夹层结构声振耦合分析方法

宁少武，史治宇，张　杰，王　琪，李疆怀

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京　210016)



夹层结构声振耦合分析方法

宁少武，史治宇，张杰，王琪，李疆怀

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京210016)

为了研究夹层结构的声振耦合特性，提出了夹层声场的声波导模态展开方法，在此基础上发展了声波导模态展开方法的弱耦合形式，波导边界分别研究了绝对软边界和绝对硬边界两种形式，与结构模态展开方法和声腔模态展开方法及其弱耦合形式作对比，分析了声模态和声波导模态阶数对传声损失计算精度的影响，研究了不同夹层边界条件下夹层结构的声振耦合特性和夹层声场声压的分布情况。计算表明，需要的声波导模态阶数和声腔模态阶数由计算频率段的最高频率决定，最高频率越大，需要的声波导模态阶数和声腔模态阶数也越多；夹层结构的声振耦合特性是结构振动模态和声腔模态综合作用的结果，“梁-空气-梁”共振、驻波共振以及结构共振都会使得结构的隔声性能下降；夹层边界对结构的声振耦合特型有显著的影响；不同的夹层声场处理方法对于相同的物理现象得到的夹层声场分布不完全相同，从声场分布的特点可以反映所发生物理现象的机理。

层板结构;结构模态;声模态;声波导模态;共振频率

双板空腔结构相对于单板结构具有更为优良的隔声性能，在高速列车、舰船潜艇以及航空航天等领域有广泛的应用。早期为了研究双板空腔结构的声振耦合特性通常将双板空腔结构简化为无限大结构，而未有考虑结构边界条件的影响。VILLOT等[1]在无限大结构理论的基础上发展了平面波空间窗截断的方法近似模拟有限大边界条件的影响；DWELL[2]第一次提出了声弹性概念，声弹性理论(Acoustoelasticity Theory)为分析弹性和阻抗壁面结构的内部声场问题奠定了理论基础。基于声弹性理论，CHENG等[3]研究了一端为声学刚性边界、一端为弹性圆板的圆柱壳在简谐点力激励下圆柱壳内声场的分布；CHEN等[4]计算分析了声激励与机械激励条件下声介质与连接结构两种途径对矩形声腔内部声场的影响。声弹性理论从空腔模态的角度采用空腔模态展开的方法表示腔室声场，然而空腔模态展开的方法仅适用于刚性密封的声腔，用于模拟柔性结构密封的空腔往往产生较大误差。

从波动观点出发将中间声场表示为结构模态函数的级数形式，其认为中间声场声压分布与结构模态函数形式相同；XIN等[5-7]分别建立了简支和固支两种边界条件下双板空腔结构传声理论模型，研究讨论了一系列系统参数对结构传声特性的影响。采用结构模态函数的级数形式表示中间声场声压分布暗含着夹层声场的边界为绝对软边界，这与实际的夹层边界是不相符的。有限结构的声振耦合特性与无限大结构的声振耦合特性是不同的。

为研究方便，考虑二维夹层结构的声振耦合特型。本文将夹层声场看作波导，提出采用波导的模态展开法表示双板空腔结构的夹层声场，既满足夹层边界条件，同时克服声腔模态展开方法中刚性声腔假设的缺点。在此基础上发展了其弱耦合形式，与结构模态函数展开法和空腔模态展开法作对比，分析夹层边界对结构的声振耦合特性以及夹层声场分布的影响。

1　结构的振动控制方程和声学波动方程

如图1所示，平行的双层弹性梁简支安装在刚性声障上，长度为a，上下弹性梁的厚度分别为t1和t2，截面积分别为A1和A2。弹性梁将声场分为入射声场1、中间声场2和辐射声场3。在中间声场2的厚度为b。入射声波的入射角为θ。平面简谐入射声波的声压速度势为

图1　夹层结构示意图Fig.1　The sketch of the sandwich structure

kx=k0sinθ，kz=k0cosθ

在简谐平面入射声波的激励下，上下双层弹性梁的振动控制方程和声场的控制方程分别为

(1)

