窗采集的信号点多于或少于单位周期范围，因而使得相邻周期的能量多于或少于单位周期能量，即发生频谱泄漏［6］。减小这种测量误差的根本办法是尽可能精确地追踪系统实时频率，使采样频率与系统频率成整数倍频关系，即同步关系。由式fs=Nf，可以选定采样窗数据点数，依电网频率改变采样频率；也可以选定采样频率，依电网频率改变采样窗宽。由于实时改变PMU设置的采样频率时会有较大的硬件误差，本文选择变窗宽的定频采样进行算法优化研究。

1.2改进算法原理

改进的DFT算法考虑实际电力系统动态变化，将频率偏移造成的计算误差考虑到新算法中，设定变量进行代换推导，得到前后数据窗之间的关系，推导简要过程如下。

解该方程得到更新后的特征值q，代入式（12）、式（13）得到更新后的XR_new，XI_new。因此，改进算法的幅值、相角计算公式如式（15）、式（16）所示

式中：φ（f0）为基频旋转因子产生的相角。

改进DFT算法保留了原DFT算法的优点，同时考虑电力系统在频率偏移情况下的误差原因，构建两部分函数递推规则，通过考察相邻采样点间的递推关系，推导出了幅值、相角计算公式，在一定程度上提高了精度，同时还保证了工程实践中实时性的要求。

2　改进算法的性能提升

运用DFT算法进行相量计算时至少需要一个采样周期的数据，数据采集周期较长，且随着采样点数的增加，计算量显著增加［7］。本文利用迭代递推算法对原数据窗口计算的相量值进行修正，采样数据窗口中的采样值计算与修正同步进行。递推算法是针对单次谐波的提取，使算法的计算量进一步减少，提高算法的实时性［8］，实现单次谐波的在线实时跟踪。

具体步骤为：对采样得到的数据x（n）（n=0，1，…，N-1）利用离散傅里叶变换定义可以得到k（k=0，1，…，N-1）次谐波分量为

对于后移一个采样点的采样数据，同样可以得到以下展开式

观察式（19），提升后的测量算法是由X（k）来计算相量值后移一个采样点的傅里叶变换X′（k），只需1次复数加法、2次复数乘法和1次实数加法便可得到结果。采用迭代递推DFT算法计算新相量时，用传统算法的两个采样值进行加乘运算，依次迭代即可求得更新后的相量，大大减小了计算量。

该迭代递推算法计算出的相量，电网频率稳定时在复数坐标轴上是一个固定的相量，系统频率发生变化时，在相量定值左右以一定角度摆动。

提升性能的改进算法具有明显的优势：首先，计算量不随采样点的增加而提高，且随着数据窗内采样点的增加，迭代递推算法的高效性和优越性更为突出；其次，能够实现基波、各次谐波的傅里叶变换，不必对采样周期加以限制，可从任意点开始进行傅里叶变换；另外，算法采用迭代递推方式，适用于单次谐波的在线跟踪。

3　本文算法的仿真结果与分析

仿真中取电压信号为x（t）=Ucos（2πft+φ0），基波额定频率f0=50Hz，基波频率波动量为Δf，电压幅值U=5V，初相角φ0=30°。

3.1基频按不同情况波动时的测量效果

Q/GDW131—2006《电力系统实时动态监测系统技术规范》中，PMU的采样频率是常量。由式fs=N（k）f选定采样频率fs，随着电网实际频率的改变，所加数据窗宽不同，但此时N（k）=fs/f很大概率上不是整数，四舍五入取整使得该方法的计算结果仍有一定误差。

本文算法在递推公式的基础上选择数据点数可变的采样数据窗（即定频变窗宽采样），进行同步相量测量。实验中当基频额定值偏移量Δf分别为定值、正弦量、线性函数值、随机数等情况时，以采样频率fs=3.2kHz为例，运用本文提出的递推改进的DFT算法计算电压同步相量的幅值和相角，并与传统DFT算法进行比较，如图1～图4所示。

