让学生经历概念的形成过程

洪飞

数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，进而发展智力和培养能力。一元二次方程是在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础。周素裹老师在执教“一元二次方程”时，精心设计每一个教学环节，让学生深入感知、渐进抽象、实践巩固。创设情境，概括概念；辨析应用，理解概念。突出了数学概念的本质，借助学生已有的知识经验，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一元二次方程的一般形式，体验一元二次方程概念的形成过程。

【片段一】 创设情境，概括概念

教师给出课本问题1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程。

问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm。在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

师：题目中的相等关系是什么？

生：长×宽 = 长方形的面积3600 m2。

师：很好，这位同学找出了本题中的相等关系。那么如何设未知数呢？

生：设切去的正方形的边长为x米，则盒底的长为（100-2x）米，宽为（50-2x），不难列出方程：（100-2x）（50-2x）=3600。

师：如果整理？

生： x2-75x+350=0。

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？

师：全部比赛共有多少场？

生：28场。

师：如何设未知数呢？

【赏析】现在很多教师不重视数学概念课的教学，概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍。有的教师在进行概念教学时常常采用“一个定义，几项注意”的方式，不重视概念的背景引入，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为在概念教学多花时间不如让学生多做几道题目更有效。笔者认为，在概念教学中，教师不能以解题教学代替概念教学，而是要让学生经历概念的形成过程，从而理解数学知识、方法和意义。

本教学片段中，周老师创设问题情境，让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在学习课本问题一和问题二的过程中，部分学生能够独立解决问题，自己创设情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的问题情境去列方程，建构数学模型，在建模的过程中不仅加强数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，从而加深对一元二次方程的理解。教师让学生自己给出一元二次方程的定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比，概括成一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言应用能力的提升。通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究数学问题的一般方法。

【片段二】 辨析应用，理解概念

师：经过上面的练习，我们进一步明确了只有同时具备只含有一个未知数、未知数的最高次数是2、整式方程这三个条件的方程才是一元二次方程。

……

【赏析】掌握好数学概念是学生进一步学习其他数学知识的基础。由于数学概念大多比较抽象，因此，教师有必要通过对比，把概念的特征显现出来，让学生充分感知，建立表象，形成概念；又通过对比，让学生辨析概念的本质属性，从而掌握概念、巩固概念。在本教学片段中，周老师通过举例，辨析概念，从正反两个方向强化对一元二次方程概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的一元二次方程知识体系，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解一元二次方程概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果。在形式比较复杂的方程面前，通过辨析一元二次方程的元、次、项，看清一元二次方程的本质，掌握一元二次方程的概念。

本课是“一元二次方程”的起始课，周老师在教学中重点把握好了如下三个方面：一是形成一元二次方程的概念，特别是要让学生体会一元二次方程的特征；二是让学生体会用联系的观点、类比的方法和建模的思想研究一元二次方程；三是通过类比“一元一次方程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路。概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”，教学中，周老师力求使学生了解一元二次方程概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的课题，并努力让学生经历一元二次方程概念的形成过程。

（作者单位：广东省深圳市罗湖区教育科学研究中心）

责任编辑 周瑜芽

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