无越流含水层中完整井的井流试验确定隔水边界位置

孟陈锐，汪　莹，谷帅军，刘红杏，周彦兆

(中国地质大学(武汉)环境学院，湖北 武汉 430074)



无越流含水层中完整井的井流试验确定隔水边界位置

孟陈锐，汪莹，谷帅军，刘红杏，周彦兆

(中国地质大学(武汉)环境学院，湖北 武汉 430074)

讨论了在未知无越流含水层隔水边界的方向和位置时，通过完整井的井流试验，利用观测井降深-时间的数据以及Cooper-Jacob简化公式的直线图解法来确定隔水边界的问题。运用数学建模的方法，分析讨论了当观测井个数为两个时的隔水边界位置。结果表明：使用两个观测孔降深-时间的数据可找出隔水边界的两个可能解，但无法确定哪个是真实解。因此笔者在此基础之上提出了确定隔水边界的一种方法：使用三个不在一条直线上的观测井降深-时间的数据，通过直线图解法和作图，利用三个圆的交点近似确定隔水边界的位置。

井流试验；隔水边界位置；反映法；虚井位置

在承压含水层中进行抽水试验时，由于岩性、地质构造等原因，经常会遇到含水层有隔水边界的情况。确定隔水边界的方向与位置对水资源的开发与矿坑疏干的预测有着重要意义。对于此类问题，运用反映法进行求解较为简便。所谓反映法是对某一边界或某些边界来映射实际的抽水井，使得在边界的另一边有一个对称的虚构的抽水井或注水井，其作用与实井等效[1]。由此边界问题转化为无界问题，继而可用无限含水层中的Theis井流模型求解含水层参数。徐建国等[2]通过水文地质边界附近非稳定流抽水试验资料的分析，按边界透水性将水文地质边界划分为5类,并结合实例说明了边界透水性的判别方法。这对于确定地下水系统边界条件具有较为重要的意义。郭建青[3,4]等对比分析了标准曲线对比法、基于Jacob近似的直线图解法、梯度搜索法，三种直线隔水边界含水层抽水试验数据的分析方法，详细地描述了不同方法的适用性。余克林[5]等详细描述了特定条件直线图解法在确定隔水边界中的应用，并结合实例阐述了复杂边界条件下的水文地质学求参方法。陈崇希[6]等在《地下水动力学》一书中用直线图解法近似确定两观察孔到虚井的距离，利用两圆相交的方法确定直线边界的方向和位置，但此方法的解是不唯一的。

本文指出了《地下水动力学》一书中确定隔水边界方法的不足，在利用观测井降深-时间的数据以及Cooper-Jacob简化公式的直线图解法的基础上，运用数学建模的方法分析讨论了无越流含水层中确定隔水边界位置的方法。

1　数学模型建立与计算

1.1承压含水层的直线图解法

直线图解法是将抽水试验的实测数据(观测井降深s，时间t)投在单对数坐标纸上并做成s-lgt曲线，此曲线在一定的区间上将呈现为直线，因而可以根据直线的斜率和截距来确定含水层的两个参数(导水系数T、压力传导系数a)。

在s-lgt曲线中，分别延长第一、第二直线段，两直线交于点c，此点坐标(tc，sc)，第一直线段与lgt轴的交点为t0，据此可求出虚井至观测井的距离ρ：

(1)

式中：ρ为虚井至观测井的距离(m)；r为观测井至抽水井的距离(m)；tc为第一、第二直线段交点的横坐标所对应的时间(min)；t0为第一直线段与lgt轴交点的横坐标所对应的时间(min)。

1.2提出的疑问

按照《地下水动力学》[6]中的描述,用(1)式分别求出观测孔1和观测孔2至虚井的距离ρ1和ρ2，然后分别以观测孔1、观测孔2为圆心，ρ1和ρ2为半径作圆，两圆的交点即为虚井的位置。实井和虚井连线的中垂线就是隔水边界的位置。但是两圆相交有两个交点，而真实的虚井只有一个，能否确定这两个虚井中哪一个是真实的虚井呢？

此处讨论的隔水边界为已经确定存在的，并且只有一条的情况。下面我们将讨论在观测孔为两个时，能否确定这两个虚井中哪一个是真实的虚井。

1.3在一般情况下讨论

将抽水井用Pw表示，观测井用k1、k2表示，虚井用P1、P2表示。再以观测井k1、k2为圆心半径为ρ1、ρ2作圆，连接他们的圆心k1k2和交点P1P2(如图1所示)，则k1k2是P1P2的中垂线。

图1　线段k1k2、P1P2垂直示意图

以k1k2为X轴，P1P2为Y轴建立坐标系(如图2所示)。设P1(0，a)、P2(0，-a)为可在Y轴上移动的点(P1、P2关于X轴对称)，k1(b，0)、k2(c，0)为可在X轴上移动的点，抽水井Pw的坐标为(m，n)。

图2　抽水井Pw取值范围示意图

Pw应满足：(m-b)2+n2

(2)

连接PwP1、PwP2，并作他们的中垂线(如图3所示)，中垂线即为隔水边界。因为抽水井、观测井应在隔水边界的一侧，而虚井应在隔水边界的另一侧，所以隔水边界不能与线段k1k2相交。

若PwP1、PwP2的中垂线与线段k1k2无交点，则圆的两个交点都为虚井，隔水边界有两种可能：若PwP1、PwP2的中垂线与线段k1k2有1个交点，则圆的两个交点中只有1个交点为虚井，隔水边界只有1种可能；若PwP1、PwP2的中垂线与线段k1k2有两个交点，则没有隔水边界。

