基于改进迭代FFT算法的均匀线阵交错稀疏布阵方法

李龙军王布宏夏春和



基于改进迭代FFT算法的均匀线阵交错稀疏布阵方法

李龙军①②王布宏*①夏春和②

①(空军工程大学信息与导航学院 西安 710077)②(北京航空航天大学 北京 100191)

基于孔径空分复用的共享孔径交错稀疏布阵是实现机载多功能天线的有效途径。该文提出一种基于改进迭代FFT算法的均匀线阵交错稀疏布阵方法。基于均匀线阵天线激励与方向图的傅里叶变换关系，通过对目标方向图采样的频谱分析，采用交叉选取子阵激励的方法对子阵单元进行稀疏优化布阵，实现了子阵频谱能量的均匀分配，确保了交错稀疏子阵方向图的一致性。在此基础上采用迭代FFT算法对稀疏交错子阵进行联合优化。理论分析与仿真实验表明，相对于基于差集及遗传算法的稀疏交错优化方法，该算法通过较少次数的迭代，可以实现等稀疏率和方向图近似一致的交错稀疏布阵，而且可以获得更低的副瓣电平。

阵列天线；共享孔径；稀疏交错；迭代FFT；副瓣电平

1 引言

基于孔径空分复用的共享孔径天线(shared aperture antennas)设计，能够在有限孔径上通过不同子阵的稀疏交错设计，实现通信、导航、定位和遥感等多项天线功能[1]。与其它形式的多功能天线设计方法相比，基于孔径空分复用的共享孔径交错稀疏布阵在实现多个天线功能的同时，还可以很好地降低阵列设计的复杂度，提高孔径的利用率，为天线设计和实现带来了很多便利：(1)由于子阵单元间最小间距为1/2个波长，因此交错稀疏阵可以有效抑制子阵单元的内部互耦；(2)可以灵活实现子阵工作频率比，通过子孔径频带的叠加可以实现宽带天线；(3)可以避免单元嵌套，每个稀疏分布的子阵孔径均与满阵时的阵列孔径相等或近似相同，大大提高了孔径的利用率；(4)交错后的子阵可以通过等幅相位加权实现子阵的扫描和旁瓣的控制，可以降低馈电网络设计复杂度。

然而，交错稀疏阵列的设计为天线优化设计带来了很多新的挑战，其核心问题是在满足子阵方向图要求的前提下，如何在保证孔径利用率的情况下，实现两个天线方向图性能一致的交错子阵优化设计[2]。为了解决这些问题，文献[3]提出利用循环差集(CDS)和互补差集技术对直线阵列进行稀疏交错布阵，可以得到交错效果较好的子阵。但由于现有的差集较少，且该方法得到的子阵旁瓣峰值相对于智能优化算法较高，子阵方向图的一致性和方向图细节约束得不到保证，这些都极大制约了差集在实际线阵布阵中的应用。文献[4]在利用几乎差集和互补差集对线阵进行交错布阵后，采用遗传算法对交错后的子阵的激励进行优化，减小子阵的旁瓣峰值，这类将差集和遗传算法结合的方法称为差集遗传算法(GA-CDS)。该方法能够获得交错效果比较好的两个子阵，但遗传算法占用的计算资源太大，且采取分步优化的方法比较复杂，激励的改变还会增加阵列馈电网络设计的复杂度。近年来，随着计算机技术的飞速发展，智能优化搜索算法如粒子群算法、萤火虫算法等被广泛应用于阵列天线综合。但这类算法在处理阵元数目较多的阵列时计算效率偏差，容易陷入局部最优，且不能用于对期望方向图进行先验估计。

到目前为止，解析的差集方法虽然通过互补差集有效地解决了子阵交错机制，但其对方向图的控制不灵活，基于遗传算法、粒子群算法等优化算法的阵列设计问题运算复杂，全局收敛性不好，而且没有涉及子阵的交错机制。为了进一步解决交错稀疏阵列设计中存在的子阵优化效果差和计算效率低的问题，本文提出了一种基于改进迭代FFT算法的直线阵列稀疏交错优化布阵方法。该方法利用了均匀线阵阵元激励与方向图存在傅里叶变换的关系的特征，将线阵阵元位置的确定问题转换成阵元激励能量选取的问题，采用交叉选取子阵激励的方法，结合密度加权阵的原理来确定稀疏子阵单元位置，实现了子阵频谱能量的均匀分配，确保了交错稀疏子阵方向图的一致性。与基于差集和智能搜索迭代算法的优化方法相比，该方法在保证阵列稀疏度和方向图一致性的前提下，能够实现更低的峰值旁瓣。相对于传统的智能搜索算法，如遗传算法，该方法收敛速度更快，极大地减小了运算量。

