运用平面几何知识解高考题

题目在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acos B，

（Ⅰ）证明：A=2B；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=a24，求角A的大小. （2016年高考数学浙江卷第16题）

1试题分析

本文针对试题的第一问做些探究.

由b+c=2acos B和余弦定理得b+c=2a×a2+c2-b22aca2-b2=bc.

考虑A=2B也必有a2-b2=bc，所以∠A的平分线所分的角12∠A应等于角∠B，这样可以考虑等腰三角形或者角平分线的性质证明.又a2=b（b+c）恰似圆幂定理的形式，因而可以运用圆幂定理证明. a·a=b（b+c）这又是相交弦定理的形式，所以又可以运用相交弦定理证明.a·2a=2b（b+c）这又可以运用割线定理来证明.

2平面几何方法的证明

2.1 相似三角形方法

证法1由b+c=2acos B和余弦定理得b+c=2a×a2+c2-b22aca2-b2=bcab=b+ca.

构造三角形BC=a，AB=c，AC=b，如图1，延长BA到D，使AC=AD，角B为公共角，所以三角形CAB和三角形BCD相似，∠B=∠D，而∠BAC=2∠D，从而A=2B得证.

图1图22.2等腰三角形的方法

证法2如图2所示，将BA延长至D，使AD=AC=b，再过C作CE⊥AB，垂足为E，取BD的中点为F，则有BE=acos B，BF=b+c2.

又有b+c=2acos B，所以BE=BF.

所以E、F重合，故可得三角形BCD为等腰三角形.

所以∠BAC=2∠D=2∠B.

即A=2B.

2.3角平分线的性质

证法3如图3，做角A的角平分线AD，则bc=CDBD即bc=CDa-CD，所以CD=abb+c.

在△ACD和△ABC中，

有CDCA=abb+cb=ab+c，

CACB=ba=aba2=abb2+bc=ab+c=CDCA，

因此△ACD和△ABC相似.

所以12∠A=∠CAD=∠B.

所以A=2B命题得证.

图3图42.4相交弦定理

证法4如图4，延长BC至E，使CE=a，延长AC至F，使CF=b+c，连接EF，作EK∥AB交CF于K，则三角形ABC和KEC全等.所以∠A=∠CKE，AB=EK=c，CK=AC=b，KF=CF-CK=b+c-b=c.

所以KF=EK.所以∠KFE=∠KEF.

又a2=b（b+c），所以BC·CE=AC·CF.

由此B，A，E，F共圆，所以∠KFE=∠B.

故∠A=∠CKE=∠KFE+∠KEF=∠B+∠B=2∠B.

所以A=2B命题得证.

2.5圆幂定理

证法5如图5，过B作BC的垂线，和AB的中垂线交于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，则CB与圆O相切于B，且圆O过点A，延长CA交圆于另一点F.根据圆幂定理有BC2=AC·CF，即a2=b（b+AF）.又有a2=b（b+c），所以AF=c.因此AB=AF，所以∠ABF=∠AFB.而∠ABF=∠ABC，所以∠ABF=∠AFB=∠ABC.而∠CAB=∠ABF+∠AFB=2∠ABC，故A=2B.命题得证.

图5图62.6割线定理

证法6如图6，延长CB至E，使BE=a，延长CA至F，使AF=b，再延长AF至G使FG=2c，因CB·CE=a·2a=2a2，CA·CG==2b（b+c）=2a2=CB·CE.

根据割线定理逆定理可知A，B，E，G四点共圆，连接EF，EG，则∠CEG=∠CAB，∠G=∠ABC.又CBBE=CAAF，所以EF∥AB. 所以ABEF=BCCE=a2a=12.即EF=2AB=2c.所以EF=FG.因而∠FEG=∠G=∠CBA.

根据EF∥AB，可得∠FEC=∠CBA.故∠CAB=∠CEG=∠FEG+∠FEC=2∠CBA.

所以A=2B命题得证.

看来，我们在思考三角函数问题时，不能总是马上、直接、完全、思维定势地向“三角恒等变换”和“解三角形”等知识上联系，而忽略了题目关系式所蕴含和隐藏的平面几何性质；否则，你可能会舍近求远，舍简取繁，不要忘记关系式所表达图形的几何性质的发现和利用，往往它会助你一臂之力哦！

作者简介杨续亮，中学一级教师，发表论文多篇，2015年获得了安庆市论文比赛一等奖，曾获得县级骨干教师，安庆市教研先进个人称号，正在主持安庆市市级课题的研究工作.研究方向为数学教育，数学解题.