数形结合成伴侣相互吸取新活力

冉梦君

摘 要：本文抓住数与形两者之间的辩证关系，从“以数辅形”、“以形助数”两个方面，例谈在教学中如何培养学生的数形结合思想，让学生切实体会到数形结合思想在数学解题中的地位和作用，进而使学生能够真正理解和掌握数形结合这种解题方法。

关键词：数形结合；以数辅形；以形助数

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，更是数学发展中的一条主线。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，他们在一定条件下可以相互转化，这个相互转化称之为数形结合。由于代数本身缺乏直观性，几何本身缺乏严密性，所以，只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。正如法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。因此，探讨数形结合一直是数学教育的热门话题，但对于变化多端的题材，千姿百态的学生，永无完美的教法，这都有待我们数学教育工作者不断认识、研究、开发。回顾历年高考数学试题，数形结合思想内容占有很大的比重，筆者通过分析、研讨数形结合试题在高考试题中的变化规律，结合学生解题能力的实际情况，从数形结合的本质入手，将数形结合思想和方法渗透融合在解题教学中，实现方法与内容的整合，收到良好效果。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐述形的某些属性，即“以数辅形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”，现就从所述两个方面例谈在解题教学中如何教会学生掌握数形结合思想方法。

一、以数辅形

以数辅形就是根据几何图形的特征，建立直角坐标系，构造出与之相应的代数方程或函数解析式，运用代数方法研究几何问题。“以数辅形”的途径大体有三种：一是函数法，二是向量法，三是解析法。

1.函数法：凡涉及到函数图像与解析式或函数图像间的关系问题时，常采用“以数辅形”的途径，此时的“数”一般是指函数的性质或解析式。这类问题在历年高考题中常考常新，其破题思路是：根据函数图像，判断函数解析式或者图像时，要从函数的定义域、单调性、奇偶性、对称性、正负性、变换趋势、特殊点等性质入手。把函数图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究。

2.解析法：在用“以数辅形”的途径处理平面几何、立体几何问题时，“以数辅形”中的“数”一般也是指建立坐标系。尤其是在处理立体几何与平面解析几何知识交汇问题时，只有通过建立空间直角坐标系来实现形数的转化。

例1.已知正方体的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线

【解析】以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系.设P（x，y），作PE⊥AD于E、PE⊥A1D1于F，连结EF，易知=+=+1又作PN⊥CD于N，则—PN—‖—1-y—.依题意—PE—‖—PN—，即=，化简得，所以动点P的轨迹所在的曲线为双曲线，选择B.

【点评】“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，轨迹问题更是如此，从几何角度不好入手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹，不失为此类问题解决的好方法.

二、以形助数

当求解有关数式问题无从着手之际，应尝试图形直观性质的分析，即以形助数，或许能茅塞顿开，发现解题的捷径。以形助数就是根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来研究解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论。“以形助数”中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型；若无形，则可另行构造或联想。因此“以形助数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。

1.运用图形法：在解决某些含参不等式（或方程）问题时，可以将问题转化为运用两个函数图像的位置关系来解决。

例2.已知不等式--<0在上恒成立，则的取值范围是

【解析】原不等式可变形为-<，令=-，=，则问题就转化为当时，要求的取值范围使得函数的图像总在函数的图像下方，作出两个函数图像，由图像知：，且-即，综上，。

【点评】本题将抽象函数转化为图形语言，直观，容易获得结果。数形结合是处理不等式恒成立求参数取值范围的得力工具，其基本步骤为：首先将不等式变形为两个函数值大小的比较形式，再作出函数图像.

2.构造图形法：在研究方程问题时，常通过构造函数图像来解决。在近几届高三复习教学中我都选用了2006年高考湖北卷理科数学第10题作为例子，从代数、几何两个角度对比分析其解法，备受学生青睐的是构造图形法。

例3.关于的方程-+=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

解析略

3.借助于代数式的几何意义命题，也类见不鲜，如2014年上海六校联考题：若点P（x，y）在动点所在轨迹上，则的取值范围是。显然点M的轨迹是圆心在，半径为1的圆，用数形结合思想发现的几何意义为圆上一点P与原点所在直线的斜率，易得所求范围。

数形结合的数学思想方法，不仅是几何问题用代数方法思考，或是代数（或三角）问题由图形去思考，而是密切联系、相互渗透的统一整体。根据解决问题的需要，可以先把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，再把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究，通过这种数形相互渗透，可使复杂问题简单化，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。作为教师，我们应该在教学的过程中贯穿这些重要的数学思想方法，尽可能多的训练有关数学解题能力的相关知识，拓展学生的视野，完善自身的数学理论体系，在数学教学过程中不断提高学生的综合素质能力。

（作者单位：重庆市奉节中学）