(2)

(3)

pi=jωρ0Φi

式中，D1和D2分别为上下两弹性简支梁的弯曲刚度；w1和w2分别为上下两弹性简支梁的横向振动位移；ρ1和ρ2分别为上下两弹性简支梁的材料密度；Φi，i=1,2,3分别为入射声场1、中间声场2和辐射声场3的速度势函数，pi为相应的声场声压；ω为角频率，ρ0和c0分别为空气的密度和声波的传播速度。

对于简支边界条件，则梁在边界处的横向位移和弯矩都应该等于零，即

在结构与声场的流固界面上满足法向速度连续条件，即速度连续条件

(4)

(5)

(6)

(7)

2　双板空腔结构的声振耦合特型求解

双层弹性梁为简支支撑，则其振动位移可以表示成简支模态函数的形式

(8)

(9)

式中，α1,m和α2,m分别为上下两弹性梁的振动模态系数，φm(x)为简支模态函数，

入射声场和辐射声场的声压速度势函数可以表示为

(10)

(11)

式中，kz为声场中z向波数分量；Im和ξm分别为入射声场1和辐射声场3中正行波的幅值。其中，入射波幅值Im由入射声波的声压速度势φ得到

中间声场的速度势函数Φ2有三种不同的表示形式：

1)采用结构模态函数展开方法[6]

(12)

p2=jωρ0Φs,2

2)采用声腔纯模态函数展开方法[2]

(13)

3)采用声波导的模态函数展开方法

(14)

p2=jωρ0Φg,2

(15)

由边界条件式(4)和式(7)，可以求得

(16)

(17)

2.1采用结构模态函数展开方法

将式(12)代入边界条件式(5)和式(6)，联立求解，可得

(18)

(19)

将式(8)～(9)和式(16)～(19)代入方程(1)和(2)中，利用简支模态函数的正交性，整理可得

QJαn=f

(20)

其中，

通过上述计算求解，可以得到上下两弹性梁的振动模态系数α1,m和α2,m，从而求得βm、εm、ζm和ξm的值。

2.2采用声腔模态展开方法与弱耦合简化

利用式(13)和式(15)，由格林公式有

∬S[ψkl(x,z)2p2(x,z)-p2(x,z)2ψkl(x,z)]dxdz=

利用声模态的正交性，整理可以得到

(21)

同时，由振动模态函数的正交性，由式(1)和(2)可以得到

(23)

(24)

将式(21)代入式(23)和式(24)，整理可得

(25)

(26)

其中，

式中：Λ1,kl,m，Λ2,kl,m，Γ1,kl,n和Γ2,kl,n为声腔模态与结构振动模态之间的耦合系数。从式(25)和式(26)可以看出，声模态使得结构振动模态之间存在耦合关系，若忽略声模态引起的结构振动模态之间的耦合关系，将式(25)和式(26)表示为矩阵形式则有

QAαn=f

(27)

其中，

通过上述计算求解，可以得到上下两弹性梁的振动模态系数α1,m和α2,m，从而求得βm、μkl和ξm的值。

2.3采用声波导的模态函数展开方法

声压速度势函数Φ2(x,z;t)同样满足边界条件式(5)和式(6)，代入并利用波导模态函数的正交性，可得

(28)

(29)

由振动模态函数的正交性，由式(1)和式(2)可以得到

(30)

(31)

将式(28)和式(29)代入式(30)和式(31)，整理可得

(32)

(33)

其中，

QBαn=f

(34)

其中，

总之，采用声波导模态展开方法很好地反应了夹层边界对结构传声损失的影响。软边界的声波导模态展开方法揭示了结构模态展开方法的物理实质；刚性边界的声波导模态展开方法在结构界面上满足速度连续条件，克服了声腔模态展开方法中刚性边界的假设，更真实地反应了夹层边界对结构传声损失的影响。

2.4声功率的计算

声场的声功率定义为

(35)