2 全向单元线阵方向图函数分析

一个阵元数为，阵元间距为1/2波长，入射方位角为的均匀线阵，当阵元均为理想的全向性单元时，其方向图可表示为

其中，为阵列天线的阵因子，对式(2)进行1维离散傅里逆叶变换，通常表示为

由式(2)和式(3)可知，阵元的激励与阵因子之间存在傅里叶变换的关系[14]。在阵列天线方向图综合中，如果()共有个采样点(为了保证方向图的精确性，往往要远大于阵元数)，需要进行次相乘和次相加。当阵元数较大时，需要占用大量的计算资源。

可以将式(4)改写为两个/2点的DFT，继续对()进行分解，迭代计算。可以发现，如果采用快速傅里叶变换的方法对线性阵列方向图进行计算，则只需要进行log2次乘法和加法，这极大地减小了阵列优化的运算时间。迭代FFT算法便是利用了阵列单元激励与阵列方向图之间的傅里叶变换的关系，通过对激励频谱能量的分析，采用激励交错选取的方法对线性阵列进行稀疏交错布阵。

3 基于迭代FFT的线阵交错机制分析

对直线阵列的交错稀疏优化，其主要的优化目标是设计两个交错布置的子阵，使单个天线子阵的方向图旁瓣峰值最小，同时要求两个子阵的方向图近似一致。因此，交错稀疏直线阵列的设计不仅要求子阵天线方向图的旁瓣峰值足够小，还要求两个子阵的旁瓣峰值的差值尽量小，这主要是考虑到阵列天线方向图主瓣宽度和旁瓣峰值是功率方向图两个非常重要的性能指标，所以本文选择用主瓣宽度和峰值旁瓣电平的差值来表示子阵天线方向图性能的相似程度。

如果将阵列天线方向图作为时域信号进行分析，则阵列单元的激励振幅就是其对应的频谱。以旁瓣约束值为-45 dB, 如图1(a)所示，阵元数为63的直线阵列天线为例，设其稀疏率为32/63，其激励为序列。

对做=4096个点的逆FFT变换，则可得到阵列天线的阵因子：

使AF的值都满足旁瓣约束的条件下，生成新的方向图。对做4096点的FFT，可得新的阵列激励值向量f，如图1(b)所示。从图中可知，方向图的频谱能量主要集中在激励幅值的前段，因此只需截取频谱的前段便能获取整个阵列的频谱能量信息，并以此做傅里叶逆变换还原出与原信号逼近的时域信号。可以根据阵元个数来截取相同采样点的阵元激励，以此激励作FFT逆变换还原出来的方向图能够逼近期望方向图，令

前63个点的激励a值的分布如图2(a)所示。观察图2(a)可知，方向图的频谱能量不仅主要集中在前半段，而且是对称分布的。为实现阵元的交错分布，对阵元激励归一化并进行由大到小的排序，其matlab程序如式(8)所示。排序后的63激励分布如图2(b)所示。

采取奇偶位置交错的方式选取采样点的激励值，选取后子阵1的激励1和子阵2的激励2分布如图3(a)所示。

从图3(a)中可知，以交错方式选取的子阵激励值1,2存在以下关系：

根据傅里叶变换的线性性质，同时对式(10)左右两边做离散傅里叶逆变换，可得

△的值的分布如图3(b)所示，从图3(b)中可知△的均值接近于0值。

对△做逆FFT变换，得到的频谱图如图4(a)所示，从图4(a)中可知，△的频谱关于零轴对称，其和值近似为零。

对1和2做快速傅里叶逆变换并对其做归一化，可得子阵1归一化方向图1和子阵2归一化方向图2的值，1和2的值分布如图4(b)所示。

图1 约束后的方向图及其采样点激励

图2 前63个点的激励幅值图

图4 I, I1, I2相应的逆FFT值的分布

从图4(b)中可知，1,2通过FFT逆变换得到的方向图的旁瓣峰值也是相等的。这是因为采用大小间隔采样的方式选取子阵的激励不仅能使子阵1和子阵2均分阵列方向图的频谱能量，让子阵1和子阵2的方向图近似一致。因此，可以通过改变阵元激励的选取方式，可以使子阵1和子阵2的方向图峰值近似相等。

