借助Gamma函数和Beta函数快速积分

魏正元,郑小洋,苏　翃

(重庆理工大学 理学院,重庆　400054)



借助Gamma函数和Beta函数快速积分

魏正元,郑小洋,苏翃

(重庆理工大学 理学院,重庆400054)

基于Gamma函数、Beta函数及其恒等式，对大学数学教学内容中的Poisson积分公式、Wallis积分公式、正态随机变量的高阶矩等问题给出了另一种快捷解答。

Gamma函数;Beta函数;Wallis积分公式; 大学数学

1　预备知识

开展对Gamma函数和Beta函数等特殊函数的应用研究一直深受国内外学者的重视，如：文献[1]研究了Gamma函数的近似解；文献[2]研究了Beta随机变量函数的协方差矩阵的上下界。虽然高等数学课程教学在广义积分部分讲授了Gamma函数和Beta函数的定义和基本性质[3],但在随后的课程教学中基本没有涉及如何应用Gamma函数和Beta函数解题的案例。事实上,对一些广义定积分问题,借助该2类奇异函数的等价表达式会使求解过程快速且简便。

1.1Gamma函数[3-4]

由换元积分法可得Gamma函数下列等价形式：

(1)

另外,Gamma函数以下几个等量关系式也常用到：

(2)

1.2 Beta 函数

由换元积分法可得Beta函数有以下几种等价形式[3-4]：

(3)

1.3Beta函数与Gamma函数的关系

Beta函数与Gamma函数的关系为[3-4]

(4)

2　Gamma 函数和 Beta 函数的应用

例2Wallis 积分公式[4]

(5)

解析教材对 Wallis 积分公式(5)的证明[4-5]均基于分部积分法和递推数列进行。其实,等式(5)恰是Beta函数,因而最简便的证明方法是借助 Beta 函数等价式(2)、Gamma 函数的等价式(3)及其关系式(4) 直接给出解答。

(6)

由式(6)可得诸多结果：

例3求正态分布X～N(μ,σ2) 的k阶中心距[6-7]。

解析以下仍借助Gamma函数的相关等式进行求解：

根据Gamma函数的关系式(1)(2) 可得

由以上典型例题可见：应用Gamma、Beta 函数的相关等式进行积分运算非常方便、快捷,尤其是对概率论课程中一些问题的求解。例如：在求正态分布、Gamma 分布、指数分布、卡方分布、t分布、Beta 分布等随机变量的n阶矩时,Gamma 函数和Beta函数具有相当明显的优势,教师在高等数学教学过程应加强Gamma函数和Beta函数两类函数的教学。

[1]LU D,SONG L,MA C.Some new asymptotic approximations of the gamma function based on Nemes’ formula,Ramanujan’s formula and Burnside’s formula[J].Applied Mathematics and Computation,2015,253:1-7.

[2]WEI Z Y,ZHANG X S.Covariance matrix inequalities for functions of Beta random variables[J].Statistics and Probability Letters,2015,79(7):873-879.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社,2009：147.

[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990：252.

[5]李永乐,王式安,季文铎.数学历年真题权威解析(试卷版) [M].北京:国家行政学院出版社,2014.

[6]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计 [M].4版.北京:高等教育出版社,2013.

[7]李贤平.概率论基础 [M].2版.北京:高等教育出版社,1997.

(责任编辑刘舸)

IntegralsBasedonGammaandBetaFunction

WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong

(SchoolofSciences,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

WepresentedanalternativemethodtosolvePoissonintegralformula,Wallisintegralformulaandmomentofnormaldistributioninadvancedmathematicstextbookbytheuseofgammafunction,betafunctionandtheirrelations.

Gammafunction;Betafunction;Wallisintegralformula;advancedmathematics

2015-10-10

重庆理工大学研究生教育教学改革研究项目(yjg2015208)；重庆理工大学教研项目(2013YB33)；重庆理工大学高数课程专项经费项目(0101130792)

魏正元(1975—)，男，湖北襄阳人，博士，副教授，主要从事应用概率统计、金融统计、金融数学研究，E-mail:zyweimath@163.com。

format：WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong.IntegralsBasedonGammaandBetaFunction[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)，2016(9):129-132.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.021

G642.4

A

1674-8425(2016)09-0129-04

引用格式：魏正元,郑小洋,苏翃.借助Gamma函数和Beta函数快速积分[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(9):129-132.