广义椭圆积分的单调性和不等式

王　飞， 周培桂， 马晓艳

(1.浙江机电职业技术学院数学教研室，杭州310053； 　2.浙江理工大学科技与艺术学院，杭州311121；3. 浙江理工大学理学院，杭州310018)



广义椭圆积分的单调性和不等式

王飞1， 周培桂2， 马晓艳3

(1.浙江机电职业技术学院数学教研室，杭州310053； 2.浙江理工大学科技与艺术学院，杭州311121；3. 浙江理工大学理学院，杭州310018)

文中主要运用单调性L’Hpital法则等分析工具探讨了由广义椭圆积分所定义的组合函数的单调性，及与一些初等函数组合的单调性，并由此获得其精确不等式.同时，推广了广义椭圆积分的相关已知结果，这些结果有助于广义Grötzsch环函数和广义Ramanujan模方程及其解的研究.

单调性； 广义椭圆积分； 精确不等式； 模方程

1　引　　言

(a,n)=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)=Γ(a+n)/Γ(a)，

(1)

给定实数a，b，c (c≠0,-1,-2,-3…)，高斯超几何函数定义为[3-4]

(2)

(3)

(4)

其中，Ka(r)在(0,1)上单调上升，Ea(r)在(0,1)上单调下降.因广义椭圆积分关于参数a的对称性，本文只考虑a∈(0,1/2)的情形.特别地，当a=1/2时，K=K(r)=K1/2(r)与E=E(r)=E1/2(r)分别为第一类和第二类完全椭圆积分.

广义椭圆积分作为最重要的特殊函数之一，不仅因为它是Gauss超几何函数的特殊情形，而且在数论、几何学、几何函数论、拟共形理论及工程技术等领域中有着重要的应用[6].另外，19世纪，Gauss，Abel 和Jacobi又对椭圆积分与椭圆函数有了重大发现，Legendre，Klein，Riemann也对完全椭圆积分做出了贡献.上世纪九十年代后期以来，裘松良教授、Anderson， Vamanamurthy和Vuorinen教授从研究拟共形映射的需要出发，又系统深入地研究了广义椭圆积分的新性质，给出了许多关于广义椭圆积分的精确界，从而掀起了国内外数学工作者们对广义椭圆积分的研究热潮[7-9].

此外，在拟共形理论中，广义椭圆积分出现在平面环域的模上[10-11].例如

(5)

显然，当a=1/2时，μ(r)=μ1/2(r)为Grötzsch极值环B2[0,r]的模.而广义Grötzsch环函数μa(r)出现于广义Ramanujan模方程及其解中，对拟共形理论、特殊函数与模方程等领域交叉的新研究领域有重要的应用价值[12-14].可见，广义椭圆积分的研究推动数学领域的发展具有重要意义.

在本文中，作者获得了如下主要结果.

定理1对任意的r∈(0,1)，a∈(0,1/2)，则

(i) 函数

从(0,1)到(0,2(1-a)/π)上严格单调下降.

(ii) 函数

从(0,1)到(a/π,2a(1-a)/sinaπ)上严格单调上升.

(iii) 函数

从(0,1)到(sinaπ/2,3(1-a)π/8)上严格单调下降.特别地，对r∈(0,1)，成立不等式

(6)

定理2对任意的r∈(0,1)，a∈(0,1/2)，则

(i) 函数

(7)

2　引　　理

在本文中，为了证明结论和引用方便，需要下面的公式和几个引理.经常用到以下导数公式

(8)

如下的引理2.1,2.2参见文献[4]定理1.25.

引理2.1对-∞

也在(a,b)上单调上升(下降).而且，若f′/g′的单调性是严格的，则F和G的单调性也是严格的.

引理 2.2设r(n)和s(n)(n=0,1,2,…)都为实数，幂级数

接下来，引理2.3(i),(ii)参见文[5]引理5.2(1),(2)，引理2.3(iii)参见文[15]引理2.11(1)，引理2.3(iv)参见文[5]引理5.4(1).

引理2.3对任意的r∈(0,1)及a∈(0,1/2)，则

3　主要结果证明

F1(r)=f1(r)/f2(r)，f1(0)=f2(0)=0.

由此，根据式(2)、引理2.1、引理2.3(ii)便知函数F1(r)的单调性.

显然，F1(1-)=0，F1(0+)=2(1-a)/π.

(ii) 令

f3(r)=a[Ka(r)-Ea(r)]-(1-a)[Ea(r)-r′2Ka(r)]，

f4(r)=[Ea(r)-r′2Ka(r)][Ka(r)-Ea(r)]，

则

F2(r)=f3(r)/f4(r)，f3(0)=f4(0)=0.

(9)

根据引理2.3(i)、引理2.3(iii)及引理2.3(iv)可知，函数f5(r)在(0,1)上严格单调下降.因此，由式(4)、式(9)、引理2.1可得F2(r)的单调性.

其次，由引理2.1、引理2.3可知，极限值

(iii)由式(1)-(4)可知

(10)

由式(2)及文[3]2.2(5)可知

故

这处伤口在右腰偏下方向，约有15公分，但伤口又被人用红色丝线很整齐地缝了起来，如同趴了一条巨大的蜈蚣。老马说：“这不是医院缝的，但是缝的人显然很细心。”天气仍然是热，但秦明月徒然感到一阵寒意，他越来越感觉到这事非同小可。老马又说：“这个伤口具体是什么原因还有待检验。”

(11)

利用式(10),(11)级数的展开式，可得

令c1(n)=a1(n)/b1(n)，则有

⟺(2n+5)(n+a)(n-a+2)-(2n+1)(n+2)2

=-2(a-1)2n-5(a-1)2+1<0.