在密度加权阵中，稀疏线阵的密度加权逼近均匀线阵的幅度加权，即线阵栅格点上阵元存在的概率取决于线阵栅格点上的激励权值分布，权值幅度大的栅格点上阵元存在的概率就大。现有研究表明，通过循环迭代FFT，可以使线阵的频谱能量越来越集中在频谱的前段，使得利用前段频谱还原线阵天线方向图的精确度越来越高[15]。根据以上理论可知，在子阵1和子阵2均分线阵频谱能量的基础上，可以通过迭代循环利用FFT算法使子阵1和子阵2的方向图拟合效果更好，同时子阵方向图旁瓣峰值能够更加逼近旁瓣约束值，达到降低子阵旁瓣的目的，最终实现直线阵列天线的稀疏交错布阵。

4 改进型迭代FFT算法流程

迭代FFT算法是指对阵元数为的直线阵列阵元激励作点的快速傅里叶逆变换(IFFT)，得到值，令旁瓣区域中大于约束旁瓣值的点上的值等于约束旁瓣，校正完成后，对新的进行点的FFT变换，获得个激励振幅。截取中的前个值作为满阵激励，并对其进行由大到小排序，形成新的序列。若阵元个数为偶数时，选取序列(A(1),A(3),…,A(-1))对应序列所在的位置作为稀疏子阵1的位置，(A(2),A(4),…,A())对应序列所在的位置作为子阵2的阵元位置(当为奇数时选取序列(A(1),A(3),…,A())对应序列所在的位置作为子阵1的位置，(A(2),A(4),…,A(-1))对应序列所在的位置作为子阵2的阵元位置)。将子阵1阵元位置上的激励置为1，子阵2阵元位置上的激励置为0。以子阵1方向图的旁瓣值作为目标函数进行下一次的迭代。

通过样本参数选取方式的改变，能够使子阵1和子阵2的频谱能量近似相等，这样就可以在保证子阵1方向图的旁瓣值逼近约束旁瓣值的同时，子阵2拥有与其近似一致的方向图特性。实现子阵1和子阵2的联合稀疏交错优化布阵。算法的主要步骤如下：

(1)按稀疏率=0.5随机稀疏阵元数为的直线阵列，设置阵列的激励值为1；

(2) 对做点的逆快速傅里叶变化，得到；

(3) 对旁瓣区域的值进行判定，令幅值大于约束旁瓣值的点上的值为约束旁瓣值，其它点上的值保持不变；

(4) 对校正后的进行点的FFT变换，得到新的激励值；

(5) 截取中的前个值，对其进行由大到小排列，生成向量。以(A(1),A(3),…,A(-1))位置处的激励对应在上的位置作为稀疏后的阵元所在的位置，对其进行归一化，完成阵列的稀疏优化布阵；

(6) 判断新生成的子阵天线方向图与迭代前子阵天线方向图函数值相比是否有变化(或迭代前后子阵天线单元位置是否有变化)，如果有，则重复步骤4~步骤6；否则，跳转到下一步；

(7) 判断程序是否达到了迭代循环总次数，如果是，则输出优化结果；否则，重复步骤1~步骤7。

这里需要注意的是，阵因子的激励分布与设置的约束旁瓣值有很大的关系，设置一个合适的旁瓣约束，可以使激励更集中于采样点的前段，使迭代FFT算法达到更加理想的优化效果。

5 仿真实验与分析

为了验证本文算法，利用改进的迭代FFT算法对阵元数为63的线阵进行稀疏交错优化，并与差集及基于差集的遗传算法的优化效果进行比较。仿真参数为：阵元均为理想的全向性单元，单元数为63，稀疏率为32/63，FFT和逆FFT变换运算点数为4096。

