圆锥曲线探索型问题求解策略

刘智恂 徐立新

【摘 要】存在类探索问题是圆锥曲线章节，命题活动开展过程中的重要组成类型，本文针对圆锥曲线探索型问题求解策略，择取两个具体方面展开了简要分析。

【关键词】圆锥曲线；探索型问题；求解；策略

圆锥曲线知识章节是高中数学学科现行知识构成体系中的重要组成内容，其本身凭借中数学运算量大，命题内容门类广泛且变化特征反复等特点，逐步成为高考数学主观题部分的重要命题内容，探索类命题圆锥曲线章节现有命题类型构成体系中的重要组成部分，凭借其本身具备的已知条件简化性，以及运算求解结果的多样性特征而得到了高中数学教师和学生的密切关注，有鉴于此，本文将针对圆锥曲线探索型问题求解策略展开简要论述。

一、椭圆中的存在型问题计算探索方法

例1：已知某椭圆的连个焦点为F1（-，0），F2（，0），其离心率为e=。求解如下问题：

（1） 求解该椭圆的解析几何方程。

（2） 以该椭圆图形的上顶点B为直角顶点，作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，问这样的三角形能否成功做出（或者说这样的等腰三角形是否存在）？如果存在，清确定总共能够做出几个，如果不存在，清说明你的判断理由。

解：

（1）设该椭圆的方程为+=1（由于已知该椭圆的焦点在x轴上，不妨设a>b>0），且c=，由于e=c/a=/2，直接可得a=2，由此可知b=1，因此待求椭圆图形的解析几何方程为+y2=1。

（2） 假设存在满足条件的直角三角形ABC，则根据已知条件和计算结论，可知等腰直角三角形直角顶点B的坐标是B（0，1），由给定的题设情境易知，等腰直角三角形ABC直角边BA和BC不能与平面直角坐标系的x轴或是y轴平行或者是垂直，因可设直角边BA所在直线方程为y=kx+1（k<0），且可设直角边BC所在直线的方程为y=（-1/k）x+1。

将直线方程y=kx+1与椭圆方程+=1联立，可知点A的平面坐标为A（，+1）。由此：

同理，可知|BC|=。由于|AB|=|BC|，可知-k（4+k2）=1+4k2。运用求解代数方程的方法可以得到k=-1，或者是k=，因此可知满足题干条件等腰直角三角形是存在的，并且总共存在三个。

二、双曲线中的存在型问题计算探索方法

例1：请求解是否存在同时满足如下条件的双曲线，如存在，请求解双曲线方程，如不存在，请说明理由。

（1）渐进线方程为x±2y=0。

（2）平面上点A（5，0）与双曲线方程上一动点P的最小距离为。

解：假设存在同时满足上述条件的双曲线。

如果该双曲线的焦点在x轴上，同时源于该双曲线的渐进线所在直线方程为x±2y=0，因此可以将该双曲线图形的解析几何方程设定为-=1，假设双曲线上动点P的坐标为P（x，y），则有|AP|==（已知≥2b）。

假若2b≤4，则直接可有b≤2，则在x=4的条件下，|AP|将会取得最小值。也就是要求=，在这一数学运算情境下，上述数学方程显然无解，因而在b≤2代数条件下，满足题设约束条件的双曲线方程是不存在的。

而假若2b>4，也就是b>2的数学情境下，在x=2b的数学运算条件下，|AP|将会直取得最小值，且这时会会有|2b-5|=，这时可以解得b=或者是b=<2（应当舍去），而在这一求解情境之下，直接可以求解到能够同时满足题干约制两个基本限制性数学条件的双曲线方程解析式，并且其在标准型表达-条件下的数学方程是：-=1。

同理，当双曲线的焦点在y轴上时，能够求解到同时满足题干中；两个约束条件的双曲线方程为y2-=1。

由此可知，总共存在两条满足题干中约制条件的双曲线方程，并且两条双线方程的标准化数学方程表达式分别为-=1，以及y2-=1。

结语

针对圆锥曲线探索型问题求解策略问退，本文围绕椭圆和双曲线中的存在型问题计算方法，旨意为相关领域的研究人员提供借鉴。

作者简介：

刘智恂（1994.4-），男，郴州资兴，邵阳学院理学与信息科学系，学士学位，研究方向：纯粹数学。

徐立新（1946.1-），男，湖南邵阳，邵阳学院理学与信息科学系，学士学位，职称：教授 研究方向：组合优化。

参考文献：

[1]谢伟.新课标高考中圆锥曲线最值问题的求解策略[J].中学数学研究，2012（05）.

[2]郑昭众.例谈圆锥曲线问题求解的转化策略[J].高中数理化，2011（21）.

[3]王中華，黄海英.圆锥曲线探索型问题的求解策略[J].中学生数理化（高三版），2007（03）.