固体线膨胀系数的交流电桥测法研究

李儒颂，马红梅，徐　芹

(河北工业大学 理学院，天津　300401)



固体线膨胀系数的交流电桥测法研究

李儒颂，马红梅，徐芹

(河北工业大学 理学院，天津300401)

利用交流电桥可精确测量微小电容的原理，提出用交流电桥法测量线膨胀系数的方法．将固体微小长度的变化转换成交流电桥电容的变化，从而能够实现线膨胀系数的精确测量．其原理是将交流电桥待测电容做成一个矩形平行板电容器，并将待测金属棒顶着底面的极板，当金属棒受热膨胀后产生微小长度的变化，因而引起交流电桥电容的变化．此外，为减小加热装置的温度梯度，控温系统是在传统的蒸气喷射加热仪的基础上，组合黏度实验部分仪器和温度传感器而做成的．实验结果表明，该方法简单易行，具有测量精度高，误差相对较小的优点.

交流电桥; 电容; 线膨胀系数; 平行板电容器; 控温系统

线膨胀系数是固体材料的的重要性能之一，是材料使用时应考虑的关键参数，通常是通过测量固体随温度变化而引起的长度变化量来确定．在桥梁、建筑等工程设计、机械设计与制造、材料的焊接等各种领域，都必须对材料的膨胀特性予以充分地考虑．特别是在航空、航天等高科技领域，对材料线膨胀系数的要求非常严格．固体材料线膨胀系数的测量方法有很多种[1-4]．对固体材料线膨胀系数的精确测量的关键因素主要有两个：一是微小量的精确测定，传统的测量方法是采用尺度望远镜和光杠杆方法[5]，此方法操作不方便，局限性较大，而且由于固体材料的膨胀是动态过程，要对多个数据同时进行测量，会起较大偶然误差，导致测量精度降低；另外用千分表[6]等仪器测量微小位移的测量误差也较大．二是对金属棒加热过程中，应使其保持均匀受热，因此，加热装置的精确控制温度也非常重要．传统的蒸气加热[7]、流水加热方式使得温度梯度比较大，难以实现均匀的温度分布，无法精确测定待测固体的温度；近年来发展的电加热法虽然具有操作简单，加热迅速等优点，但是温度梯度较大．为减小温度梯度，采用PH-IV型变温黏度实验仪(水泵部分)作为水浴加热和控温的热源[8]，可达到很好的控温效果，其控温精度可达0.1℃．近年来也有将激光扫描F-P干涉法[9]用于测量固体材料的线膨胀系数．由于干涉条纹的精细程度特别高，因而被用来测量固体材料的线膨胀系数，但因其是直接用来推动干涉仪的镜面移动的，这样一来会使镜面移动时在加热温度较高情况下可能会偏离原来方向，增加了测量难度．也有用单缝衍射法[10-12]测量金属棒膨胀系数的，但缝宽限制了单缝衍射的效果，而当缝宽减小到一定程度时，将不会出现衍射条纹．因此，此方法不适合用于高膨胀固体材料的线膨胀系数测量．为提高测量精度，学者们提出了不同的改进方法[13-15]．近年来发展的激光测量法使测量精确度提高了很多，但激光频率的误差会影响测量精度.

本文提出了用交流电桥测量线膨胀系数的方法，将固体微小长度的变化转换成了交流电桥电容的变化，交流电桥可精确测量微小的电容，因而可以实现线膨胀系数的精确测量．

1　实验原理

固体因温度升高而引起的长度变化称为线膨胀，原长为l的固体受热后其相对伸长与温度的变化成正比，即

(1)

比例系数α称为固体的线膨胀系数，其单位为K-1，线膨胀系数是材料的特性参数，它随物体的材料而异；α与温度也稍有关，在温度变化不太大的范围，可以把α看作常数．

设某固体在温度T1和T2的长度分别为l1和l2，则该温度范围内的线膨胀系数α为

(2)

显然，只要在实验中测得式中的l、T1和T2，即可求得线膨胀系数α.

1.1交流电桥测量金属材料的线膨胀系数

由于在实验中，金属受热膨胀时伸长量Δl的数值非常小，不易直接测量．而交流电桥具有较高的灵敏度，能够将交流电桥的高灵敏度特性与长度的微小变化量Δl相联系，即可用交流电桥的方法更精确地测出金属材料的线胀系数．

利用交流电桥电容变化测量金属材料线膨胀系数设计如下.

