两两NQD序列下Kumaraswamy分布的经验Bayes检验问题

李 娟，周菊玲

（新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐 830017）

两两NQD序列下Kumaraswamy分布的经验Bayes检验问题

李 娟，周菊玲

（新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐 830017）

研究了同分布两两NQD样本下Kumaraswamy分布的经验Bayes（EB）单侧检验问题.利用核估计构造了参数相应的经验Bayes（EB）单侧检验函数，在适当的条件下证明了所提出的EB检验函数是渐近最优的，并获得了EB检验函数的收敛速度.

两两NQD样本；kumaraswamy分布；核估计；经验Bayes检验函数

0　引言

经验Bayes（EB）［1］由Robbins提出来，两两NQD样本［2］的EB检验问题也随之提出.在两两NQD样本下某分布的EB检验问题已经有了些许研究.王亮等研究了两两NQD序列下线性指数分布参数的经验Bayes检验问题［3］；邵敏娜研究了两两NQD序列下非指数分布族参数的经验Bayes检验问题［4］；杜伟娟等究了两两NQD序列下Burr Type XII分布参数的经验Bayes检验问题［5］；邵明娜研究了两两NQD序列下线性指数分布参数的经验Bayes双边检验等［6］；黄金超等研究了两两NQD序列下威布尔分布族参数的经验Bayes检验问题［7］.

定义1［2］随机变量X和Y称为是NQD的，若关于∀x，y∈R，有P（X＜x，Y＜y）≤P（X＜x）P（Y＜y）.随机变量序列｛Xn，n≥1｝称为是两两NQD的，若对于任意的自然数i，j，且i≠j，Xi与Xj是. NQD的

本文考虑如下模型：设随机变量的条件概率密度为

考虑由式（1）给出的模型，其中θ是未知参数，α为已知的正常数.其样本空间为x∈Ω=

首先，考虑如下的单侧检验问题H0：θ≤θ0↔H1：θ＞θ0，其中θ0为一给定的常数.

对于上述的假设检验问题，设损失函数为

其中a是大于0的常数，d｛d0，d1｝是行动空间，d0表示接受，H0，d1表示拒绝H0，I（A）为A事件的示性函数.

设参数θ的先验分布G（θ）且为未知.随机判决函数为δ（x）=P（接受H0|X=x），则δ（x）的风险函数为

这里

则当先验分布G（θ）已知且δ（x）=δG（x）时，式（6）可以达到.但G（θ）未知，δG（x）无实用价值，因此本文考虑采用经验Bayes方法.

1　EB检验函数的构造

设｛X1，θ1｝，｛X2，θ2｝，…，｛Xn，θn｝和｛Xn+1，θn+1｝为同分布样本，其中称X1，X2，…，Xn为历史样本，Xn+1为当前样本，它们有相同的密度函数f（x|θ），如式（1）定义：θi（i=1，2，…，n）与θ有共同的先验分布G（θ），X1，X2，…，Xn，Xn+1为同分布弱平稳两两NQD序列.构造β（x）的估计量，作如下的假定：

1）f（x）∈Cs，α，x∈R1，其中Cs，α表示R1中的一族s阶导数存在（s≥3且为正整数），连续且绝对值不超过α的一族概率密度函数.

2）若用f（0）（x）=f（x），f（i）（x）表示f（x）的第i阶导数，利用核估计方法，对i=0，1，定义f（i）（x）的核估计为

这里｛hn｝为一列趋于0的正数序列，令Ki（x），i=0，1，为核函数.则β（x）的估计量为

其中φ（x），ψ（x）由式（5）定义.则EB检验函数可相应的定义为

在本文中令En表示对随机变量X1，X2，…，Xn的联合分布求期望，则δn（x）的全面Bayes风险为

若有则称δn为渐近最优的EB检验函数；若有R（δn，G）-R（δG，G）=O（n-q），则称EB检验函数δn的收敛速度的阶为O（n-q）.

本文作如下假定：

（A1）Ki（x），i=0，1，是Borel可测的有界函数，在（0，1）之外为零且满足下面的条件：

为了导出｛δn｝的渐进最优性和收敛速度的阶，引入如下引理.本文中令c0，c1，c2，…，表示与n无关的常数，即使在同一表达式也是如此.

引理1［8］设｛Xi：i=1，2，…，n｝为同分布弱平稳两两NQD样本序列，对于假设（A1），（A2）均成立，则有

2　主要结果

本节讨论EB检验函数δn（x）的渐近最优性和收敛速度.

定理1 设｛Xi：i=1，2，…，n｝为同分布弱平稳两两NQD样本序列，对于假设（A1），（A2）均成立，且

注 由定理2，当λ→1，s→∞时，参数θ的EB检验函数｛δn（x）｝的收敛速度可以任意接近

3　结语

研究了两两NQD序列下Kumaraswamy分布通过核估计构造了经验EB检验函数，证明了所提出的EB检验函数是渐近最优的，并且得到了EB检验函数的收敛速度.

［1］ Proc Third Berkely Symp Math Statist Prob［M］.//Robbins H.An empirical Bayes approach to statistics.Berkeley：University of California，1955（1）：157-163.

［2］ Lehmann E L.Some concepts of dependence［J］.Ann Math Statist，1966，37（5）：1137-1153.

［3］ 王亮，师义民.两两NQD序列下线性指数分布参数的经验Bayes检验问题［J］.工程数学学报，2010，27（4）：599-604.

［4］ 邵敏娜.两两NQD序列下非指数分布族参数的经验Bayes检验问题［J］.西南师范大学学报，2014，39（11）：30-34.

［5］ 杜伟娟，孙帆.两两NQD序列下Burr Type XII分布参数的经验Bayes检验问题［J］.河北工业大学学报，2012，41（5）：73-77.

［6］ 邵明娜，刘国军.两两NQD序列下线性指数分布参数的经验Bayes双边检验［J］.兰州理工大学学报，2013，39（4）：150-153.

［7］ 黄金超，郭栋，许庆兵.两两NQD序列下威布尔分布族参数的经验Bayes检验问题［J］.伊犁师范学院学报，2014，8（1）：9-14.

［8］ 孙桂平.两两NQD序列密度函数核估计的相合性［J］.河北北方学院学报，2009，25（4）：16.

［9］ 陈玲，韦来生.连续型单指数参数的经验Bayes检验问T题：NA样本情形［J］.应用数学，2004，17（2）：263-270.

Empirical Bayes Test for the Parameter of Kumaraswamy Distribution with NQD Samples

LI Juan，ZHOU Ju-ling
（School of Mathematical Science，Xinjiang Normal University，Urumqi Xinjiang 830017，China）

In this paper，the Empirical Bayes（EB）one-side test rules for the parameter of Kumaraswamy distribution are constructed by using the kernel estimation with pairwise NQD samples.The asymptotically optimal property and convergence rates for the proposed EB test rules are obtained under suitable conditions.

pairwise NQD samples；kumaraswamy distribution；kernel estimation；empirical Bayes test

0212.1

A

1671-6876（2016）03-0203-05

［责任编辑：李春红］

2016-04-28

周菊玲（1968-），女，新疆乌鲁木齐人，副教授，硕士，研究方向为概率论与数理统计.E-mail：326815649@qq.com