MIMO 仿射型非线性系统的滑模切换极值搜索控制

张雷，胡云安，李静

（海军航空工程学院a.控制工程系；b.七系，山东烟台264001）

MIMO 仿射型非线性系统的滑模切换极值搜索控制

张雷a，胡云安a，李静b

（海军航空工程学院a.控制工程系；b.七系，山东烟台264001）

针对MIMO仿射型非线性系统设计了一种基于分数阶积分的滑模切换极值搜索控制方法，将系统分解为若干个子系统，对每个子系统采用输出跟踪误差以及该误差函数的分数阶积分值构造切换函数，构造滑模切换极值搜索控制律，证明了方法的稳定性。对比已有的方法进行仿真分析，验证了方法具有较好性能。

仿射型非线性系统；极值搜索；切换函数；分数阶

极值搜索方法自1954年由Tsien提出，就被确认为是自适应控制方法的一种［1］。其中，滑模极值搜索方法可以在不知晓参考函数梯度的情况下，运用滑模控制，使得控制对象输出跟踪单调递减从而使参考函数取得最优值［2］。2000年，Haskara等通过在系统反馈中引入一个自由参数，利用双时间轴滑模控制完成了系统性能的最优化［3］。2002年，Yu Hai等在以往滑模极值搜索方法研究的基础上，提出了采用锯齿波周期信号设计的方法，此法也能较好地实现极值搜索的过程［4］。滑模极值搜索方法陆续地运用到线性二次型动态对策问题的求解和汽车刹车系统等实际系统［5-7］。近年来，随着自适应控制理论的巨大发展，滑模极值搜索方法再次成为控制界研究的热点。文献［8］针对非线性极值搜索系统提出了分数阶极值搜索控制方法，并应用于光伏系统的实际控制中；文献［9］针对SISO仿射非线性系统提出了滑模切换极值搜索方法，结合迭代法则设计了切换函数和控制律；文献［10］针对非仿射非线性系统提出了基于分数阶PI滑模面的滑模极值搜索控制方法；文献［11］提出了SISO非仿射非线性系统的分数阶滑模极值搜索方法；文献［12］针对MIMO仿射非线性极值搜索系统提出了输出反馈滑模控制方法。多种不同类型极值搜索控制方法［13-18］一定程度上解决了一些非线性极值搜索系统的控制问题，为以后的针对性研究提供了理论参考。

本文在文献［12］方法的基础上设计了基于分数阶积分的滑模切换极值搜索控制方法。该方法利用常值函数作为输出量的参考跟踪信号，采用输出跟踪误差以及该误差函数的分数阶积分值构造切换函数，设计得到滑模切换极值搜索控制律。本文方法不仅可以实现对被控对象的极值控制，而且准确性较好。

1　问题阐述

考虑如下MIMO仿射型非线性系统

假设2：在系统（1）中，光滑函数gi，t）存在非零下界，即，其中，Gi为下界值，1≤i≤m。

控制目标：针对系统（1），设计滑模切换极值搜索控制律，使得闭环系统稳定且系统输出y收敛至对应的极大值y∗的有界邻域内。

经分解得到系统（2）属于原始系统（1）的子系统，具有输出极大值。其满足假设2的条件，由假设2可知系统（2）中的存在非零下界，即，1≤i≤m。

同样也满足对于给定的常数Δi＞0（Δi＜Δ），总存在另一个常数，使得成立。其中，为关于极值点的Δi邻域，且。

假设4：存在已知的K∞函数和满足局部Lipschitz条件的ηi和一个在上连续，在t上分段连续，且上界已知的非负函数ψi（，t），使得成立。

根据系统（1）的既定控制目标，转换得到新系统控制目标：设计滑模切换极值搜索控制律，使闭环系统（2）渐近稳定，且该系统的状态量和输出量均一致范数有界，输出量收敛至极大值的有界邻域内。