式中，d为梁的宽度，d=A/t，A为梁的截面积，t为梁的厚度，L为梁的长度。Δli为第i个单元长度，Nx为单元的总数，pi为第i个结构单元表面附近声场声压。

3　计算分析

如图1中，上下两层结构长度为a=0.6 m，厚度均为t1=t2=0.003 m，截面积为A1=A2=0.000 3 m2，密度为ρ1=ρ2=2 790 kg/m2。考虑材料阻尼的影响，采用复弹性模量E(1+iχ)，其中，E为弹性模量，E=72.4 GPa，χ为阻尼损耗因子，本文中取χ=0.01，则弯曲刚度D1=D2=EAt2(1+jχ)/12。中间声腔厚度b=0.12 m，空气的密度ρ0=1.21 kg/m3，声速c0=343 m/s。

本文采用MATLAB R2009a实现上述计算过程。计算在频率区间0～5 000 Hz内采取不同夹层处理方法时对结构传声损失曲线的影响。结构模态的阶数如图2所示，均选取30阶；根据结构模态展开形式，声腔模态阶数选取如下：结构模态展开形式30阶；波导模态展开形式均选取30阶；声腔纯模态展开形式中x方向和z方向分别选取30阶和9阶；经计算，已保证在计算频段内收敛。

图2　结构模态阶数对传声损失收敛性影响曲线Fig.2　The influence curve of structure modal order effecting on sound transmission loss

图3为绝对软边界条件下波导模态阶数对传声损失收敛性的影响；图4为绝对硬边界条件下波导模态阶数对传声损失收敛性的影响；图5为采用声腔模态时模态阶数对传声损失收敛性的影响；图6对比了在耦合和非耦合条件下四种不同夹层声场处理方法得到的传声损失；表1为采用理论模型和预测公式计算得到的特征频率。图3～图5为弱耦合形式在不同边界条件下模态阶数对收敛性的影响，并与耦合形式完全收敛情况作对比。

图3　绝对软边界时声波导模态阶数对传声损失收敛性的影响Fig.3　The influence curve of acoustic waveguide modal order effecting on sound transmission loss for the pressure released boundary

图4　绝对硬边界时声波导模态阶数对传声损失收敛性的影响Fig.4　The influence curve of acoustic waveguide modal order effecting on sound transmission loss for the rigid boundary

图5　声腔模态阶数对传声损失收敛性的影响Fig.5　The influence curve of acoustic modal of the gap order effecting on sound transmission loss

从图3～图5可以看出，需要的声波导模态阶数和声腔模态阶数由计算频率段的最高频率决定；最高频率越大，需要的声波导模态阶数和声腔模态阶数也越多。从图3～图5也可以看出每一阶声波导模态和声腔模态对结构声振耦合性能影响的贡献量；其中前几阶声波导模态和声腔模态已能够准确反映结构的“梁-空气-梁”共振和驻波共振现象。

从图6和表1可以看出，理论模型计算的“梁-空气-梁”共振频率和驻波共振频率与式(36)～(38)的预测结果能够很好的相符。从图6可以看到结构模态展开形式、耦合条件下软边界声波导模态展开形式和非耦合条件下软边界声波导模态展开形式得到的传声损失曲线完全重合。因此，结构模态展开形式相当于将中间声场看作绝对软边界，在夹层声场形成边界声压为零，振速不为零的驻波声场；然而将夹层声场的边界看作软边界往往不符合实际情况。

结构的“梁-空气-梁”共振频率fα和驻波共振频率fd,n的预测计算公式分别为[7]

(36)

(37)

有限结构“梁-空气-梁”共振频率的工程计算方法为[8]

(38)

图6　耦合和非耦合条件下结构传声损失的对比曲线Fig.6　Comparisons of the sound transmission loss curves under the condition of coupled and uncoupled

声腔模态展开方法假设夹层为刚性声腔，这个假设并不是严格正确的，特别在低频段得到的误差更大。从图6可以看出，声腔模态展开方法得到的传声损失曲线的上包络与结构模态展开方法和声波导模态展开方法的传声损失曲线变化趋势相同。耦合形式的声腔模态展开方法和非耦合形式的声腔模态展开方法得到的传声损失差别较大，说明声模态使得结构振动模态之间存在强耦合关系。相比结构模态展开方法和声波导模态展开方法，声腔模态展开方法得到的传声损失曲线中存在更多的隔声低谷，其是结构振动模态和声腔模态共同作用的结果。