图1　交流电桥示意图

未连接检流计G时，由分压定理可知B、D两点的电势分别为

(3)

(4)

其中，Z1、Z2、Z3和Z4分别为桥臂AB、BC、CD和DA的阻抗．因此，B、D两点之间的电势差为

(5)

当电桥平衡时，有

Z2Z4-Z1Z3=0

(6)

整理得

(7)

(8)

根据复数相等的条件有

tanδ=RxCxω=R2C2ω

(9)

其中，δ为B、D两点间的相位差．当外加交流电压信号角频率固定时，为了使电桥平衡，可分别调节C2和R2的数值，直到检流计的示数不能再小为止．测量中，如果选取R3=R4，则有C2=Cx.同时R3、R4和C2的精确度要求尽可能高.而由平行板电容器公式得到

(10)

我们的实验中，待测电容Cx的下极板设计成可以活动的，并由待测金属棒支撑，当金属棒受热膨胀时，会顶着电容下极板向上运动，从而使上下极板间距离减小Δd=d2-d1，设Cx1和Cx2分别为初始温度T1和加热到T2时对应的电容值．于是加热前后电容极板距离的变化为

(11)

其中，实验中不难看出待测金属棒的微小伸长量与平行板电容器两极板间的距离变化量是相等的，即Δl=-Δd(因为待测金属棒受热后会膨胀而伸长，所以Δl>0，而相对平行板电容器来说，因待测金属棒受热膨胀伸长而顶着下极板向靠近上极板移动，因而Δd<0，在理想条件下可以认为|Δl|=|Δd|).联立式(2)和式(11)可得到

(12)

2　对线膨胀系数的不确定度的分析

由式(11)可知，如何实现对平行板电容器两极板间的距离显得尤为重要．根据式(12)可以得到线膨胀系数的相对不确定度为

(13)

3　实验装置与方法

3.1实验装置

本实验整体装置示意图如图2所示，给待测金属棒加热的水浴加热箱(正视平面图)设计如图3所示.

图2　实验整体装置图

图3　给金属棒加热玻璃水箱正视平面图

实验测量待测金属棒线膨胀系数装置主要由3部分构成：自制平行板电容器，水浴加热装置，交流电桥．其中最为关键是平板电容器的制作，实验中用的平行板电容器的上下极板是用精密仪器制作的正方体覆铜板(将薄铜片粘贴在玻璃板上，并保持覆铜面相对)做成的，边长为20.00 cm，厚度为0.50 cm.为可以严格控制平行板电容器的间距可调而且精度较高，为此，将螺旋测微计调节部分的可动轴焊接在上极板上，下极板通过绝热绝缘片直接和待测金属棒相连接．当待测金属棒受热膨胀时，会顶着下极板在表面光滑的玻璃槽(玻璃槽的右侧面和底面没有玻璃)内产生微小的平动，保证两极板可以在玻璃槽内上下自由移动，且保证在玻璃槽内不倾斜，使玻璃槽上下面大小和两极板形状和面积严格保持一致.

为测量出平行板电容值的改变量，而这一个变量是微小的，实验中采用交流电桥来实现精确测量这一微小的电容改变量，因交流电桥具有较高的灵敏度，能够精确测量出微小的电容．基本思路是在上、下极板覆铜面引出0.5 mm的多芯机导线，接到交流电桥电路中，为了使引出导线与玻璃槽壁没有摩擦，为此设计出的玻璃槽右侧面是没有玻璃的.

另外，为减小金属棒的温度梯度，给待测金属棒加热装置是在传统的蒸气喷射加热仪的基础上，组合黏度实验部分仪器和温度传感器而做成的．采用PH-IV型变温黏度实验仪(水泵部分)作为水浴加热和控温的热源，可达到很好的控温效果．将给待测金属棒加热的水浴玻璃箱设计为长方体，在水浴玻璃箱的左下处和右下处分别引出进水循环导管和出水循环导管，并在距离它的右侧面适合位置安装一高度稍短一点的玻璃，将水浴玻璃箱分成两部分，以便使水不溢出上盖，而是使水从短玻璃上流到短玻璃与右侧面的空间中，再流到出水循环导管，实现良好的水浴加热和水循环．

3.2交流电桥测电容的具体流程(实验方法)

1) 用米尺测量出待测金属棒的长度l，实验测得待测金属棒的长度为400 mm，将交流电源的输出电压控制在0～15 V之间．

2) 记录金属铜棒初始温度T1让待测金属棒顶着下极板，使上下两极板完全重合，然后通过调节螺旋测微计，让上极板和下两极板之间的间距为d，调节交流电桥使其平衡，测出此时平行板电容器的电容值为Cx1.