5.1 差集遗传算法对线阵的稀疏交错

本文所有仿真均是在Matlab R2012b中完成。首先以差集D(63, 32, 16)及其对应的互补差集对阵元数为63的均匀线阵进行稀疏交错布阵，其阵列结构如图5所示，与其对应的方向图如图6所示。图5中的“1”表示保留下来的阵元，“0”表示稀疏掉的阵元，可以看出两个子阵是交错分布在同一孔径上面，两子阵的孔径利用率分别为92%和98%，子阵1与子阵2的阵元最小间距为。从图6中可知，利用差集和互补差集对阵列进行稀疏交错，子阵1的旁瓣峰值为-12.66 dB，子阵2的旁瓣峰值为-10.45 dB。证明差集虽然能在一定程度上减小子阵的旁瓣峰值，使两个子阵的方向图变化趋势基本一致，但很难同时保证两个子阵的旁瓣峰值达到最优。

图5 以D(63,32,16)稀疏交错线阵的阵列结构

以差集和互补差集对线阵稀疏交错以后，采用遗传算法(GA)对阵元的激励进行优化，以期使子阵1和子阵2能有更好的稀疏交错优化效果。采用的遗传算法的初始子群数为100，迭代200次，得到的仿真图如图7所示。

从图7中可知，利用遗传算法对以图5分布方式布阵的阵列的阵元激励进行优化，子阵1方向图的旁瓣峰值由-12.66 dB变为-14.0 4dB；子阵2方向图旁瓣峰值由-10.45 dB减小到-12.88 dB。子阵1与子阵2 方向图的旁瓣峰值之差为1.16 dB，且方向图特性基本一致。这就说明利用差集遗传算法对均匀线阵进行稀疏交错能够取得很好的结果，但通过这种先确定阵元位置，再优化阵元激励的优化方法不仅增加了优化运算时间，还增加了馈电网络的复杂度。而且现有的差集较少，遗传算法在优化阵元数目较大的阵列时存在运算时间长，容易陷入局部最优的缺陷，这些都严重制约了该方法的适用性。从图7(c)中可知，子阵1的锥比度(Current Taper Ratios, CTR)，即阵元激励最大值与最小值的比值max/min(CTR是阵列设计中必须考虑的一个参数， CTR过大会导致阵列馈电网络设计复杂度的增加)为13.89，子阵2的CTR为5.91。在实际阵列设计时，为了简化阵列馈电网络的设计，应该使CTR越小越好，当CTR为1时，阵列馈电网络的设计最为简单。

5.2 改进型迭代FFT算法对线阵的稀疏交错

鉴于以上方法存在的各种问题，本文采用了改进型的迭代FFT算法对直线阵列进行稀疏交错，约束旁瓣值分别设计为-20 dB和-25 dB，由于不等间距即稀疏阵的副瓣电平主要取决于单元数量及阵元位置，与波长，波束方向关系不大[16]，不失一般性，本文假设主瓣波束指向0°方向。优化后的阵列结构如图8所示，“1”表示有阵元位置，“0”表示稀疏掉的阵元，其对应的方向图如图9所示。

由图9可知，采用迭代FFT算法对线阵进行稀疏交错优化布阵，不仅能使子阵1和子阵2的旁瓣峰值近似相等，而且能够使得阵列方向图在各个细节上趋于一致，达到方向图拟合的效果。由图9(a)可知，当旁瓣约束值为-20 dB时，子阵1的旁瓣峰值为-12.76 dB，子阵2的旁瓣峰值为-12.98 dB，两子阵方向图旁瓣峰值之差为0.22 dB；图9(b)为基于3种不同方法的交错稀疏子阵天线方向图，从图中可知，当旁瓣约束值为-25 dB，子阵1的旁瓣峰值为-15.95 dB，子阵2的旁瓣峰值为-14.98 dB， 方向图峰值旁瓣差值为1.07 dB，相对于差集及GA-CDS方法，基于改进型迭代FFT算法优化得到的交错子阵天线方向图拟合效果更好，旁瓣峰值更低。

