五边形链的Merrifield-Simmons指标

刘睿琳，田双亮，田文文

(西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030)



五边形链的Merrifield-Simmons指标

刘睿琳，田双亮*，田文文

(西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030)

五边形链；Merrifield-Simmons指标；递推公式

0　引言

Merrifield-Simmons指标是在1989年由美国化学家Merrifield和Simmons在文献[1]中引入的化学拓扑指标，它表示图G中所有独立集的数目，记为σ(G).该指标与物质的沸点有着密切的联系，且有着较为广泛的应用，相关的应用参见文献[2,3]．文献[4]中研究了五角链关于独立集数的极端情形，并得出了相应的极图.文献[5,6]中研究了四角链及五边形链的Hosoya指标.文献[7]关于最大和最小的Merrifield-Simmons指标给出了一个很好的综述．文中Fn表示第n个Fibonacci数，即满足Fn=Fn-1+Fn-2,n≥2，且F0=0,F1=1．本文通过n个五边形序列在不同构联接位下构造了两类特殊的五边形链，并且研究了这两类五边形链的Merrifield-Simmons指标，给出了具体的表达式．文中未加说明的符号及术语参见文献[8]．

设Q1,Q2，…，Qn为n个五边形构成的五边形序列．记Wn为五边形链，如果满足：

1)对任意的1≤s

2)每个正方形与割边的顶点都为3度顶点．

用Φn表示含有n个五边形构成的五边形链的全体．设Wn∈Φn，则五边形链Wn(n≥2),可由Wn-1再联接一个五边形得到，而每条链中的五边形都有四个可联接位，其中与接点距离相等的两个可联接位是同构的，所以只有两种非同构的联接方式：Wn-1→[Wn-1]k=Wn，其中k=1、2，分别称为1-位联接和2-位联接,如图1所示.

图1　两种联接方式

图2　五边形链和

在证明主要结论之前，先给出几个相关引理如下．

引理1[2]设G是一个简单图，对任意的υ∈V(G)，有σ(G)=σ(G-υ)+σ(G-NG[υ])．

引理3[2]对于n阶的路Pn，有σ(Pn)=Fn+2．

引理4[2]对于n阶的圈Cn，有σ(Cn)=Fn+1+Fn-1．

1　主要结论及其证明

定理1对任意的正整数n≥2，有

证明1) 如图2所示，根据引理1、引理2和引理3可得

2)如图2所示，根据引理1、引理2和引理3可得

2　进一步的结果

定理2对任意的正整数n≥2,有

[1] Merrifield R E，Simmons H E．Topological Methods in Chemistry[M]．New York：Wiley，1989．

[2] Gutman I，Polansky O E．Mathematical Concepts in Organic Chemistry[M]．Berlin：Sprin-ger，1986．

[3] Gutman I，Cyvin S J．Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons[M]．Berlin：Springer，1989．

[4] 曹月芬．五角链关于独立集数的极端情形[J]．集美大学学报，2010，15(4)：304-307．

[5] 田文文，田双亮．四角链的Hosoya指标[J]．苏州科技学院学报(自然科学版),2014，31(1)：34-38．

[6] 田文文，杨斐，田双亮．五边形链的Hosoya指标[J]．重庆工商大学学报(自然科学版),2013，30(9)：29-33．

[7] Wagner S，Gutman I．Maxima and minima of the Hosoya Index and the Merrifield-Simmons index[J]．Acta Appl Math,2010，112：323-346．

[8] Bondy J A，Murty U S R．Graph theory with applications[M]．New York：The Macmillan Press，1976．

The Merrifield-SimmonsIndex of Pentagonal Chains

LIU Rui-lin1，TIAN Shuang-liang，TIAN Wen-wen

(Mathematics and Computer Science College，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030, China)

Pentagonal chains；Merrifield-Simmons index；Recurrence formula

2016-04-02

国家民委科研项目(14XBZ018)；甘肃省自然科学基金(145RJZA158)；西北民族大学中央高校基本科研业务费专项资金资助研究生项目(Yxm2015182)．

*

刘睿琳(1993— )，女，甘肃永靖人，硕士研究生，主要从事组合数学与图论方面的研究.

O157.5

A

1009-2102(2016)02-0001-05