多控制点水平井靶体边界计算和绘图

尹玲

（辽河油田分公司钻采工艺研究院 辽宁 盘锦 124010）

多控制点水平井靶体边界计算和绘图

尹玲

（辽河油田分公司钻采工艺研究院 辽宁 盘锦 124010）

为了在钻井设计软件中精确地绘制出多控制点水平井靶体，建立了靶体外边界曲线的计算公式和绘图。

钻井设计；水平井；井眼轨道；控制点；曲边长方体靶

1.长方体靶

约定：除非特别指明，具有长度量纲的参数其物理单位为m，角度的物理单位为弧度(rad)，井眼曲率以及角度变化率的物理单位为m-1。使用最多的水平井靶由两个控制点A和B所确定(见图1)，A点处靶窗矩形宽为、高为，其中和分别为A点的横向和纵向允许设计偏差。B点处靶窗矩形宽为、高为，其中和分别为B点的横向和纵向允许设计偏差。线段AB为设计井眼轨迹的一部分，称为靶体轴线。通常情况下，B点处的允许设计偏差要大于A点处的允许设计偏差，这时，靶体不再是长方体，而是截头方锥体。

图1 水平井靶示意图

2.曲边长方体靶

为了具有几何直观性和计算公式简洁明了，本文采用矢量数学符号来进行相关计算公式的推导。

2.1 井眼轨迹模型

假设相邻两个控制点A和B之间的设计轨迹为一条三维空间曲线，井眼轨迹上任一点P的矢径可根据井深来计算：

本文使用“列矢量”来表示矢量；上标“T”表示矩阵和矢量的转置运算，上撇符号“'”表示对井深的一阶导数，“"”表示对井深的二阶导数，表示矢量求模函数。

井眼方向矢量定义为井眼轨迹切线方向上的单位长度矢量：

2.2 井眼轨迹的法平面

可以证明[6]：

可以证明[6]：、、是两两相互垂直的单位长度矢量，可以作为一个成右手系的空间直角坐标系的坐标轴上的单位长度矢量，这个坐标系称为P点的局部坐标系。假设Q点在局部坐标系中的位矢为，则：

2.3 靶体轴线的伴随曲边长方体

对于靶体轴线(井眼设计轨迹从第一个控制点到最后一个控制点的那部分)上任意点P点，按照式(1)～(2)定义该点的横向允许偏差w和纵向允许偏差h。在局部坐标系中，矩形的中心为P点，宽和高分别为和。记矩形顶点的局部坐标矢径依顺时针顺序为，，则有、、、。

2.4 曲边长方体靶

当水平井靶由多个控制点所确定时，相邻两个控制点之间的靶体为截头方锥体(当两点之间设计井段为线段时)，或者为曲边长方体(当两点之间设计井段为曲线时)，将这些截头方锥体和/或曲边长方体按照控制点的顺序依次拼接，所形成的空间图形即为多控制点水平井段的设计靶体，称为曲边长方体靶。

如果相邻两个控制点之间由多个设计井段组成，可以将上段曲边长方体靶定义中的“控制点”改为“设计节点”，所形成的靶体仍为曲边长方体靶。

当靶体轴线的井眼曲率较小或者允许偏差较小时，曲边长方体靶是截头方锥体靶的合理推广。但是当井眼曲率大于允许偏差时，曲边长方体靶的“内侧”曲边会出现“折叠”现象。

2.5 井眼轨迹模型

前面给出了曲边长方体靶的定义及有关计算公式。仔细分析上述定义可以发现，与特定井眼轨迹模型有关的参数只是矢径、井眼方向矢量、曲线主法线矢量。所以，对于一般的靶体轴线曲线模型，只要能给出位矢、井斜角和方位角及其变化率的计算公式，就可以计算曲边长方体靶。

根据微分几何的知识[6]，可推导出下式：

这是刘修善公式[2]的矢量化形式。另外，下式恒成立[2]：

2.5.1 空间圆弧模型 假设已知空间圆弧AB的端点A和B的参数，则圆弧上任一点P的参数按下述公式计算[6]：

2.5.2 圆柱螺线模型

有以下公式：

3.绘图算法

首先，依据设计井深增加的方向，根据式（19)等求出4条曲边上足够多的离散点，使得相邻两个离散点之间的直线距离足够小，当投影到计算机屏幕上时，这两点之间横/纵向不超过2个像素点。

如果是绘制三维图形，只需要分别将这些离散点用线段连接即可(当然还需要绘出第一个和最后一个控制点处的靶窗矩形)。

如果是绘制水平投影图，则离散点的Z坐标均相等，只需要绘制离散点即可。

4.结论

（1）利用法面坐标给出了多控制点水平井靶的外边界曲线的数学定义，推导出了设计轴线弯曲井段为空间圆弧曲线、圆柱螺线曲线、自然参数曲线时的外边界曲线的具体计算公式，为钻井软件开发中的图形绘制提供了数学基础。

（2）软件开发实践表明，在水平投影图、垂直投影图、剖面展开图、三维图形中，使用外边界曲线公式可以绘制出多控制点水平井靶的精确图形。

TP27

A

1009-5624（2016）05-0084-03最简单形状的水平井靶是一个长方体。当水平井需要通过多个目标点时，由于相邻两个目标点之间的设计轨迹可能是弯曲井段，水平井靶外边界线在水平投影图上的投影不再是简单的直线段，而是复杂的三维连续曲线。

尹玲，女，1968年6月生，2007年毕业于中国石油大学(华东)石油工程专业，现工作于辽河油田钻采工艺研究院，助理工程师，主要从事钻井监督信息管理等技术工作