引入分数阶积分［10］的定义为

式（3）中：α＞0；f（t）是任意的积分函数；Γ（·）是Gamma函数。

分数阶Caputo微分［10］的定义为

式中，d-1＜β＜d。

引理1［10］：分数阶为β∈C且Re（β）＞0的分数阶积分是关于Lp（a，b）有界的，其中，1＜p≤+∞，

对于滑模切换极值搜索控制方法而言，采用分数阶积分可以获得更好的控制效果，使得系统输出y更准确的收敛至对应的极大值y∗的有界邻域内。

2　滑模切换极值搜索控制方法设计

式中，yr＞0为非负常数的跟踪参考信号。

针对系统（2），设计控制律ui为

式（6）中：λ0＞0为设计常数；ρi（1≤i≤m）为调制函数，为了弱化符号函数而引起的切换过程的影响，采用双曲正切函数tanh（·）代替符号函数。

设计切换函数σ（t）为

式（7）中：-1＜q＜0；λ1＞0和λ2＞0为设计常数。

对σ（t）求取一阶微分，并代入式（7），可得：

设计一种调制函数保证系统（2）中的信号向量不会在有限时间内发散，同时保证滑动模式σ（t）=kλ0的存在。调节向量ρi设计满足：

式（10）中：ω＞0为衰减指数；δ＞0为任意小常数。

3　控制系统的稳定性分析

针对系统（2），当采取如式（6）、（7）和式（10）所示的分数阶滑模切换极值搜索控制律ui时，构成的闭环系统框图如图1所示。

图1　闭环控制系统框图Fig.1 Frame of closed-loop control system

定理1：针对系统（2），采用分数阶滑模切换极值搜索控制律ui如式（6）、（7）和式（10）所示，则在有限时间内，系统状态量、输出量和切换函数信号σ都不会出现发散现象。

证明：首先，构造非负积分型函数S1（σ）和S2（σ）。不失一般性地，设计S1（σ）为

设计S2（σ）为

其中，ε是S1（σ）中的最大值。

对S1（σ）和S2（σ）分别求一阶微分，代入式（9）、（10），通过可得当sgn（kpi）＜0时，

以此类推，可得sgn（kpi）＞0时，

下面，证明系统（2）中的信号都不会出现发散现象。

采用反证法进行证明，首先假设在时刻t1∈［）0，∞时，函数σ会出现发散现象，则根据σ的定义式（7）可知，误差e（t）和输出量（t）都会出现发散现象。因此，假设存在时刻，使得在区间内，成立，其中δ1为任意小的正数。或者时成立。

由于假设当t≥t1时，切换函数σ已发生了发散现象，考虑到切换函数σ的连续性，存在时刻t3∈［t2，t1）和整数kσ，使得Σ（t3）=kσλ0。当kσ为偶数时，S1（σ（t3））=0。用S1（t）代替S1（σ（t）），用S2（t）代替S2（σ（t）），由此可知，对于任意的时刻t∈［t3，t1），S1（σ）=0或者S2（σ）=0，此时切换函数σ（t）=kσλ0是有界的。与前提假设“在时刻t1∈［0，∞）时，切换函数σ会出现发散现象”是矛盾的。因此，该假设不成立，即（t）和其他闭环信号在有限时间内都不会出现发散现象。

定义Lyapunov函数如下：

对式（15）求一阶微分，并代入式（6）、（9）可得：

由切换函数σ的定义可知，当kpi＜0时，切换函数σ会运动至σ=kλ0，其中k为偶数，将式（9）、（10）代入式（16），可得当t≥ta时，存在：

当kpi＞0时，切换函数σ也会运动至σ=kλ0，其中k为奇数，同理可得：

定理2：针对系统（2），满足假设条件1～4，如果采用控制律如式（6）、（7）和式（10）所示，那么状态量将在有限时间内全局收敛至邻域内，并且对于足够小的，输出量在极大值附近的振荡幅值是关于参数λ0的无穷小量，即，同时状态量以及输出量都是一致范数有界。