图1　Δf=-0.5Hz时定采样频率基波同步相量计算结果比较

图1～图4对比了Δf=-0.5，0.5cos（2π×50t+ 30°），0.5-50t，rand（-0.5，0.5）Hz时改进算法在定采样频率变窗宽情况下的测试结果。各频率偏移情况下的测量误差见表1。

图2　Δf=0.5cos（2π×50t+30°）Hz时定窗宽基波同步相量计算结果比较

图3　Δf=（0.5-50t）Hz时定窗宽基波同步相量计算结果比较

图4　Δf=rand（-0.5，0.5）Hz时定窗宽基波同步相量计算结果比较

最大误差反映算法在极端情况下的特性，平均误差反映算法的常态和普遍特性。观察表1可以发现，在同一采样频率、不同基频波动情况下，本文算法测得的幅值和相位最大误差均小于传统DFT法。比较平均误差，本文算法计算的相角误差比传统DFT法有量级上的显著提升；除了基频波动按正弦波动的情况，其他多数情况下本文算法的幅值测量效果也有较大的改进。

表1　本文算法与传统DFT算法在不同基频额定值偏移下的测量结果对比

3.2采样频率对算法的影响

稳态下电力系统频率波动轻微且波动规律不明显，接近随机变化。本文模拟当频率小幅度随机变化时，本文算法与传统DFT算法在不同采样频率下的相量测量情况，见表2。

分析表2可得到以下结论。

（1）在各个采样频率下，本文算法相比传统DFT算法，测量精度均有量级的提升，是对传统方法的显著改进。

（2）随着采样频率的增加，两种方法的幅值、相位测量误差（用平均误差来衡量）均呈减小趋势。其原因在于，采样频率的增加减小了窗宽N=［fs/f］取整引起的误差，进而更大限度减小了非完整周波采样造成的能量泄漏。

表2　Δf=rand（-0.5，0.5）Hz时不同采样频率下两种算法的误差对比

（3）对于幅值测量，两种方法的测量精度均较高。采样频率的提高对相角的测量精度提升较大，且本文算法的相角测量精度提升效果更加明显。

（4）本文算法在更高的采样频率下计算结果更准确，应根据实际的测量精度要求和硬件成本，选择适当的采样频率来进行同步相量测量。

3.3不同采样策略的效果比较

如果将采样策略改为按实际频率实时变化采样频率，即fs（k）=Nf，采取定窗宽变采样频率的方法对信号进行采样，可以克服可变窗宽方法中采样频率非整数倍频的问题。在Δf=rand（-0.5，0.5）Hz时，定频采样和定窗宽采样策略在不同采样频率等级下的同步相量测量精度对比见表3。

表3　定频变窗宽与定窗宽变频采样的测量效果对比

表3中，将定采样频率可变窗宽法和定窗宽变采样频率法简称为定频变窗宽和定窗宽变频。其中，组1是定频变窗宽时fs=3.2kHz和定窗宽变采样频率时N=64设置下计算的同步相量的误差；组2和组3分别为fs=16.0kHz，N=320和fs=32.0 kHz，N=640时两种采样策略下的计算精度比较。各组试验的采样频率等级接近。

由表3可以看出，用平均误差来衡量，随着采样频率的提升，两种采样策略的计算精度提高，且对定窗宽法的提升效果更显著。在相近的采样等级下，fs=3.2kHz，N=64时，定频变窗宽法的计算精度优于定窗宽变频法；fs=16.0kHz，N=320时，两种采样策略的计算效果接近，定频变窗宽法略有优势；fs=32.0kHz，N=640时，两种方法的幅值测量精度都满足系统标准要求，定窗宽变频法的相角计算结果更准确。此外，数据统计表明，两种采样策略的计算精度都优于同样采样等级下传统DFT算法的测量效果。

但是，实时变化的采样频率对频率追踪算法精度和实时性有极高要求，在实现时改变PMU设置的采样频率会有较大的硬件误差。在一般应用场合，定频变窗宽法的应用效果可以满足系统要求。此外，现行Q/GDW1311—2014《电力系统实时动态监测系统技术规范》中，PMU采样频率是常量［9］，综合考虑应用成本和可实现性，本文选取定采样频率可变窗宽法进行相量测量。

