初中数学教学中“特殊与一般”的实践与研究

郑婷

数学新课程标准指出，人人学有价值的数学. 这些价值可以体现在数学思想方法上.特殊与一般是初中数学学习中关键的一个思维过程.它既是探路石，又是寻求解决问题的关键和灵感来源.在教学过程中，教师融合特殊化或者一般化的教学方式，能够培养学生不同阶段的创新能力，做到“人人学有价值的数学”.对于初中学生而言，有价值的数学学习，不仅要掌握学习内容，而且要运用数学思想方法正确解题.在数学教学中，特殊和一般的思想方法有着特殊的地位.学生掌握了这种思想方法，就能够学以致用解决遇到的问题.那么，如何运用特殊与一般的思想方法呢？下面就初中数学教学中特殊与一般的实践与研究谈点体会.

一、认识特殊与一般的思想方法

1.特殊与一般的基本内涵

人们开始认识一类新事物，往往都是先从认识这类新事物的某个个体开始，通过对该个体的初步了解和深入研究，逐步挖掘出这类事物的本质，找到特点，形成规律，上升认识，由感性到理性，由实践到理论.这个认知过程，就是由特殊到一般的思维过程.人们的探究不会因此止步.数学来源于生活，还要服务于生活.人们需要用这些理论来验证新的问题，指导新的问题.一直以来，特殊—一般—特殊循环反复的认知过程，就是人们认识新事物的基本过程之一.而数学课堂每天都在经历这样的过程，探究新知再应用新知.这是数学中一种重要的思想方法——特殊与一般.

2.特殊化和一般化的深层次认识

这种思想方法分成两类来理解，一种是特殊化思想方法，一种是一般化思想方法.特殊化思想方法是培养学生创新意识的必要条件，利用特殊的数、形、式来试探，有助于寻求解题的突破口，培养学生大胆猜想的意识，体现数学思考、猜想、验证、结论的思维过程.这种思想方法，有助于学生快速答题，一招制胜.那么，何时选用特殊化的思想方法呢？笔者有这样一些心得：（1）紧扣题目中隐含的特殊因素，它可能就是思维的突破口；（2）如果读不懂题目，可以用特殊情况代入题意，寻求解题的捷径；（3）用特殊值来验证结论的正确性.特殊化的方法虽然有奇效，但在主观题中不能作为主流方法，最终还是要用一般化的思想方法给予严谨的解答或证明.从学生掌握知识的本质来看，应该要启发学生一般化的思想方法.数学问题需要归类，不能让学生通过刷题达到高分的目标.一般化的方法，能让学生顿悟数学问题的本质属性，达到“做一题，通一片，会一类”的目的.

3.特殊化和一般化的关系

特殊化和一般化为解题搭建了一个平台，培养了一种逻辑能力，往往这两种思想方法紧密结合，特殊化离不开一般化的理论支持，一般化也需要特殊化的启蒙引导，两者不可割裂，互相转化为学生所用，实现数学价值.

二、具体实践策略和心得

1.由浅入深，入木三分，总结一般化的结论

实践策略：若直接给学生练习，有些学生觉得无从下手，会打退堂鼓，打击了学习的信心.笔者给出特殊角度，这样改编：对于图1，先给出条件∠A=60°，再求∠BOC的度数，大部分学生都能根据三角形的内角和为180°计算出结果.在已有的解题经验上，笔者再问：若∠A=n°，那么∠BOC的度数如何求？两个问题的设计比课本有一定的层次，符合学生的认知规律，因为七年级的学生刚刚接触几何的推理过程，需要由角的特殊值入手结合所学知识解决相应问题，然后上升到一般的情形推导出结论.对于图2，笔者用类比教法，经历特殊到一般的思维过程，也得出第二个一般结论.紧接着笔者再给出图3，出示题目：△ABC的内角∠ABC、外角∠ACD的平分线相交于点O，∠A=n°，求∠BOC的度数.笔者和学生利用内外角的关系推导出第三个结论.对于本道题的引领提升，笔者把图1、图2、图3戏称为角平分线三部曲，加深了学生的印象，通过层层推进的思考和说理，学生必有所收获.学生熟悉了这三个基本图形，那么填空、选择题都可以直接运用相应的结论，提高解题速度.为了检验学生的学习能力，笔者留给学生一道思考题：如图4，给出相应深层次的题目.这样，照顾到学习能力较强的学生，继续开发这部分学生的钻研潜力.

