带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响及其数值模拟

王福谦

(长治学院 电子信息与物理系，山西 长治　046011)



带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响及其数值模拟

王福谦

(长治学院 电子信息与物理系，山西 长治046011)

利用复数坐标系z上的施瓦茨-克利斯多菲变换，讨论带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响，得到其磁场的磁势矢分布，利用软件MATLAB绘制出磁感线图，从而定性地研究低脊对均匀磁场影响的程度和范围.

均匀磁场；带有低脊的铁磁质板；施瓦茨-克利斯多菲变换；磁势矢；数值模拟

设无限大的铁磁质板上方真空区域内，有一垂直于铁磁质板面的均匀磁场，其在垂直于铁磁质板的任一截面上的情形如图1所示.当此铁磁质板带有一无限长的垂直于板面的带状低脊时(参见图2)，原来的均匀磁场将变得不再均匀.本文将利用复数坐标系z上的施瓦茨-克利斯多菲变换，讨论带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响，得出铁磁质板上方磁场的磁势矢分布，并利用MATLAB软件的数值模拟功能，绘制出其磁感线图，从而定性地研究低脊对均匀磁场影响的程度及范围.

图1　无限大铁磁质平板上方的均匀磁场

1　研究方法和依据

通过保角变换ζ=f(z)变换边界形状时，z平面上线元变换到ζ平面上，其长度要伸长|f′(z)|倍，而变换函数的导数f′(z)又随坐标变化，这将使得变换区域内的原均匀介质变得不再均匀.所以，作为边界或求解区域内的一般的均匀磁介质，其平行平面场不能用保角变换法进行讨论,但由于铁磁质的磁导率远大于真空，可视为理想铁磁质，其磁性能通过保角变换不发生变化，而真空作为特殊的磁介质，保角变换也不改变其磁性能，故保角变化法对场域介质为真空而边界为铁磁质的情形可以适用.因此，本文所研究的问题能够运用保角变换法来处理.

2　场的边界形状的变换

本文将要讨论的受带有低脊的铁磁质板影响的磁场，场的边界的一部分为带有低脊的大铁磁质平板，其余部分则在无限远处，边界形状比较复杂.当该磁场的磁势矢方向与低脊的方向平行时，为平行平面场，可按二维场来处理.

采用保角变换法可将所研究区域的边界变换为简单形状，这可简化边值问题的求解.为了方便地讨论带有低脊的大铁磁质平板对均匀磁场的影响，需通过施瓦茨-克利斯多菲变换将原求解区域映射为上半平面.在z平面上，铁磁质平板位于x轴上，低脊位于y轴上，z平面的求解区域为一广义四角形.如图2所示.根据施瓦茨-克利斯多菲变换的要求，需选定与多角形顶点zi在ζ平面实轴上的对应点ξi，根据上述特点列表(见表1)，其中ξ1、ξ2、ξ3是任取的.由于z3对应于ζ=0，利用对称性原理，ξ4应以虚轴与ξ2对称，因此得ξ4=-ξ2=h.根据施瓦茨-克利斯多菲变换公式[2]：

图2　带有低脊的铁磁质平板的横截面

iziαiπξi1(∞,0)-π∞2(0,0)π/2-h3(0,ih)2π04(0,0)π/2h

z=A∫[(ζ-ξ1)α1-1·(ζ-ξ2)α2-1…

(ζ-ξn-1)αn-1-1]dζ+B

(1)

有

(2)

因要求将z(0,ih)映射到ζ(0,0)，则由式(2)可得A=1，B=0.所以

于是，所求的变换函数为

(3)

变换函数式(3)将带有低脊的z平面映射为ζ平面的上半平面(图3)，为所需要的区域.

图3　作变换后的铁磁质平面

3　磁场分布

设在无限大铁磁质平板的上方，有一均匀磁场B0，其方向垂直于铁磁质板向下(见图4)，且

图4　均匀磁场与铁磁质平板

(4)

式中C对给定磁场为正常数，且C=B0，B0为均匀磁场的磁感应强度大小，eη为ζ平面上沿η轴方向的单位矢量.

(5)

即

因Aξ=0，则有

Aκ=B0ξ+C0

(6)

其中Aκ为磁矢势沿κ方向的分量，κ垂直于ζ平面，并与ξ轴和η轴成右手螺旋关系，式中C0为任意常数.

由式(6)可知，受铁磁质板上低脊影响后的磁场，在垂直于低脊的所有截面上的分布均相同，则所研究的磁场为平行平面场，故将复平面ζ置于任一截面上，以低脊与铁磁质板连接处为原点建立坐标系，利用上述保角变换关系，可得出该磁场的磁势矢在z平面上的分布.