3.4对含谐波的信号进行测试与分析

实际信号中混有高次谐波的同时，频率在一定范围内随机浮动，这对算法的性能要求较高。从图5可以看出，本文算法对频率波动反应灵敏，相量幅值和相角计算比传统DFT算法更接近真实值。表4为该种信号在基频随机波动时，不同采样频率下传统DFT算法与本文算法的测量误差对比。

图5　含谐波待测信号在Δf=rand（-0.5，0.5）Hz时同步相量测量结果比较

表4　含谐波的信号在Δf=rand（-0.5，0.5）Hz时，两种算法的测量误差对比

以上仿真结果表明，系统信号发生小幅度频偏且信号中存在谐波及频率波动的干扰状态下，本算法的总相量误差指标较小，说明了本文算法精度高、抗干扰性较强。

由表4和图5可以看出，递推改进的DFT算法的计算精度和实时性均明显提高，可满足工程应用的要求。

4　结论

本文针对电力系统频率偏移时不同步采样造成的周期截断误差，提出递推改进的DFT同步相量测量算法，选择数据点数可变的采样数据窗，构建了采样点傅里叶变换各部分函数的递推关系，通过相邻采样点构建的递推方程解出算法特征值，推导出了改进的幅值、相角计算公式。

（1）用基频额定值偏移量为定值、正弦量、线性函数值、随机数等算例分别测试算法，研究了当基频在一定范围内随机波动时，采样频率和不同采样策略对算法性能的影响，以及算法在含谐波信号的应用效果。通过比较，发现随着采样频率的增加，本文算法的测量精度提升。

（2）相比定窗宽变频采样策略，本文算法在应用成本和可实现性方面有一定优势，相比传统DFT算法，幅值和相位测量精度有量级的提升，对准确求取同步相量具有一定的实际意义。

（3）本文的迭代递推算法对数据窗口采样值的计算与修正同步进行，计算量小于改进前的算法，可以应用于实时、高采样频率场合。

［1］钟山.同步相量测量装置关键技术研究［D］.成都：西南交通大学，2006.

［2］廖彦洁.电力系统同步相量测量算法研究及实现［D］.重庆：重庆大学，2012.

［3］许树楷，谢小荣，辛耀中.基于同步相量测量技术的广域测量系统应用现状及发展前景［J］.电网技术，2005，29（2）：44-49.

［4］闵勇，丁仁杰，韩英铎，等.自适应调整采样率的相量在线测量算法研究［J］.电力系统自动化，1998（10）：10-13.

［5］刘炳旭，赵建国，高厚磊.基于固定采样率的相量精确测量算法［J］.山东大学学报（工学版），2005，35（6）：46-49.

［6］王茂海，孙元章.基于DFT的电力系统相量及功率测量新算法［J］.电力系统自动化，2005，29（2）：20-24.

［7］CHAKRABORTTYA，CHOWJH.Interareamodelestimationforradialpowersystemtransferpathswithvoltagesupportusingsynchronizedphasormeasurement［C］.IEEE. PowerandEnergySocietyGeneralMeeting：Conversation andDeliveryofElectricalEnergyinthe21stCentury.Pittsburgh：IEEE，2008：1-7.

［8］徐建源，王亮，林芊，等.基于递推DFT同步相量测量算法的研究［J］.高压电器，2011，47（11）：40-44.

［9］电力系统实时动态监测系统技术规范：Q/GDW1311—2014［S］.

（本文责编：刘芳）

TM76

A

1674-1951（2016）09-0013-07

2016-04-06；

2016-07-26

张湛（1966—），男，江苏溧阳人，工程师，从事电力系统设计和电力系统智能技术等方面的研究（E-mail：zhangzhan @csepdi.com）。

汪洋堃（1990—），女，河南洛阳人，在读博士研究生，从事故障电弧检测技术、信号处理算法优化等方面的研究（E-mail：queen_wang@sjtu.edu.cn）。

张峰（1968—），男，江苏溧阳人，教授，博士生导师，工学博士，从事电工理论与新技术、故障诊断与检测技术、现代轨道交通技术等方面的研究（E-mail：fzhang@sjtu.edu.cn）。