实践心得：一般性的结论都不是凭空出现的，都是建立在特殊情况的基础上，通过猜想归纳而得到.无论代数题还是几何题，随着数字或图形的变化，它原先一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的，这种规律可以作为猜想的一个重要依据.

2.多维角度，触类旁通，互相转化，培养思维

原题：（1）填空：21-20==2（ ），22-21==2（ ），23-22==2（ ）……（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；（3）计算20+21+22+…+21000.

实践策略：所有规律题都可以体验由特殊到一般再到特殊的认知过程.这道题目，从三种特殊情况开始，学生轻车熟路地做出答案，也得出第n个等式.既然有了一般规律，必然可以解决特殊化的数学问题，结合“裂项相消”法，成功实现教学目标.笔者提问：你们还有不同的解法吗？有的学生想到“错位相加法”，笔者为此点赞.在教学中，笔者引导学生抓住多维角度，鼓励不同的方法，总结这一类数列题目的特点，下次遇到相关题目能够知识迁移，触类旁通，特殊与一般互化，从而使学生的思维得到培养.

实践心得：这道题其实很简单.若要将简单变得不平凡，需要教师多收集题目.教师可以一环扣一环由简单方法引申到有一定难度的拓展方法，让学生体验小题大做的乐趣，培养学生的逻辑思维能力.

3.始于特殊，终于特殊，完善思维

原题：计算下列各式，你得到什么结论？试用字母表示数说明结论的正确性.

8×8-7×9；11×11-10×12；80×80-79×81.

实践策略：该类题难度不大.学生在七年级上学期学习了用字母表示数的相关知识，能根据给出的几个特殊值的算式，用字母总结出其中的等量关系转化成平方差的形式，必然可以简化运算.这道题的遗憾在于，没有将理论应用于实践，应该再出一道数值较大的算式，让学生计算.例如，笔者补充这样一题：5002-499×501.让学生学以致用，巩固提高，完善思维.

实践心得：特殊到一般是我们非常重视的思维过程，通过题目潜移默化地熏陶学生的探究思维，但是一般到特殊，我们会忽略，不太注重.一般性的结论是为解决特殊题目而服务的，培养学生这样一种自发的思考问题的方式，能使学生在解题过程中举一反三，活学活用.

4.图形特殊化，思维更直观，找到突破口

原题：如图5，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置.探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由.

实践策略：学生初次接触这道题，往往只能想到转化成三角形的内角和，但是通过外角的相关知识，更能迅速得出答案.笔者是这样设计的：利用几何画板给出如图6，

将图形特殊化，直接运用三角形外角的关系来解决，从而引导学生思考，回到原题，是否也可以运用类似的方法呢？这里体现了图形特殊化解决问题的重要作用.笔者再利用几何画板给出如图7，鼓励学生自主思考，于是有些学生有意识地转化成外角的相关知识，从而提高了教学效果.

实践心得：希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更加重要的作用.”希尔伯特又说：“特殊化是克服数学难题最重要的杠杆之一.”这些话，深刻地揭示了特殊化的重要作用.将几何图形特殊化，能够培养学生的直观思维能力，还能够培养学生的推导能力，从而提升学生的创新能力.

总之，在初中数学教学中，教师要重视课本上的题目，引导学生将特殊与一般内化为自身的一种能力.在解题过程中，学生应尝试把一般问题特殊化，或是特殊问题一般化，或是特殊化与一般化有机结合在一起，提高自己的观察、归纳、猜想、类比的能力.只有这样，才能提高学生的解题效率，实现人人学有价值的数学的目标.