3) 对金属棒加热到温度为T2，金属棒将会伸长，顶着下极板也将产生微小的位移，从而导致平行板电容器的电容发生变化．此时，平行板电容器的电容增大、阻抗增大，导致交流电桥失去平衡，通过反复调节交流电桥恢复平衡，根据式(9)便可测出此时平行板电容器的电容Cx2的值.

4) 重复上述的方法，依次等间隔(如ΔT=10℃)升高温度到T3、T4、T5、T6…，对应的平行板电容器的电容值分别为Cx3、Cx4、Cx5、Cx6…，并记录各测量数据.

5) 根据各测量数据，计算处理数据.

6) 根据式(12)求出该金属棒膨胀系数的α值.

4　实验测量数据及结果

实验测量结果列于表1.

表1

5　分析与结论

1) 从测量的数据来看，平行板电容器的电容值是离散的．其原因可能是因为平行板电容器的两极板间为空气，比较容易受外界因素(如温度、湿度)的影响，导致测量的电容值有一定偏差．因此，为更有效地减少测量误差，应该尽量保持室温恒定和湿度相对较小的环境，将接线尽可能的做短，让布线位置不改变，并测量过程尽可能快一点等.

2) 由式(13)可知，对线膨胀系数的不确定度u(α)起主导作用的还是对Cx1和Cx2的测量．这是基于金属棒在加热过程中产生微小的位移，而这过程是动态的，会导致平行板电容器的电容Cx的变化．在测量Cx1和Cx2过程中，需要注意的是交流电平衡需要满足振幅和相位两个平衡条件，因此在实际调节过程中需要选定电路中的两个量(这里我们选取R2和Rx)进行调节，并遵循反复多次，逐次逼近的原则．

3) 在制作平行板电容器时，应注意极板面积尺寸的合理性，面积不能太小，从式(10)可以看出，否则会影响交流电桥对Cx1、Cx2的测量质量．从实际测量结果看，将极板面积控制在400 cm2左右是比较合理的．

4)为减小金属棒的温度梯度，给金属棒加热的装置是在传统的蒸气喷射加热仪的基础上，组合黏度实验部分仪器和温度传感器做成的．采用PH-IV型变温黏度实验仪(水泵部分)作为水浴加热和控温的热源，可达到很好的控温效果．

5) 实验测量结果表明，用交流电桥法测得的金属棒的线膨胀系数结果与标准仪器所测量数据相吻合；和传统的测量方法相比较，可以说明该测量方法不仅测量结果可靠，精度较高，而且具有操作简便，误差较小的优点．也可将该测量方法推广，应用于其他类似的直线微小量位移测量(如杨氏模量等)，或是变面积式用来测量角位移．如果后续再进行拓展研究实验，可以给待测金属棒加热的水浴装置引出另外的两支水循环导管，接入到半导体制冷装置中，以便实现水浴箱进行降温，更加减小了温度的测量误差；也可结合传感技术和计算机技术，以便实现自动测量．通过对金属铜棒的测量，其结果表明，该测量方法简单易行，测量精度较高，不仅拓宽了现行大学物理实验中对金属材料线膨胀系数的测量方法，提高了动手能力，同时也激发和培养了大学生的创新能力和创新意识．

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Study of solid linear expansion coefficient by alternating-current bridge

LI Ru-song, MA Hong-mei, XU Qin

(School of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China)

We proposed a new method for measuring the solid linear expansion coefficient by alternating-current bridge (AC bridge), which can be used to measure small capacitance. Converting solid tiny length change into AC bridge capacitance change. We realized the accurate measurement of solid linear expansion coefficient. We made a rectangle plane-parallel capacitor as the capacitance of AC bridge whose bottom plate was supporting by testing metal bar. When the metal bar was heated, it expanded. So the gap of capacitor was minimized, and the capacitance was changed. For reducing the temperature gradient of heating system, we added some experiment instruments of viscosity and temperature sensor into traditional steam jet heat meter. The experimental results showed that the method was simple, had high measuring accuracy and small error.

alternating-current bridge; capacitance; linear expansion coefficient; plane-parallel capacitor; temperature control system

2015-05-22；

2015-12-08

河北省青年基金(A2015202343)、河北省高校重点学科项目和大学生创新创业训练计划(201413584001)、河北省高等学校科学技术研究项目(QN2015260)资助

李儒颂(1990—)，男, 湖北通山县人，河北工业大学理学院2012级本科生.

O 348.2

A

1000- 0712(2016)07- 0042- 05