表1　理论模型计算结果与预测公式计算结果的对比

相比结构模态展开方法，声波导模态展开方法考虑了夹层边界的影响，计算结果显示夹层边界对结构的传声损失有明显的影响。而相比声腔模态展开方法，其利用结构与声场边界的速度连续条件，反应了夹层结构真实的声振耦合特点。从图6可以看出，耦合形式的硬边界声波导模态展开方法和非耦合形式的硬边界声波导模态展开方法得到的传声损失曲线有可以忽略的微小差异。与结构模态展开方法和软边界波导模态展开方法相比，传声损失曲线的变化趋势完全相同，传声损失大小有微小差异，其“梁-空气-梁”共振频率和驻波共振频率向高频移动。从上分析可以看出，非耦合形式的夹层声场表示方式已能满足计算精度的要求。

图7　频率为(257 Hz,257 Hz,347.5 Hz,472.5 Hz)时夹层声压的分布云图Fig.7　Sound pressure level distributions inside the gap of structure at (257 Hz,257 Hz,347.5 Hz,472.5 Hz)

图8　频率为(1 478 Hz,1 478 Hz,1 513 Hz,1 503 Hz)时夹层声压的分布云图Fig.8　Sound pressure level distributions inside the gap of structure at (1 478 Hz,1 478 Hz,1 513 Hz,1 503 Hz)

图7～图15分别为非耦合情况下在不同频率点时夹层的声压分布云图，将计算所得系数代入式(12)～(14),利用MATLAB软件的云图功能，绘制夹层的声压分布云图。

图9　频率为(2 883 Hz,2 883 Hz,2 903 Hz,2 898 Hz)时夹层声压的分布云图Fig.9　Sound pressure level distributions inside the gap of structure at (2 883 Hz,2 883 Hz,2 903 Hz,2 898 Hz)

图10　频率为2 053 Hz时夹层声压的分布云图Fig.10 Sound pressure level distributions inside the gap of structure at 2 053 Hz

图10和图11分别为在2 053 Hz和3 687 Hz附近，从图6可以看出，此时夹层处理方法得到的传声损失基本都处于传声损失的峰值位置。从声学理论知道，当夹层厚度为1/4波长的奇数倍时声波基本上都无法通过。从图10和图11可以看出，结构模态展开方法和声波导模态展开方法得到的夹层中声压分布显示夹层厚度分别为1/4波长的3倍和5倍。然而，在同样频率下，声腔模态方法得到的声压分布完全不同。特别地，从图11中可以看出，从声腔模态方法得到的声压分布显示夹层厚度为半波长的1倍，即出现隔声低谷，其x轴方向为半波长的12倍，此时声腔的简正频率由下式计算:

(39)

式中:(k,l)为声腔模态阶数。将k=1和l=1代入，计算可得f1,12=3 715.8 Hz，与3 687 Hz基本符合。

为了进一步验证，图12和图13分别为选取1 138 Hz和3 067.5 Hz两个隔声低谷处夹层声压的分布云图。从图12和图13可以看出，其对应的声腔模态阶数为(0,4)和(2,4)，将k=0、l=4和k=2、l=4代入式(39)，计算可得f0,4=1 143.3 Hz和f2,4=3 078.5 Hz，与1 138 Hz和3 067.5 Hz安全相符。

图11　频率为3 687 Hz时夹层声压的分布云图Fig.11 Sound pressure level distributions inside the gap of structure at 3 687 Hz

图12　频率为1 138 Hz时夹层声压的分布云图Fig.12 Sound pressure level distributions inside the gap of structure at 1 138 Hz

图13　频率为3 067.5 Hz时夹层声压的分布云图Fig.13 Sound pressure level distributions inside the gap of structure at 3 067.5Hz

图14和图15分别为选取932 Hz和2 342 Hz两个隔声低谷处夹层声压的分布云图。上下面板的共振频率为

(40)