由变换函数式(3)，得

由上式，得

(7)将式(7)代入式(6)，可得对z平面上的磁矢势分布为

(8)

或

(9)式(8)、(9)为带有低脊的铁磁质平板上方的磁场的磁矢势的分布表达式.式中C0为任意常数，ez是垂直于z平面的单位矢量，方向与x轴和y轴成右手螺旋关系.

对式(9)A取旋度，有

(10)

式(10)即为带有低脊的铁磁质板上方磁场的磁感应强度分布，ex、ey为z平面上沿横、纵坐标轴方向的单位矢.

4　磁感线方程及场分布的数值模拟

因在平行平面场中，A的等值线就是磁感线[3]，故由式(8)，有

(11)

式(11)即为受带有低脊的铁磁质板上方磁场的磁感线方程.其中C′为任意实常数.

为了给出带有低脊的铁磁质板上方磁场分布的直观图像，并进一步验证本文所得结论的正确性，下面利用软件MATLAB对其进行数值模拟.

图5—图8为利用软件MATLAB绘制出的带有低脊的铁磁质平板上方磁场的磁感线(磁势矢的等值线)分布图，其中均匀磁场的磁感应强度为B0=500 T.

由图5—图8可以看出：在均匀磁场分布范围一定的情况下，铁磁质平板上的低脊越高，终止在低脊上端的磁感线的线密度越大，其上端附近的磁感应强度越强.

铁磁质平板上的低脊对均匀磁场产生两个方面的影响：一是使铁磁质板上方原来的均匀磁场变为非均匀场，低脊的高度越高，受低脊影响后的磁场偏离均匀场的程度越高，当低脊的高度一定时，其对铁磁质板上方较远处的磁场的影响很小；二是低脊的存在将改变原有的均匀磁场的宽度，使磁场的横向宽度变小，并且低脊的高度越大，其对磁场的横向宽度的影响程度越大，磁场的横向宽度变得越窄.

另外，从图5—图8还可以看出，受铁磁板上低脊的影响，原来均匀磁场的直线族状的磁感线，其形状发生了畸变，成为弯曲程度不同的曲线状的分布，且磁感线由真空(或空气)进入铁磁质时，均垂直于两者的分界面，原因是铁磁质的表面为一标量等势面.这一分布图线具有正确的物理意义，也与有关文献的结论相一致[4,5].

图5　带有低脊的铁磁质平板对均匀磁场的影响(h=1 m)

图6　带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响(h=1.5 m)

图7　带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响(h=2.5 m)

图8　带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响(h=4 m)

5　结束语

计算机数值模拟的研究方法已成为继实验研究和理论分析之外的第三种研究手段.本文将理论分析和计算机数值模拟相结合，研究了带有低脊的铁磁质板对均匀磁场的影响，为边界形状较复杂的二维静磁场边值问题的研究提供了一种思路和方法. 具有一定的理论价值；再者，对于生产和科研中铁磁体周围的磁场，也可以运用本文的方法进行分析和研究，故本文的结论也具有一定的实际意义.

[1]邵惠民.数学物理方法[M].北京:科学出版社，2004:465-470.

[2]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，1997:447-449.

[3]孙敏,孙亲锡,叶齐政.工程电磁场基础[M].修订本.北京：科学出版社，2001:214-218.

[4]赵凯华,陈熙谋.电磁学(下册)[M].北京：人民教育出版社，1979：135-139.

[5]徐健民，徐建成.圆柱形多极磁选机磁场分布和磁场梯度的解析计算(J).有色金属,2001，53(4)：66-69.

Influence of a ferromagnetic material plane with low ridge on uniform magnetic field and its numerical simulation

WANG Fu-qian

(Department of Electronic Information and Physics, Changzhi University, Changzhi, Shanxi 046011, China)

The influence of a ferromagnetic material plane with low ridge on uniform magnetic field is studied by using Schwarz-Christoffel transformation on the complex coordinate system of the complex number, and its magnetic vector distribution is obtained. The magnetic induction line maps are plotted by using the software MATLAB, the extent of influence of a ferromagnetic material plane with low ridge on uniform magnetic field is studied qualitatively.

uniform magnetic field； a ferromagnetic material plane with low ridge；Schwarz-Christoffel transformation; magnetic vector；numerical simulation

2015-03-15；

2015-11-24

山西省自然科学基金(2012011028-1)资助

王福谦(1957—)，山西临猗人，长治学院电子信息与物理系教授，主要从事电磁场边值问题及场结构数值模拟研究.

O 441

A

1000- 0712(2016)06- 0011- 04