论初中数学教学中举反例的两点技巧

王刚

摘要：一个错误概念的解决能催人奋进，一个错误判断的落实能使人豁然开朗，一种错误的推理方法的矫正能使人回味无穷，反例教学犹如黑夜中的星辰，给人以鼓舞和希望，反例教学恰似大海中的航标灯，照亮学生避免触及知识海洋中的暗礁，只要我们教师在教学过程中勤于积累，勇于探索，持之以恒，充分利用反例教学这一锐利武器，必定能让师生共同分享到成功的喜悦，必定能让师生终生受益。

关键词：数学；反例；教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）09-0217-01

1.数学教学中反例的作用与地位

数学学科逻辑性强、思维严谨，学生在学习过程中要具有耐心、严谨的态度。数学要求学生具有一定的发散性思维，能够举一反三，通过一个例子的灵活变动掌握一系列相关的知识点。通过反例能够提高数学课堂的针对性，加深学生对个别知识点的认知。通过反例还能够提高学生的逻辑推理能力，从反方面验证数学原理，提高辩证推理能力。由于我们平时接触的命题大多数是真命题，大多数学生往往坚定信念，一往无前，总是千方百计地希望从正面证得结论成立，这就反映出学生思维品质的缺陷。而反例就是让学生从另一个角度去思考，敢于质疑，把冥想苦思，正面不能解决的问题，以否定的方式巧妙解决。反例教学，能够打破思维格式、弥补思维缺陷和认知结构，对于全面提升思维品质起着它独一无二的作用。又由于反例能够把一个很难说清、容易混淆的问题变得简单明了、浅显易懂，具有极强的说服力。因此它在数学教学中非常容易被学生理解接受，容易引起学生的共鸣。并且学生能把这种数学思想、数学方法潜移默化地运用到其他学科和生活领域当中，对培养学生运用数学知识的意识有着不可估量的作用。

2.反例在数学教学中的功能

2.1反例是使学生加深理解概念的重要工具。数学概念是中学数学教学的重要内容，是思维的细胞。学好数学概念是学好中学数学知识，提高数学思维能力的基础。所以，加强数学概念的学习是中学数学教学的重要任务。事实上，现实中的中学教学的概念教学不尽人意。学生往往对数学概念缺少深刻的理解。就数学教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。教学上需要用不同的策略处理，用不同的理论指导。就数学学习的内容而言，常规训练是否对概念形成有作用，是否有利于理解领会，还需要从内容方面剖析概念形成的过程，要构造自己理解的概念，从而达到学习目的。

在初二学习函数定义时：在某一变化过程中，存在两个变量x，y。当变量x在某一允许变化范围内任取一个值。通过某种对应法则，使得都有唯一的y值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）。其中x叫做自变量，y叫因变量。

表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解。仔细分析下来，很多学生对上述定义中"任取"和"唯一"这两个词语理解不透。于是教师就在此处引用几个反例来说明所谓"任取"和"唯一"所指的具体含义。

2.2反例是否定命题的重要方法。由于反例在否定一个命题时具有特殊的重要意义。因此在教学中充分利用反例的这一特点适当地运用反例，可以收到事半功倍的效果。

例如：要说明"两个无理数的积仍是无理数"的结论成立，只要举出一个相反的例子驳斥它就可以了。如：因为2×=6，而6不是无理数，故这个结论不成立。

2.3反例是数学思维能力培养的重要手段。利用反例，可使学生克服思维定势，有利于培养思维的灵活性。在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式，即定势。思维定势对解决相同类型的问题有积极的作用，而对解决变形的问题则会起到消极作用。思维定势是客观的存在，学生的认识过程是在现有的定势上发生的。举反例就是一种解决问题有效的数学思维方法。利用反例，克服思维定势，抑制产生负迁移，有助于培养思维的灵活性。

3.反例教学的重要作用

3.1培养学生思维的缜密性。数学是一门严谨的学科，解决数学问题的思维过程应是缜密的。教师可以把以往学生易犯的错误设置成反例，有针对性地培养学生思维的缜密性。

判断：对于任意的自然数n，n2-n+11一定是质数。

对于这一题，假如从第一个自然数0开始代入验证，我们发现结论是正确的，以后继续代数，一直到10结论也都是正确的。学生往往还没有代到10就已认为结论是正确的了。因为对于代值验证的问题，我们通常能代入3、5个值验证都已经很不错了。这一题反例的构建需要从式子本生的角度去思考，通过对式子的观察，大部分学生不难得出n=11时，n2-n+11就已经不是质数了。在此，常用的构造反例的特殊值法却行不通了，因此反例构建的过程其实也是学生多角度思考问题的一个过程，注重反例教学的适当的引入不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，从而提高思维的全面性。

3.2培养学生的创新精神。反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。

判断：底面是正三角形，侧面均为等腰三角形的棱锥是正三棱锥。

这个命题看起来，条件比较苛刻，似乎正确性不容怀疑，但是条件"侧面是等腰三角形"并不等同于条件"侧面是全等的等腰三角形"。分析：底面ABC是正三角形，DA垂直于平面ABC，并且DA=AB，这样侧面△ABD，△ACD均是等腰直角三角形，△DBC是等腰三角形，符合题设诸条件。显然此棱锥不是正三棱锥。在上述反例的探索过程中，学生在新的问题情景中，能享受到创造的乐趣，从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，培养学生思维的创新性。

3.3培养学生思维的发散性。

在学完正多边形以后，学生们都知道了正多边形的一些性质，例如：正多边形的所有的边都相等，所有的内角都相等。为了加深对这一性质的理解，教师可以从反面进行巩固。

判断：（1）所有边都相等的多边形一定是正多边形；（2）所有角都相等的多边形一定是正多边形。

（1）和（2）都是错误的，例如菱形和矩形。这两个反例学生都比较容易能想到。但是，除此之外，还有没有其余的反例呢？教师还可以做进一步的提问。显然这时难度就增加了。其实，所有边都相等的多边形都是正多边形的反例有无数多个，例如我们可以先做一个正多边形（不是正三角形），利用这些正多边形具有的不稳定性，它们的内角在变化的过程中就会出现边都保持相等，但是角度却会出现不等的情形。对于所有角都相等的多边形是正多边形的反例，其实也是有无数个。

在这个问题中，后面的反例的列举难度显然增加了，然而学生却可以通过此题更加加深对多边形性质正反两方面的理解，另外列举反例的过程也是学生发散性思维充分发挥和展示的一个过程。

总之，数学反例是数学课堂教学中一个调节器，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。