最优投资模型分析

韩晓茹, 易法槐

(1.佛山科学技术学院理学院, 佛山 528000; 2. 华南师范大学数学科学学院, 广州 510613)



最优投资模型分析

韩晓茹1,2, 易法槐2*

(1.佛山科学技术学院理学院, 佛山 528000; 2. 华南师范大学数学科学学院, 广州 510613)

为研究到期日是有限时间的带维修费的最优投资问题, 分析了公司的期望收益与时间、公司的股本之间的关系：利用动态规划原理和随机分析的知识建立了公司收益函数所满足的数学模型, 此数学模型是1个带梯度约束的抛物变分不等式；利用偏微分方程的方法, 通过构造惩罚函数, 证明了此抛物变分不等式强解的存在唯一性, 并得到了相应的估计. 结果表明, 公司的期望收益随公司股本的增加而增加, 随到期日的临近而递减. 这对指导企业设计最优投资策略具有重要的理论价值.

维修; 投资; 有限时间; 变分不等式; 梯度约束

最优投资问题是备受关注的问题，如到期日是无限时间的可逆或不可逆情况下的最优投资问题[1-4]、有限时间带交易费的最优投资问题[5-6]. 但这些文献在考虑最优投资问题时并没有考虑设备的维修问题.近几年,不少学者研究了到期日是无限时间的情况下带维修费的最优投资问题[7-12]，其中，KAWAGUCHI和 MORIMMOTO[9]将问题转化成与时间无关的椭圆变分不等式，并得到了值函数的性质. 但是,在实际金融市场中, 业界更关心在有限时间内如何投资才能获得最大收益. 关于这方面的研究，进展艰难，至今仍未见相关的文献报道. 其困难的本质原因在于公司的收益是一个依赖于时间的函数, 满足的是抛物变分不等式,而且最优投资策略是随时间不断发生变化的, 这给研究公司收益函数的性质带来了困难.

基于以上分析, 本文研究到期日是有限时间的带维修费的最优投资问题, 研究公司的期望收益与时间、公司的股本之间的关系. 首先利用动态规划原理和随机分析的知识建立了公司收益函数所满足的数学模型, 它是一个带梯度约束的抛物变分不等式. 然后利用偏微分方程的方法, 通过构造惩罚函数, 证明了上述抛物变分不等式强解的存在唯一性, 并得到了相应的估计.

1　模型推导

考虑到期日是有限时间T的带维修费的最优投资问题. 公司的生产率Xs在将来会面临不确定的变化, 同时生产设备也在不断地折旧. 假设对任意的时间t(0≤t≤T)，当s≥t时, 股本Ys和股本的生产率Xs分别满足：

其中(Ω,F,P)是一完备的概论空间,{Bt}是一维标准的布朗运动,Fs表示由{Bt,t≤s}生成的自然域流, μ≥0是期望回报率，σ>0表示波动率，λ>0表示折旧率.

公司可以通过不可逆投资来增加生产资本, 同时也可以通过对原有设备进行维修来提高生产率. 用I={Is}表示到s时刻为止投入到公司的资本. 它是单调非减的、右连续的{Fs}适应的随机过程, 并且I0=0. 公司的股本生产率受维修策略m={ms}影响, 其中m={ms}是{Fs}适应的随机过程, 满足0≤ms≤M, 其中M>0是维修策略的上界. 对于给定的投资维修策略(I,m), 公司的股本Ys和股本生产率Xs分别满足

(1)

投资维修策略(I,m)称为是容许的, 如果

其中α>0是贴现因子. 用At(x,y)表示所有容许策略的集合, 即容许集.

p1∫tTe-α(s-t)msXsds-p2∫tTe-α(s-t)dIs|Xt=x,

(2)

其中p1>0,p2>1是已知的常数;F(x,y)=x1-γyγ(0<γ<1)表示Cobb-Douglas生产函数;∫tTe-α(s-t)F(Xs,Ys)ds表示在[t,T]期间公司总收入的贴现, p1∫tTe-α(s-t)msXsds表示在[t,T]期间所花的维修费的贴现, p2∫tTe-α(s-t)dIs表示在[t,T]期间用于不可逆投资的成本的贴现.

定理1值函数V(x,y,t)关于变量(x,y)在(0,∞)2上是凹函数.

因此, 由式(2)有

(3)

V(kx1+(1-k)x2,ky1+(1-k)y2,t)≥

kV(x1,y1,t)+(1-k)V(x2,y2,t).

由此可知值函数V(x,y,t)关于(x,y)在(0,∞)2上是凹函数

(4)

e-α(t+h)V(Xt+h,Yt+h,t+h)-e-αtV(x,y,t)=

∫tt+he-αs(-αVds+∂tVds+∂xVdXs+

∫tt+he-αs(-αVds+∂tVds+∂xVdXs+∂yVdYsc+

∫tt+he-αs∂yVdIs.

(5)

(6)

将式(5)代入式(6), 可得

(7)

令h®0,有

E[e-αt(∂yV(x,y,t)-p2)(It-It-)]≤0.

由于It是单调非减的，则

∂yV(x,y,t)-p2≤0.

两边同除以h并且令h®0, 由中值定理可得

e-αt(F(x,y)-p1mtx-αV+∂tV+∂xV(μx+mtx)-

(8)

式(8)关于mt取上确界, 于是

即

∂tV+L1V+xM(∂xV-p1)++F(x,y)≤0.

最后证明：当∂yV

∂tV+L1V+xM(∂xV-p1)++F(x,y)=0.

即

则由动态规划原理[13], 对任意的h>0, 有

两边同除以h并且令h®0, 由中值定理可得

即

∂tV+L1V+xM(∂xV-p1)++F(x,y)=0.