图3　k1、k2位于X轴异侧时隔水边界位置讨论图

经计算，我们发现PwP1、PwP2这两条中垂线在m0时交于X轴上同一点，并且这一点不在线段k1k2上，在m=0平行X轴，与线段k1k2也没有交点。证明如下：

2016年，山东省有6个果蔬区域公用品牌成功入选为第一批著名农产品区域公用品牌名单，胶州大白菜作为其中一个。2017年，11个区域公用品牌，如胶州大白菜被选为最受欢迎的农产品区域公用品牌。胶州大白菜协会继续研发白菜品种、栽培技术和白菜深加工产品的创新和开发形成较强的市场竞争力。

直线PwP1、PwP2中垂线的方程分别为：

(3)

(4)

在上述方程中分别令y=0，求得其两个解x1、x2为：

(5)

又由(2)式可得：

m2+n2-a2<2mb且a2+b2-a2<2mc

(6)

当m=0时，这两条中垂线平行于线段k1k2。

补充：1.因为以上证明没有对k1(b，0)、k2(c，0)的值进行限定，他们是在X轴上任意移动的点，所以当k1k2位于X轴的同侧时证明依然成立，m>0时(如图4)，m<0时(如图5)，PwP1、PwP2的中垂线与线段k1k2没有交点。

图4　k1、k2位于X轴同侧且m>0时隔水边界位置示意图

图5　k1、k2位于X轴同侧且m<0时隔水边界位置示意图

由此可推出，这两条隔水边界都可使抽水井、观测井在隔水边界的一侧，虚井在隔水边界的另一侧，两条隔水边界都有可能是真实解，需要其他方法来作进一步确定。

1.4特殊情况

该问题存在一种特殊情况，当k1、k2和虚井刚好在一条直线上并且虚井不能在线段k1k2上(否则不满足抽水井、观测井在隔水边界的一侧，而虚井在隔水边界的另一侧)。所以虚井不在线段k1k2上，但满足三点k1、k2和虚井在一条直线上，这时作图会得到两个内切的圆(如图6所示)。

图6　特殊情况下隔水边界位置示意图

此时两圆的切点即为虚井的位置。但只有当观测井k1、观测井k2和虚井在一条直线上时才会出现此情况，也等同于观测井k1、k2两口井的连线刚好垂直于隔水边界。这种情况在我们运用此方法求解隔水边界位置时出现的概率很小。

1.5结论验证

为了进一步证明我们的结论，我们用动画进行了演示。我们在不改变抽水井Pw、观测井k1的位置的情况下，仅改变观测井k2位置，观察两条隔水边界与线段k1k2的交点。在动画前期，两条隔水边界与线段k1k2有两个相同的交点，所以这两条隔水边界都不符合，但是实际问题中，应存在一个隔水边界，所以这种情况不符合实际。当观测井k2运动到临界位置(k2刚好位于两条隔水边界的交点时)，观测井位于隔水边界上也不符合实际。当观测井k2继续运动时，两条隔水边界与线段k1k2没有交点，说明两条隔水边界都有可能是真的，符合我们之前的结论。

2　隔水边界的确定

通过之前的研究我们发现圆的两个交点都符合条件，无法判断哪个是真实的虚井，也无法判断哪个是真实的隔水边界，我们猜想能否通过增加一个观测井的方式来确定隔水边界的真实位置。

通过直线图解法可得出观测井k3到虚井的距离ρ3，以k3为圆心ρ3为半径作圆。

图7　k1、k2、k3在一条直线上时隔水边界位置示意图

图8　k1、k2、k3不在一条直线上时隔水边界位置示意图

若三个观测井k1、k2、k3在同一条直线上，以k3为圆心ρ3为半径作圆，则此圆会交于虚井p1、p2，同样无法从两个交点中判断出哪个是真实的虚井(如图7)；若三个观测井不在同一直线上时，因为观测井k3不在虚井p1p2的中垂线上，所以观测井k3到两虚井的距离不相等，若以k3为圆心ρ3为半径作圆，则此圆必与其中的一个虚井相交(如图8)，这三个圆的交点就是虚井的位置，实井与虚井连线的中垂线就是隔水边界的位置。第三个观测井的取值应在两隔水边界的内部。

以此类推，当使用三个以上观测井的降深数据时，只要这些观测井不在同一条直线上就可确定隔水边界的位置。

3　结语

在用完整井的井流试验方法确定无越流含水层中的隔水边界时，若未知隔水边界的方向和位置，使用两个观测孔的降深观测数据可找出隔水边界的两个可能解，但无法确定哪个是正解(只有当两观测井和虚井刚好在同一条直线上时才可以直接确定虚井的位置)；使用三个及以上观测井的降深数据时，只要这些观测井不在同一条直线上就可确定隔水边界的位置。

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Determination of impervious boundary with a pumping test in a confined aquifer

MENG chen-rui，Wangying，GU shuai-jun，LIU hong-xing，ZHOU yan-zhao

(School of Environmental Studies,China University of Geosciences,Wuhan,Hubei,430074,China)

With the unknown of the direction and position of impervious boundary,the developed method can be used to determine the position of impervious boundary through the pumping test data associated with the Cooper Jacob method.Using the method of mathematical modeling,the position of the impervious boundary was analyzed and discussed for the condition of with two observation wells.The results indicated that the drawdown-time data of two observation wells can be used to find out the two possible solutions of the impervious boundary`s position,but it is not sure which is the real solution.Based on this,we proposed a method to determine the position of impervious boundary:using drawdown-time data in three observation wells that do not have a straight line and through the Cooper Jacob method and matching,using the intersection of the three circles to determine the position of impervious boundary.

well flow experiment；impervious boundary′s position；reflection method；imagined well

2016-04-26

孟陈锐(1995-)，男，湖北武汉人，主攻方向：环境工程。

P641.2

B

1004-1184(2016)05-0019-04