从图14和15可以看出，对应的声腔模态阶数分别为7和11，将m=7和m=11代入式(40)，计算得到 fs,7=943.2 Hz和fs,11=2 329 Hz，与932 Hz和2 342 Hz很好地相符。从图14和图15可以看出，当处于结构共振频率时夹层声场的分布按照结构模态分布，而声腔模态对应的声场分布没有明显的规律。

图14　频率为932 Hz时夹层声压的分布云图Fig.14 Sound pressure level distributions inside the gap of structure at 932 Hz

图15　频率为2 342 Hz时夹层声压的分布云图Fig.15 Sound pressure level distributions inside the gap of structure at 2 342 Hz

从以上分析看出，夹层结构的声振耦合特性是结构振动模态和声腔模态综合作用的结果。“梁-空气-梁”共振、驻波共振以及结构共振都会使得结构的隔声性能下降。

4　结　论

为了研究夹层结构的声振耦合特性，提出了基于声波导模态的分析方法，并发展了其弱耦合形式，与结构模态展开方法和声腔模态分析方法作比较，分析了模态阶数对计算结果的影响以及在发生不同物理现象时夹层声场分布的特点。计算表明：需要的声波导模态阶数和声腔模态阶数由计算频率段的最高频率决定，最高频率越大，需要的声波导模态阶数和声腔模态阶数也越多；夹层结构的声振耦合特性是结构振动模态和声腔模态综合作用的结果，“梁-空气-梁”共振、驻波共振以及结构共振都会使得结构的隔声性能下降；声腔模态展开方法中声模态使得结构振动模态之间存在强耦合关系；声波导模态展开方法考虑了夹层边界的影响，表明夹层边界对结构的声振耦合特性有显著影响；结构模态展开形式相当于将中间声场看作绝对软边界，在夹层声场形成边界声压为零，振速不为零的驻波声场；不同的夹层声场处理方法对于相同的物理现象得到的夹层声场分布不完全相同，从声场分布的特点可以反应发生物理现象的机理。

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Vibro-acoustic coupled analysis method for sandwich structures

NING Shaowu,SHI Zhiyu,ZHANG Jie,WANG Qi,LI Jianghuai

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

A kind of modal expansion method based on acoustic waveguide modes was presented to investigate the vibro-acoustic coupled performance of sandwich structures and its weak coupling form was also developed.The waveguide boundary included two forms of pressure released boundary and rigid boundary.In comparison with the structural modal expansion method and the acoustic modal expansion method of a sound cavity,the influence of orders of acoustic modes and acoustic waveguide modes on the calculation accuracy of the sound transmission loss was analyzed and the vibro-acoustic coupled performance and sound pressure distribution of sandwich structures under different boundary conditions were studied.It was shown that the needed orders of acoustic waveguide modes and acoustic modes of the sound cavity are determined with the highest frequency of the calculated frequency range; the bigger the highest frequency,the more the orders of the acoustic waveguide modes and acoustic modes of the sound cavity; the comprehensive effect of structural vibration modes and acoustic modes of sandwich structures leads to their vibro-acoustic coupled characteristics; the ’beam-air-beam’ resonance,standing-wave resonance and structural resonance reduce the sound insulation performance of a structure; the sandwich boundary affects vibro-acoustic coupled features of sandwich structures obviously; the sandwich sound field distributions are not exact same for the same physical phenomenon with the above three different methods,the sound field distribution characteristics can reflect the mechanism of occuring physical phenomena.

samdwich structures; structural modes; acoustic modes; acoustic waveguide modes; resonance frequency

江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目(CXZZ13_0147); 机械结构力学及控制国家重点实验室(南京航空航天大学)自主研究课题资助(0515G01)；国家自然基金(11172131;11232007)；中央高校基本科研业务费专项资金资助; 江苏高校优势学科建设工程资助项目

2015-05-07修改稿收到日期：2015-08-03

宁少武 男，博士生，1985年生

史治宇 男，教授，博士生导师，1967年生

TB535

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.026