图像法求解子弹射木块问题

安徽省灵璧黄湾中学 华峰

图像法求解子弹射木块问题

安徽省灵璧黄湾中学 华峰

图像一旦被赋予物理意义，就会成为巧妙的解题工具。特别是对一些看似不容易求解的问题，利用图像法求解常常会收到意想不到的效果。最典型的例子莫过于对于“子弹射木块”模型，采用v-t图像法求解往往会行之有效。

图1

图2

一、子弹射木块图像的特点

1.图像的画法

子弹与木块的作用过程可视为：子弹做匀减速运动，木块做匀加速运

动。如果子弹未击穿木块，则它们的末速度相同，其图像如图1所示；如果子

弹能够击穿木块，则子弹的末速度大于木块的末速度，其图像如图2所示。

2.物理意义

（1）木块的v-t图线的斜率大小表示木块做匀加速运动的加速度大小，

子弹的v-t图线的斜率大小表示子弹做匀减速运动的加速度大小。

（2）木块的v-t图线与时间轴所包围面积的大小表示木块位移大小，子弹的v-t图像与时间轴所包围面积的大小表示子弹位移的大小。

（3）图1中△AOC的面积大小表示子弹打入木块的深度d，图2中梯形AODC的面积表示木块的长度l。显然，子弹的位移最大，木块的位移最小，子弹和木块的相对位移介于二者之间。

二、子弹射木块运动图像在解题中的妙用

图3

图4

1.子弹未射穿木块

例1 如图3所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块后不再穿出，此时木块动能增加了6 J，那么此过程产生的内能可能为（ ）。

A.2 J B.4 J C.6 J D.8 J

解析 根据题意作出v-t图像，如图4所示。其中v0为子弹的初速度，v为子弹和木块的共同速度。

由图像可知，子弹运动的位移s1的大小等于梯形OACB的面积，木块运动的位移s2的大小等于△OBC面积，子弹射入木块的深度d等于△AOC的面积大小。显然s2＜d。

设子弹与木块的相互作用力为F，则木块动能的增加量为Fs2，此过程中产生的内能为Fd，故有Fd＞Fs2=6 J。故选D。

例2 一木块静止在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块后未穿出，当子弹刚好相对于木块静止时，木块发生的位移为s。设子弹受到木块的阻力大小恒定，子弹射入木块中深度为d，则s与d的关系为sd（选填“大于”、“等于”或“小于”）。

常规解法设木块质量为M，子弹质量为m，子弹的入射速度为v0，子弹受到的阻力为Ff，子弹相对于木块静止时二者的速度为v。

对木块与子弹组成的系统运用动量守恒定律得mv0=（M+m）v，

图像解法 从子弹射入木块到子弹与木块以相同速度一起运动的过程中，因子弹和木块所受的力大小恒定，所以子弹做匀减速直线运动，木块做匀加速直线运动，建立二者的v-t图像，如图5所示。

当子弹相对于木块刚好静止时，木块的位移大小等于△OCB的面积S1，子弹的位移大小等于梯形OACB的面积S2，子弹穿入木块的深度为d=S2-S1，即为子弹对木块的位移，显然有d＞s。

图5

2.子弹射穿木块

例3 一子弹以较大的初速度水平射穿原来静止于光滑水平面上的木块。设木块对子弹的阻力与子弹的速度大小无关，则木块得到的动能Ek与子弹初速度v0的关系为（ ）。

A.v0越大，Ek越大 B.v0越小，Ek越大

C.Ek与v0的大小无关 D.条件不足，无法讨论

解析 根据题意作出v-t图像，如图6所示。其中v0为子弹的初速度，v1、v2分别为子弹射穿木块后子弹、木块的末速度。

由图像可知，△ODB的面积等于木块位移s2的大小，梯形ODCA的面积等于木块的长度l。

当v0增大时，其所受阻力不变，故加速度不变，即图线的斜率不变，此时子弹和木块的v-t图线如图6中的虚线，因为木块的长度l不变，则形成的梯形OD′C′A的面积一定等于梯形ODCA的面积。

图6

由图像可知，当v0变大时，在使子弹穿木块的前提下，木块运动的路程减小。据Fs2=Ek-0可知，木块获得的动能减小；反之，v0变小时，木块获得的动能增大。应选B。

例4 一颗速度较大的子弹，水平穿过一木块，因此使得原来放在光滑水平桌面上静止的木块具有一定的动能。设子弹无论以多大的速度穿过木块，它都受到相同的阻力，则下列说法中正确的是（ ）。