由定义式（7）可得

假设当时刻t=t1（t1＞t∗）时，状态量从邻域内运动至其边缘处。对于∀t＞t1，存在：

设定t2（t2＞t1）为切换函数σ达到下一个滑模面的时刻，t3（t3＞t1）为切换函数σ第一次从邻域外部再次返回到邻域边缘的时刻。

①如果t3＞t2，则可将时间分为两个阶段t∈［t1，t2）和。

根据式（9）和式（13），可得：

将式（19）与式（20）相减，可得：

②如果t2≥t3＞t∗，分析输出量从t1运动到t3的情况，由于此时切换函数σ不处于滑模面上，那么对于，输出量的运动情况可以类比于①中的情况，因而，可知此时

证毕。

综上所述，对于非线性极值搜索系统（1）中的第i（1≤i≤m）个极值搜索子系统（2），如果采用控制律如式（6）、（7）和式（10）所示时，状态量可在有限时间内全局收敛至邻域内时，即存在和。因此，当采取与定理2相类似的控制条件时，系统（1）的状态量都能在有限时间内全局收敛至，根据假设3可知，此时状态量处于邻域DΔ内。

4　仿真分析

考虑一类求解纳什均衡解问题，数学模型［12］为

分析模型可知，当x1=0和x2=0时，输出量y1和 y2具有极大值=20和=15。

采用本文方法对比文献［12］方法进行仿真对比验证，采用本文方法时仿真参数选取为：q=-0.5、yr=20、λ0=0.05、λ1=0.1、λ2=0.1、ω=5、δ=0.1；采用文献［12］方法时仿真参数选取为：q=0、kr=1、γ=0.1、β=2、δ=0.1、ε=0.02。当系统状态量的初始条件分别为x1（0）=1和x2（0）=1.5时，得到的仿真结果分别如图2～7所示。

图2　状态量x1的仿真结果Fig.2 Result of the statex1

图3　稳定状态下x1的放大仿真结果Fig.3 Amplified result of the steady statex1

图4　输出量y1的仿真结果Fig.4 Result of the outputy1

图5　状态量x2的仿真结果Fig.5 Result of the statex2

图6　稳定状态下x2的放大仿真结果Fig.6 Amplified result of the steady statex2

图7　输出量y2的仿真结果Fig.7 Result of the outputy2

对比图2～7可知：采用本文的分数阶滑模切换极值搜索方法进行仿真时，状态量x1和x2能够快速收敛至目标函数取极大值时对应的=0和=0的有界邻域内，且当系统达到稳定状态时，积分算子阶次q选取为-0.5时系统状态的振荡比取q1=0时（即为积分阶次为1的整数阶）的系统状态振荡要小，即能够取得更为准确的收敛效果；由图4、7可知：目标函数y1和y2分别快速收敛至极大值=15和=10处。

5　结论

采用本文设计的分数阶滑模切换极值搜索方法，该系统的状态量、控制输入和目标函数均一致有界，目标函数y收敛至极大值y∗的有界邻域内。且对于基于整数阶积分的滑模切换极值搜索方法而言，采用分数阶积分可以有效改善方法的准确性，取得更好的控制效果。

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Sliding Mode Switching Extremum Seeking Control for MIMO Affine Nonlinear Systems

ZHANG Leia，HU Yunana，LI Jingb
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Control Engineering；b.No.7 Department，Yantai Shandong 264001，China）

A sliding mode switching extremum seeking control method based on fractional-order integral was proposed for multi-input multi-output（MIMO）affine nonlinear systems.The original nonlinear system was decomposed into several subsystems and switching function was constructed by the output tracking error and the integral of the tracking error.Sliding mode switching extremum seeking control law was designed and method stability was proved strictly.Simulation results were presented to illustrate the advantages of this method by comparing with the existing method.

affine nonlinear system；extremum seeking；switching function；fractional-order

TP273.23

A

1673-1522（2016）03-0341-07DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.008

2016-03-14；

2016-04-20

国家自然科学基金资助项目（60674090）

张雷（1988-），男，博士生；胡云安（1966-），男，教授，博士，博导。