浅析函数与方程思想及其实际运用

王文文

[摘 要] 函数是高中数学的基本脉络，函数与方程思想是函数与方程知识与方法的升华，可以与高中数学中的多个知识章节结合，作为其解题的指导思想. 在目前的高考和调研考试中同函数与方程思想相结合比较热点的问题有不等式问题、数列问题和解析几何中直线与曲线位置关系的问题等.

[关键词] 函数；方程思想；运用

数学思想与数学方法相伴而生，具有伴生性；它藏匿于各个数学问题中，具有内隐性；相对于显性的数学知识点，数学思想具有一定深度和难度. 数学思想的伴生性和内隐性决定了数学思想不能以直接的方式而只能以渗透的方式来传递给学生. 数学思想的深度和难度以及学生现阶段具有的知识水平，决定了中学阶段并不能穷尽数学思想，而只能接触一些与现阶段知识相契合的数学思想. 通常在高中阶段遇到的数学思想有：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合和分类讨论思想.这其中又以函数与方程思想运用得最多，因为高中数学是以函数为基本脉络的. 文章尝试从函数与方程思想在不同知识层面的运用来浅析函数与方程思想.

函数与方程思想的理论分析

所谓函数与方程思想其实包含着两类思想，即函数思想和方程思想，这两类思想之间存在着一定的相关性，它们之间可以相互转化，例如对于函数y=f（x），通过移项可将其转化成一个二元方程y-f（x）=0，若令y=0，则函数转化成一个一元方程f（x）=0. 因此，在教学过程中通常将函数思想与方程思想并列说明.

具体说来，函数思想是指解题过程中，以函数为桥梁运用它的概念与性质来解读、转化和解决问题，其本质是运用和变化的观点来看待问题，以变量（未知）和变量（未知）的关系为基础，构建相关函数的模型，来分析和研究数学问题中的各个变量之间的关系，从而达到解决问题的功能. 方程思想是指解决问题中分析问题的各个数量之间的等量关系，以等量关系为前提，建立方程或方程组、不等式或不等式组，并利用方程（不等式）的性质和方程（不等式）的求解达到解决问题目的，其本质是运用和变化的观点来看待问题，以定量（已知）和变量（未知）的关系为基础，构建相关方程或不等式的模型，来分析和研究问题定量与变量之间的关系，以达到解决问题的目的.

作为高中知识脉络的主线，函数几乎可以出现在任意知识章节中，结合常见考题可以发现同函数与方程思想结合的问题类型通常有如下几类：首先，不等式与函数的相互转化，例如不等式ax2+bx+c>0中的多项式可看成函数y=ax2+bx+c，而函数y=f（x）可令y>0，则函数又可转化成为不等式，函数与不等式之间可转化的特性，决定了解决不等式问题时常可借助函数的手段来处理. 其次，数列的函数特性，数列的本质是一个离散型函数，其通项公式与前n项求和公式均可看成是以正整数为自变量的函数，因此用函数的观点来处理数列问题是一种常见的手段. 第三，有关解三角形和三角函数求值的问题，解三角形中的正余弦定理带有明显的方程思想，而三角函数本身作为一种特殊的函数本身就具有函数的特点. 第四，解析几何中也是方程思想运用得比较多的地方，比如在处理直线与曲线位置关系时，常将两者的方程联立转化成一元二次方程来处理，再比如在解析几何中求解几何最值时，通常的处理方式是将待求的几何量表示成某个变量的函数表达式，利用函数性质求解最值.

当然上述的理论分析仅仅是从知识的逻辑体系上来分析函数与方程思想，这只能是对函数与方程思想的抽象认识，要深刻理解函数与方程思想，需要更为具象的实例作为支撑.

函数与方程思想的实例运用

扫描近年来的高考题和各市调研试题可以大致将函数与方程思想运用的热点问题归结为如下几类：其一，函数与方程思想在不等式中的运用；其二，函数与方程思想在数列中的运用；其三，函数与方程思想在解析几何中的运用.

1. 函数与方程思想在不等式中的运用

（2015年新课标Ⅱ全国卷） 设f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，使得f（x）>0成立的x的取值范围是多少？

解析：根据题设xf ′（x）-f（x）<0，可以构造函数h（x）=，所以当x>0时，h（x）=<0，可得h（x）=在（0，+∞）上单调递减；h（-x）=，函数f（x）为奇函数，所以h（-x）==h（x），函数h（x）为偶函数，所以h（x）在（-∞，0）上单调递增，f（-1）=0？圯h（-1）=h（1）=0. 由构造函数h（x）=可知，f（x）=x·h（x），所以f（x）>0？圳x·h（x）>0，也即h（x）与x同号. 所以当x>0时，h（x）>0，即0

反思：利用题设所给条件构造一个与已知函数相关的新函数，利用新函数的图象和性质解决不等式问题，这是典型的函数思想. 在解决不等式问题时，有时直接令题设中的多项式为某一变量的函数，有时根据要求构造与已知表达式相关的函数，利用函数的性质和图象解决问题，是一种常见的思路.

2. 函数与方程思想在数列中的运用

（2015年保定一模）设等差数列{an}满足a1=1，an>0，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值为多少？

解析：数列{an}为等差数列，所以Sn=n=n·，=.

又数列{}也为等差数列，因此，2=+？圯2=1+，所以d=2，可得an=2n-1，Sn=n2，因此==+，不妨令f（n）=+，将待求表达式看成关于自变量n的函数，函数f（n）在（0，+∞）上单调递减，所以f（n）≤f（1）=11，因此的最大值为121.

反思：将待求数列的表达式看成是关于正整数n的函数，利用函数的单调性求解待求表达式的最值，是典型函数与方程思想. 数列在本质上可以看作定义域为正整数集或其子集的离散型函数，与数列基本量相关的表达式实质就是相应函数的解析式，因此，解决数列问题应当注意利用函数思想解决问题.

3. 函数与方程思想在解析几何中的运用

（2014年福建） 设P，Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是多少？

解析：根据圆方程和椭圆方程可知圆与椭圆没有公共点，所以可将椭圆上的点视为圆外的点，根据几何意义可知圆外任意一点到圆的最大距离是此点与圆心的距离与半径之和. 所以不妨设Q点坐标为（x，y），所以点Q与圆心的距离d1=. 又因为点Q在椭圆上，所以坐标满足方程+y2=1，即x2=10-10y2，即d1=，化简后可得d=，不妨令h（y）= -9y2-12y+46，y∈[-1，1]，所以当y=-时，h（y）取最大值50，即d1最大值为5，所以PQmax=6.

反思：将两点之间的距离表示成一个关于y的多项式，利用y的取值范围确定多项式的取值范围，显然这是典型的函数求值域的思想. 在解析几何中，求解几何最值是高考的高频热点，而处理这类问题的指导思想就是函数思想：将待求量表示成一个或几个变量的表达式，利用函数求最值的方式来处理几何最值.