关注解题反思，助推学生思维能力的提升

缪海峰

[摘 要] 解题教学是高中数学课程教学的重要组成部分，学生解题能力的提升是教师和学生都十分关注的焦点，本文从高中数学解题的反思角度进行思考与分析，重点探讨反思的途径与策略，以期提升学生创新思维能力，进而提升高中数学课堂教学效率.

[关键词] 解题反思；思维能力；提升

在高中数学解题教学中，教师需要注重解题反思教学，不仅让学生对解题过程进行简单回顾，而且要引导学生对解题过程的重新认识与深层次思考，梳理解题过程中应用的数学知识、解题方法和解题思路等，从而加深学生对教学知识点的理解与掌握，促进学生数学思维的发展，提升学生的思维能力，让学生在解题中做到游刃有余.

反思解题知识，构建完整的知识网络

数学知识是解题的基础，而发现知识点之间的联系是找到解题思路，正确解题的关键. 因此，高中数学教师需要引导学生反思数学知识的“交汇点”，依据概括知识点、发现知识“交汇点”和知识“交汇点”应用的顺序，帮助学生构建完整的知识网络.

例1 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c图象和直线y=25有交点，并且不等式f（x）>0的解为-

解析：由不等式f（x）>0的解为-

反思：从题目中可知，一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式构成“知识链”，二次函数和直线y=25交点即为方程解的横坐标，而不等式用来确定函数在定义域内正负区间. 如果从函数思想出发分析方程和不等式，则解方程f（x）=0即为求函数f（x）零点，解不等式f（x）>0或者f（x）<0即为求函数f（x）在定义域内的正负区间. 学生只有掌握每一个数学知识点，寻找不同知识点之间的联系，并对解题所用知识点进行反思，才能加深对知识点理解与掌握的深度和广度，帮助学生构建完整的知识结构，提升学生的思维能力.

反思题意理解，增强学生思维的缜密性

很多学生在解题时没有准确理解题意，在对题目信息进行解构时不自觉地加上自己的主观臆断，从而使解题过程出现偏差. 因此，在解题教学中，教师需要引导学生反思题意理解，注重思维的全面性与缜密性，从题目获取信息时做到不增不减.

例2 设集合A={xx2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，试求A中所有元素的和.

错解：已知x2+（b+2）x+b+1=0，由韦达定理，可得x1+x2=-b-2，则A中所有元素和为-b-2.

题目错解主要体现在：①直接认为方程有两根；②将集合A中所有元素的和等同于一元二次方程根的和；③没有讨论参数b的取值情况. 学生出现错解的原因是在理解题意时出现偏差，不但片面地认为一元二次方程有根，而且将两根之和认为是“两不相等根”，从而在解题中出现错误.

正解：由x2+（b+2）x+b+1=0可得Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2≥0，则方程有两根；当b=0时，A={-1}，集合A中所有元素的和为-1，当b≠0时，A={-1，-b-1}，集合A中所有元素的和为-b-2.

反思：①已知条件中，集合A表示方程x2+（b+2）x+b+1=0的根，并且方程中含有参数b；在实数范围内，一元二次方程根的情况需要通过判别式进行判断：Δ>0方程有两不等根；Δ=0方程有两等根；Δ<0方程无根.错解中由韦达定理得出x1+x2=-b-2，实际上是片面认为一元二次方程的Δ>0，出现了理解偏差. ②题目求集合A中所有元素的和，其与求一元二次方程两根之和并不能完全等同，如果一元二次方程有两等根，则依据集合元素的互异性，集合A中所有元素的和只等于方程一根数值.如题目中，当b=0时，一元二次方程有两等根x1=x2=-1，集合A={-1}，集合A中所有元素的和为-1；而不是集合A={-1，-1}，集合A中所有元素的和为-2.

反思解题策略，拓宽学生的解题思路

在解题过程中，当学生审题结束后，需要依据对题目已知条件的理解，选择合适的解题策略. 如果解题策略出现错误，解题过程也会随着出错，自然无法得到正确答案. 因此，教师需要引导学生反思解题策略，拓宽学生的解题思路.

例3 已知x≥0，y≥0，且x+y=1，求x2+y2的取值范围.

解法一：由x+y=1，可得y=1-x，则x2+y2=x2+（1-x）2=2x-+. 又因为x∈[0，1]，依据二次函数图象及性质可知：当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1，则取值范围为，1.

解法二：根据题意可设：x=sin2θ，y=cos2θ，θ∈[0，2π]，

则x2+y2=sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ，当sin2θ=1或-1时，取最小值；当sin2θ=0时，取最大值1. 取值范围为，1.

解法三：设d=x2+y2，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）距离平方，C为线段AB上的一点；根据题意可知A（0，1），B（1，0），只须求出线段AB上的点到原点的最大与最小距离.当点C与A或B重合时，dmax=1，则x2+y2取最大值1；当OC⊥AB时，dmin=，则x2+y2取最小值.取值范围为，1.

反思：在解法一中，学生运用常规解题策略，通过二次函数求解最值，其解题过程较为复杂烦琐；在解法二中，学生利用三角函数，通过公式变换求解最值，已经将解题过程加以简化；在解法三中，学生利用数形结合思想，将函数问题转化为几何问题，解题过程更加简单，但是思维跳跃性较大. 教师在解题教学中，需要帮助学生树立正确的解题观念，不能只注重解题过程和答案的正确性，而是需要对解题策略进行反思，寻找更简单快捷的解题策略，这样可以有效拓宽解题思路，使学生在解题时做到举一反三，提高解题的准确率.

总而言之，在高中数学教学中，教师需要引导学生关注解题反思，在解题结束后，重新梳理解题所用知识点，以及题意理解的过程和解题策略，帮助学生构建完整的知识体系，在提升学生思维能力的基础上，提高高中数学教学的质量与效率，实现教学相长的目的.