(α,β)-软BCK代数*

李巧燕，廖祖华,3+，刘维龙

1.江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

2.江南大学 至善学院，江苏 无锡 214122

3.江南大学 智能系统与网络计算研究所，江苏 无锡 214122

(α,β)-软BCK代数*

李巧燕1,2，廖祖华1,2,3+，刘维龙1

1.江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

2.江南大学 至善学院，江苏 无锡 214122

3.江南大学 智能系统与网络计算研究所，江苏 无锡 214122

将软集的参数集赋予BCK代数的代数结构，给出了(α,β)-软BCK代数的概念,并验证了得到的(α,β)-软BCK代数是交软BCK代数和α-交软BCK代数的非平凡推广；得到了两个(α,β)-软BCK代数在软集的交、并、且等运算下仍然是(α,β)-软BCK代数的结论，并讨论了(α,β)-软BCK代数的同态像和原像的性质；最后运用对偶软集的方法给出了(α,β)-软BCK代数的等价刻画。

软集；软集运算；对偶软集；BCK代数；(α,β)-软BCK代数

1　引言

为处理不确定性问题，模糊集[1]、粗糙集[2]、直觉模糊集[3]等作为解决这类问题的数学工具被相继提出，然而这些数学工具仍有不足之处。为了能够更好地解决这类模糊性问题，Molodtsov[4]于1999年提出了另一种有效的数学工具——软集，它与模糊集、粗糙集、直觉模糊集等有更好的互补性。2007年，Aktas等人[5]提出了软群的新概念，开创了软集代数研究的新领域。2010年，Acar等人[6]又给出了软环的定义，并对软环的软理想和软同态等相关性质进行了研究。2012年，廖祖华等人[7]给出了软坡的概念，并研究了它的一些相关性质。

1966年，Imai和Iseki[8]以逻辑运算为基础，根据组合逻辑中组合子的代数表述，提出了BCK代数。1994年，Jun等人[9]指出BCK代数在命题演算中存在应用。1997年，徐扬[10]指出了格蕴涵代数与有界可换分配的BCK代数之间的对偶关系。于是BCK代数与格蕴涵代数有着密切的联系，而格蕴涵代数在不确定性和自动推理方面有着重要应用[11]。2008年，Jun等人[12]将软集理论运用到BCK代数中，提出了软BCK代数的概念，并在BCK代数上提出了软理想的概念。2010年，伏文清等人[13]提出了另一种软BCK代数的概念，并研究了其相关性质。

袁学海教授2008年指导的研究生温永川在文献[14]中将参数集赋予群的代数结构，提出了一种新的软群概念，得到一些较为深刻的结论。这种将参数集赋予代数结构的方法引入的软集代数可以得到较深刻的结论。廖祖华的团队研究了软群、新型软子群、软格蕴涵代数、软子半群、半群的软理想和软完全素理想以及软完全正则子半群[15-21]。2013年，Jun等人[22]将参数集赋予BCK的代数结构，提出了交软BCK代数的概念，并对其相关性质进行了研究。同年，杨永伟等人[23]提出了α-交软BCK代数的概念。本文在他们的工作基础上给出了(α,β)-软BCK代数的新概念。当α=X,β=∅时，(α,β)-软BCK代数即为Jun等人提出的交软BCK代数，当 β=∅时，(α,β)-软BCK代数即为杨永伟等人提出的α-交软BCK代数。而且由例1知，(α,β)-软BCK代数既不是Jun等人提出的交软BCK代数，也不是杨永伟等人提出的α-交软BCK代数，于是(α,β)-软BCK代数是交软BCK代数和α-交软BCK代数的非平凡推广。(α,β)-软BCK代数有一些类型的性质在交软BCK代数和α-交软BCK代数中未曾研究，例如用对偶软集的方法给出(α,β)-软BCK代数的等价刻画。

本文组织结构如下：第2章给出了软集和BCK代数的基础知识；第3章将参数集赋予BCK代数的代数结构，给出(α,β)-软BCK代数的新概念，并举例说明它是交软BCK代数和α-交软BCK代数的非平凡推广，另外还讨论了它的一系列基本性质。

2　预备知识

下面给出一些本文所需要的关于BCK代数及软集的相关知识。

3　(α,β)-软BCK代数

本节将参数集赋予BCK代数，得到一个与通常的软BCK代数[12]不同的(α,β)-软BCK代数，并具体讨论它的一系列基本性质。

4　结束语

本文利用袁学海教授和其学生温永川等人的思想将参数集赋予BCK代数的代数结构，给出了(α,β)-软BCK代数的概念，并讨论了它的一系列相关性质。在今后研究工作中，还将讨论BCK代数的各种软理想及其基本性质，并探讨它们在不确定性及自动推理方面的应用。

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LI Qiaoyan was born in 1993.She is a student at School of Science,Jiangnan University.Her research interests include computer science and soft set algebra,etc.

李巧燕（1993—），女，湖北襄阳人，江南大学理学院粒计算研究所学生，主要研究领域为计算机科学，软集代数等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖华（1957—），男，江西奉新人，江南大学教授、硕士生导师，CCF会员，主要研究领域为人工智能，粒计算等。发表学术论文100多篇，主持国家和省部级基金项目多项。

LIU Weilong was born in 1962.He is an associate professor at Jiangnan University.His research interest is granular computing.

刘维龙（1962—），男，江苏南京人，江南大学理学院副教授，主要研究领域为粒计算。

(α,β)-Soft BCKAlgebrasƽ

LI Qiaoyan1,2,LIAO Zuhua1,2,3+,LIU Weilong1
1.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Honors School,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
3.Institute of Intelligence System&Network Computing,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

E-mail:liaozuhua57@163.com

Firstly,by endowing a parameter set with the algebra structure of BCK algebras,this paper introduces the concept of(α,β)-soft BCK algebras,and verifies that the(α,β)-soft BCK algebras is a non-trivial generalization of the intersectional soft BCK algebras and theα-intersectional soft BCK algebras.Then this paper reaches the conclusions that two(α,β)-soft BCK algebras are still(α,β)-soft BCK algebras under the intersection,union and the AND operation of soft sets,and investigates the properties of the homomorphism image and inverse image of the(α,β)-soft BCK algebras.At last,by applying the dual soft sets,this paper gives the equivalent characterizations of the(α,β)-soft BCK algebras.

soft set;soft set operation;dual soft set;BCK algebra;(α,β)-soft BCK algebra

2015-06,Accepted 2015-08.

10.3778/j.issn.1673-9418.1507060

A

O153；O159

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61170121,11401259,616731013(国家自然科学基金);the National College Students’Innovative Training Program of China under Grant No.201310295028(国家大学生创新训练项目);the Natural Science Foundation of jiangsu Province under Grant No.BK20151117(江苏省自然科学基金).

CNKI网络优先出版:2015-08-27,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150827.1423.008.html

LI Qiaoyan,LIAO Zuhua,LIU Weilong.(α,β)-soft BCK algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(10):1493-1500.