中考几何中常见的最值问题

王明

摘要：关于中考几何题中的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质。而在解题中要高度重视模型思想的教学，要突出建模过程，让学生深刻体会模型思想，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型。

关键词：最值；建模

教学中发现学生在解决几何最值问题时，困难主要有两个方面：一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分，掌握不到位；二是这类问题一般是以动态形式呈现的，学生难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手。本文主要谈谈如何利用数学模型求此类最值的问题。

解决几何最值问题的理论依据：①两点之间线段最短；②直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（三点共线时取到最值）。根据不同特征转化是解决最值问题的关键，通过转化减少变量，向此三个定理靠拢从而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。现举例阐述，供读者在解决这类问题时参考。

一、运用“两点之间线段最短”模型

【例1】（2012海安模拟）如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP= ，则△PMN的周长的最小值为 .

【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D.连接OC，OD.则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长。根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解。

【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D.连接OC，OD.则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长.

∵P、C关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD.∴△COD是等腰直角三角形.

则CD= OC= ×3 =6.

【点评】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键。

【例2】如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 .

【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大.根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值。

【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P。

∴B′N=BN=1，

过D点作B′D⊥AM，

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5.

【点评】本题考查了作图：轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键。

二、运用“垂线段最短”模型

【例3】（2010苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 .

【分析】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解。

【解答】如图，由题意知：当DA是圆C的切线时，OE最长，此时△ABE面积最小.

AC=2+1=3.CD=1.

由勾股定理得 .

可以证明 ，

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键。

三、建立“函数”模型

【例4】（2012海淀二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=DC=2，AD=1，R、P分别是BC、CD上的动点（点R与B不重合，点P与C不重合），点E、F分别是AP、RP的中点，求线段EF的取值范围.

【分析】如图，由点E、F分别是线段AP、RP的中点，不难想到连结AR构造三角形中位线的基本图形，发现线段EF的长为线段AR的一半，所以题中两个动点P、R其实对EF长有影响的只是动点R，这样就把求线段EF长的取值问题转化成线段AR的长的取值问题来研究.再由条件∠ABC=60°，AB=2想到作梯形的高线，构造Rt△ABG和Rt△AGR，则线段AG、BG为定值.在Rt△AGR中，通过勾股定理可以用线段GR来表示线段AR的长，从而可以建立线段AR长关于变量线段GR长的函数关系式。

【解答】 连结AR，过点A作AG⊥BC于点G，设BR=x，EF=y，易求BG=1，AG= ，则GR=x-1.

在Rt△ARG中， ∵AR2=AG2+GR2.化简得y=

由题意，可知0

所以当x=1，即点R与点G重合时，y取最小值 ；

当x=3，即点R与点G重合时，y取最大值 .

所以 ≤EF≤ .

【点评】本题考查了三角形的中位线性质，勾股定理建立函数关系。动态问题中的一些量是有关联的，运动中总隐有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函數模型来准确刻画量与量之间的关系。

以几何为背景的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现。这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩。希望教师能在平时教学中，多给学生练习，总结这类题型的解题方法。

在解题中要高度重视模型思想的教学，要突出建模过程，让学生深刻体会模型思想，让学生经历数学模型的“形成——建立——求解”的全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型。