一道超越方程的趣解

黄立羽

引言 在高中数学中，遇到超越方程往往无能为力，可是巧妙利用函数的单调性及图像性质，往往会使问题迎刃而解. 如题 已知x1是方程x + lg x = 3的解，x2是方程x + 10x = 3的解，求x1 + x2的值.

分析 通过两个函数单调性、换元求解.

证法一 已知x1 + lg x1 = 3，不妨设lg x1 = x3，则x1 = 10，

所以有10 + x3 = 3.

又因为10 + x2 = 3，且方程y = x + 10x是單调函数，

所以x2 = x3，所以x1 + x2 = 3.

证法二 因为x1 + lg x1 = 3，

所以lg x1 = 3 - x1 10=x1.

又因为10 = 3 - x2，

所以可得3 - x1，x2是关于t的方程103-t = t的两根，

显然3 - x1 = x2，所以x1 + x2 = 3.

上述证明的巧妙之处在于换元，下面呈现一种数形结合的方法，解决问题.

证法三 因为y = 10x和y = lg x互为反函数，通过图形可以得到点（x1，3 - x1）与（x2，3 - x2）在直线y = -x + 3上，且关于直线y = x对称，所以x1 = 3 - x2，即x1 + x2 = 3.

上述方法通过函数的几何意义，清晰地解释了题目所蕴含的意义，下面采用一种放缩法，解决本问题.

证法四 不妨设x1 + x2 > 3，则

x1 > 3 - x2 = 10 > 10 = 10 = x1，

矛盾.

同理，当x1 + x2 < 3时，有

x1 < 3 - x2 = 10 < 10 = 10 = x1，

矛盾.

所以，x1 + x2只能为3.

总结 面对有些超越方程，巧妙地换元或利用函数图像与性质，可以巧妙地处理问题，而且解题难度大减，方法独特，犹如空中杂技，美不胜收.