图7

A.子弹的速度越大，它穿过木块后使木块获得的动能越大

B.子弹的速度越大，它穿过木块后使木块获得的动能越小

C.子弹穿过木块过程中，机械能转化为内能的多少与子弹的速度无关

D.子弹穿过木块的过程中，子弹损失的机械能与子弹的速度无关

常规解法设子弹射入木块时的速度为v0，子弹射出木块时的速度为v1，此时木块的速度为v2，子弹与木块的质量分别为m、M，子弹所受阻力为Ff，木块长为l。

对子弹与木块组成的系统运用动量守恒定律，有mv0=mv1+Mv2，

又有s2-s1=l，

联立以上四式解出v1、v2，可找出v1、v2与v0之间的关系，便可找出正确的选项。（求解过程请同学们自己完成）

列出上述四个方程并不难，但求解这四个方程组成的方程组却并不容易。

图8

图像解法 根据题意可知，子弹穿过木块的过程中，子弹做匀减速直线运动，木块做匀加速直线运动，子弹穿出木块时子弹相对于木块的位移等于木块的长度，则无论子弹射入的速度有多大，只要子弹穿出木块，这个相对位移就是一定的。还有，子弹穿出木块时的速度必定要大于木块的速度。根据分析可将子弹、木块的运动情况用v-t图像反映出来，如图8所示。图中OACD的面积大小等于子弹相对于木块的位移大小，当子弹的初速度增大时，表示其运动的图线应沿纵轴方向向上平移。而木块的运动图线不变，因子弹对木块的相对位移不变，所以子弹在木块中运行的时间会随着子弹入射速度的增大而减小。

从图像上不难看出，子弹入射速度越大（v0′＞v0），子弹穿出木块后，木块获得的动能）越小，则选项A错误、选项B正确。

因为子弹在穿木块的过程中要克服摩擦力做功，消耗的机械能一部分转化为内能，还有一部分转移为木块的动能，转化为内能部分的能量Q内=Ffs相对，Ff、s相对都不变，所以Q内也一定，即机械能转化为内能的多少与初速度无关。因木块获得的动能随子弹入射速度的增大而减小，所以子弹损失的机械能随子弹入射速度的增大而逐渐减小。则选项C正确、选项D错误。

由上述分析可知，本题应选BC。

3.加速度发生变化

例5 如图9所示，质量为m的子弹以速度v0水平射穿放在光滑水平面上的木块，木块长度为l，质量为M。木块对子弹的阻力恒定不变，子弹穿过使木块获得的动能为Ek。若木块或子弹的质量发生变化，但子弹仍穿过木块，下列叙述正确的是（ ）。A.若M不变、m变大，则木块获得的动能一定变小B.若M不变、m变大，则木块获得的动能可能变大C.若m不变、M变大，则木块获得的动能一定变小D.若m不变、M变大，则木块获得的动能可能变大

图9

解析 根据题意作出v-t图像，如图10所示。其中v0为子弹的初速度，v1、v2分别为子弹击穿木块后子弹、木块的末速度。此时v1＞v2。

由图像可知，梯形ODCA的面积大小等于木块的长度l，△ODB的面积大小等于木块的位移s2。

若M不变、m变大，且F不变，由F=ma可知，木块加速度不变，子弹加速度变小，即v-t图像中OD的斜率不变、AC的斜率（绝对值）变小，如图中虚线所示。

图10

根据木块长度不变，即梯形ACDO的面积等于梯形AC′D′O的面积，显然木块的位移s2变小。

据Fs2=Ek-0，可知木块获得的动能变小，A正确。

同理分析可知，当m不变、M变大时，木块获得的动能一定变小，则选项C正确。

综上分析可知本题应选AC。

通过对以上几例的分析可知，求解子弹射木块模型问题，虽然可以利用牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律、动能定理和能量守恒定律，但运算过程将会很复杂，求解过程将会很烦琐。而利用v-t图像求解，要简单、明了、直观、快捷得多，显得干净利索。所以图像作为解决问题的工具，在解决实际问题时常常可以起到化繁为简、化难为易的作用，收到事半功倍的效果。因此我们应正确理解v-t图像的物理意义，不断拓展解题思路，灵活选用巧妙、简捷、快速、准确的解题方法，优化解题路径和解题方法，从而不断地提升解题能力。