也即c1(n)关于n∈严格单调下降.因此，由引理2.2知，F3(r)在(0,1)上也是严格单调下降.易得：

F3(0+)=3(1-a)π/8，F3(1-)=sin(aπ)/2.

定理2的证明

(i) 令g1(r)=π/2-Ea(r)，g2(r)=1-[r′2arthr]/r，则

G1(r)=g1(r)/g2(r)， g1(0)=g2(0)=0.

求导得

其中F3(r)由定理1.(3)定义.故由定理1(3)及引理2.1可知，G1(r)在(0,1)上严格单调下降.由式(3)、引理2.1、定理1(3)易得

显然，不等式(7)成立.

(ii)对G2(r)进行求导得

r′G′2(r)=g3(r)=g4(r)+g5(r)，

其中

g5(r)=(1-2r2)Ka(r)K′a(r).

和

rr′2g5(r)=2(1-a)(1-2r2)g6(r)-4r2r′2Ka(r)K′a(r)，

因此，对g3(r)求导得

其中g7(r)=g6(r)g8(r)，g8(r)=1-2r2.

注(i)当a=1/2时，定理2(1)推广了文[14]定理1.2(1)中关于第二类完全椭圆积分的结论，对广义Hersch-Pfluger偏差函数的精确上界的初等估计有重要意义.

(ii)当a=1/2时，定理2(2)推广了文[13]引理2.1(1)中关于第一类完全椭圆积分的结论，并对广义Ramanujan模方程解的不等式的证明有重要作用.

[1]Abramowitz M,Stegun I A. Handbook of mathematical functions with formulas,graphs and mathematical tables[M] . New York：Dover Publication，1965: 253-294.

[2]王飞，周培桂，马晓艳.Γ-函数的几个性质及应用[J]. 浙江理工大学学报，2014，31(5):576-579.

[3]Qiu S L,Vuorinen M. Handbook of complex analysis:special function in geometric function theory [M].Elsevier B.V North Holland Press：2005:621-659.

[4]Anderson G D,Vamanamurthy M K, Vuorinen M. Conformal invariants, inequalities, and quasiconformal mappings [M].New York：John Wiley & Sons,1997:32-47.

[5]Anderson G D, Qiu S L,Vamanamurthy M K, Vuorinen M. Generalized elliptic integrals and modular equations[J]. Pacific J.Math,2000,192(1): 1-37.

[6]Lawden D F. Elliptic functions and applications[ M].NewYork:Springer-Verlng, 1989:50-64.

[7]Qiu S L, Vuorinen M. Landen inequalities for Hypergeometric function[J].Nagoya Math.J,1999 ,154:31-56.

[8]Qiu S L, Vuorinen M. Duplication inequalities for the ratios of hypergeometric functions[J].Forum Math, 2000,12: 109-133.

[9]马晓艳，裘松良.广义椭圆积分的性质[J].浙江理工大学学报，2007，24(2):200-205.

[10]Qiu S L. Grotzsch ring and Ramanujan's modular equations[J]. ActaMathecatica,Sinica,New Series, 2000, 43(2):283-290.

[11]Ma X Y, Chu Y M, Wang F. Monotonicity and inequalities for the generalized distortion function[J].Acta Mathematica Scientia，2013,33B(6):1759-1766.

[12]Wang G D, Zhang X H, Chu Y M. Inequalities for the generalized elliptic integrals and modular functions [J]. J.Math.Anal.Appl，2007, 331:1275-1283.

[13]Anderson G D, Qiu S L, Vuorinen M. Modular equations and distortion functions[J]. Jounal of Ramanujan, 2009,18:147-169.

[14]Wang M K, Qiu S L, Chu Y M, Jiang Y P. Generalized Hersch-Pfluger distortion function and complete integrals[J].J.Math.Anal.Appl，2012, 385:221-229.

[15]屠国燕.广义椭圆积分与Ramanujan模方程解的性质[D].浙江理工大学硕士学位论文，杭州：浙江理工大学，2010.

Monotonicity and Inequalities for The Generalized Elliptic Integrals

WANGFei1,ZHOUPei-gui2,MAXiao-yan3

(1. Mathematics Teaching and Research Section, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou 310053, China;2. College of Science and Art, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 311121, China;3. School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

Some monotonicity properties of certain combinations of these functions defined in terms of the generalized elliptic integrals and some elementary functions are mainly obtained by monotone L’ Hpital rule, and from which some precise inequalities are obtained. Meanwhile, some known results are generalized for the generalized elliptic integrals, these results will be used to study the generalized Grötzsch ring function, Ramanujan’s modular equations and the solutions of them.

monotonicity; generalized elliptic integrals; precise inequalities; modular equation

2015-12-10;[修改日期] 2016-03-06

国家自然科学基金资助项目(11171307)；浙江省教育厅科研项目基金(Y201328799)；浙江机电职业技术学院科研项目(A027116026)

王飞(1985-),男，硕士，讲师，从事拟共形映射及特殊函数研究.Email:wf509529@163.com.

马晓艳(1979-)，女，硕士，副教授，从事拟共形映射及特殊函数研究.Email:mxy@zstu.edu.cn

O174

C

1672-1454(2016)03-0077-06