证毕.由于问题(4)是二维倒向的变分不等式，做变换

(9)

则问题(4)可转化成一维正向的变分不等式

(10)

其中r=μ+λ,β=α-μ, f(Z)=F(1,Z)=Zγ,

又因为问题(10)的算子L2在Z=0点蜕化, 所以做变换

z=lnZ,u(z,t)=U(Z,t),

(11)

则问题(10)转化为

(12)

2　值函数的性质

为了证明问题(12)解的存在性, 先考虑问题(12)的惩罚逼近问题

(13)

其中ΩT=×[0,T],βε(t)满足

βε(t)=0(t≥ε),βε(t)<0(t<ε);

而且

(14)

在接下来的讨论中，假定β>M.

0≤uε,n≤p2ez-εz+p0,

(15)

-ε≤∂zuε,n≤p2ez,

(16)

∂tuε,n≥0,

(17)

其中

(18)

C1、C2是正常数.

下面证明式(15). 记u1°0, 有

∂tu1-Lu1-Mπε(u1-∂zu1-p1)-eγz+

e-zβε(p2ez-∂zu1)=-Mπε(-p1)-

eγz+e-zβε(p2ez)=-eγz+e-zβε(p2ez)≤0.

并且

利用比较原理[14]可得uε,n≥u1=0.记u2∶=p2ez-εz+p0, 则∂tu2-Lu2-Mπε(u2-∂zu2-p1)-eγz+e-zβε(p2ez-∂zu2)=

Mπε(-εz+p0+ε-p1)-eγz=

下面将证明

∂tu2-Lu2-Mπε(u2-∂zu2-p1)-eγz+

e-zβε(p2ez-∂zu2)≥0.

事实上，当z®+∞时,

所以存在M1>0, 使得当z>M1时, 有

其中p0由式(18)确定. 同时，注意到连续函数

在有界区域[(p0+ε-p1)/ε,M1]上是有界的, 假定

其中p0由式(18)确定.另一方面，当z®-∞时,有

所以存在M2>0, 使得当z<-M2时, 有

εM+Mp1>(β-M)p0>0,

其中p0由式(18)确定.同时，由于连续函数

在有界区域[-M2,(p0+1-p1)/ε]上是有界的, 假设

Mp1+(β-M)p0≥-C2+(β-M)p0≥0,

其中p0由式(18)确定.并且，当n充分大时，有

利用比较原理[14]可得uε,n≤p2ez-εz+p0.下面证明式(16). 记w=∂zuε,n, 由式(14)可知w满足

记w1=-ε, 则

由比较原理[14]可得∂zuε,n≥-ε. 记w2=p2ez, 则w2满足

同样地，由比较原理[14]可得∂zuε,n≤p2ez.

其中ΩT-δ=×(0,T-δ].利用变分不等式关于初值的比较原理[14], 可得

下面讨论问题(11)在无界区域上解的存在性及相应的估计.

0≤uε≤p2ez-εz+p0,

(19)

-ε≤∂zuε≤p2ez,

(20)

∂tuε≥0,

(21)

其中p0由式(18)确定.

证明由式(15)和式(16)可得

-p2ez≤uε,n-∂zuε,n≤p2ez-εz+p0+1,p2ez-∂zuε,n≥0.

|uε,n|W2,1p(ΩmT)≤C(M|πε(·)|Lp(ΩmT)+|e-z(βε(0))|Lp(ΩmT)+

0≤u≤p2ez+p0,

(22)

0≤∂zu≤p2ez,

(23)

∂tu≥0,

(24)

推论1问题(3)的解满足：

∂yV(x,y,t)≥0,

(25)

∂tV(x,y,t)≤0.

(26)

证明由式(23)、(24)及变换(9)、(11)可得：

∂tV(x,y,t)=-x∂tu(z,t)≤0.

注1式(25)表明公司的期望收益随公司股本值的增加而增加，即公司的资产规模越大，期望收益就越大.式(26)表明公司的期望收益随着到期日的临近而递减，这和实际的金融背景是一致的.距离到期日越近，公司的盈利机会就会越少.

3　结论

本文研究了到期日是有限时间的带维修费的最优投资问题，更精确刻画公司的最大收益随时间和空间的变化情况.研究结果表明, 公司的期望收益随公司股本的增加而增加, 随到期日的临近而递减. 这对指导企业设计最优投资策略具有重要的理论价值.

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【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

Analysis of An Optimal Investment Model

HAN Xiaoru1, 2, YI Fahuai2*

(1.College of Science, Foshan University, Foshan 528000,China; 2.School of Mathematical Sciences, South China Normal University,Guangzhou 510631,China)

The purpose of the paper is to study the optimal investment problem with maintenance expenditure of the firm with finite horizon, and to discuss the relationship between the firm’s expected return and time and the firm’s capital stock. Firstly, applying dynamic programming principle and stochastic analysis, the mathematical model of the company’s revenue function is established, which satisfies a parabolic variational inequality with gradient constraint. Then, using the method of partial differential equation, the existence and uniqueness of strong solutions of the parabolic variational inequality are proved by constructing the penalty function, and the corresponding estimates are obtained. The results show that the expected return of the company increases with the increase of the company’s capital stock, and decreases with the approaching of the expiration date. It has important theoretical value to guide the design of the optimal investment strategy.

maintenance; investment; finite horizon; variational inequality; gradient constraint

2016-01-20《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n

国家自然科学基金项目(11271143, 11371155,11471276,11326123);高等学校博士学科点专项科研基金项目(20124407110001); 广东省青年创新人才项目(2014KQNCX181);佛山科学技术学院优秀青年教师培养计划项目(fsyq201503)

易法槐,教授,Email:fhyi@scnu.edu.cn.

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