图7 利用遗传算法优化后稀疏交错线阵的特性

图8 稀疏交错后阵列的结构图

图9稀疏交错线阵的天线方向图

5.2.1 激励权值对基于IFFT交错子阵方向图的影响

需要特别说明的是，阵列天线设计在工程应用中是一个需要系统解决的优化问题，而本文主要是研究阵元位置对天线方向图的影响，对阵列天线单元位置进行优化，通过优化单元位置来降低子阵天线方向图旁瓣峰值，实现阵列天线稀疏优化布阵。虽然利用本文方法稀疏交错优化后的阵列天线旁瓣峰值相对于工程应用要求来说较高，但阵列天线单元位置优化是阵列天线其他优化研究工作的基础和前提(包括阵元激励优化，阵元扰动，互耦和通道不一致误差的估计与消除[17])。若本文不对单元激励进行置1处理，而是考虑激励与阵元位置对天线单元方向图的联合影响时，其旁瓣值能得到进一步的降低。

5.2.2 改进型迭代FFT算法旁瓣约束值的讨论 旁瓣约束值的选取直接影响了阵列采样点激励在前段的集中程度，其目的主要是为了降低子阵天线旁瓣峰值，当阵列天线为等间隔分布的满阵且阵列单元激励不置1时，天线的旁瓣值能够满足约束要求，但由于稀疏子阵只选取了阵列天线的部分激励点，因此稀疏后的子阵天线方向图(部分激励点做傅里叶变换获得的值)旁瓣峰值是无法满足约束要求的，选取一个合理的旁瓣约束值能够使目标方向图对应的激励点值集中分布在激励的前段部分，使得在只选取激励前段部分点值做傅里叶逆变换得到的方向图旁瓣峰值更好地接近约束旁瓣值，达到降低子阵天线方向图旁瓣值与约束旁瓣值之间的差值的目的，因此旁瓣约束值并不是越大越好或者越小越好，前期通过大量的仿真实验结果得出，在选取约束旁瓣峰值的时候一般选小于同等阵元数均匀阵列旁瓣峰值10~15 dB的值优化效果最好。

为了详细对比基于差集，差集遗传算法及迭代FFT算法对直线阵列稀疏交错优化效果，表1列出了基于3种不同方法得到的稀疏交错阵列的方向图性能参数对比。从表中可以看出，在3种稀疏交错线阵的优化方法中，基于IFFT算法优化的交错子阵方向图的旁瓣峰值最小。当只考虑阵元位置对天线方向图的影响时(即ICTR为1)，相对于基于CDS的交错阵列天线，基于IFFT算法的交错阵列天线子阵1天线方向图旁瓣峰值相应减小了2.32 dB，子阵2天线方向图旁瓣峰值相应减小了5.5 dB。

表1 不同优化方法的仿真结果对比

6 结束语

本文基于均匀线阵激励与方向图的傅里叶变换关系，通过对目标方向图采样频谱的分析，采用交叉选取子阵激励的方法对直线阵列天线进行稀疏交错优化布阵，获得了均匀线阵有效的稀疏交错机制。基于迭代FFT算法和该稀疏交错机制实现了均匀线阵的稀疏交错布阵。仿真实验表明，相对于差集及差集遗传算法的优化方法，该方法在较少运算量的条件下，保证了交错子阵方向图的近似一致，而且可以获得更低的峰值旁瓣。此外，可以将该方法拓展成2维FFT后实现对平面阵列的交错稀疏优化布阵。

阵列天线设计在工程应用研究中是一个需要系统解决的研究难题，它主要包括阵列天线单元位置的优化，阵元激励的优化，阵列互耦建模与消除，阵元扰动与通道不一致校正等问题，其中，阵列天线单元位置的优化是后续研究工作的前提和基础。本文主要是在忽视阵元间互耦和通道不一致的情况下对阵列天线进行稀疏交错优化布阵，稀疏交错布阵虽然可以在一定程度上缓解单元间的耦合效应，但由于多重耦合和载体散射效应的存在，子阵内和子阵间单元互耦仍将会对阵列天线方向图产生较大的影响。后续工作将进一步研究互耦、阵元扰动以及通道不一致对交错子阵天线方向图的影响，并对其产生的影响进行消除。

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李龙军： 男，1988年生，博士生，研究方向为阵列天线布阵和阵列信号处理.

王布宏： 男，1975年生，教授，博士，主要研究方向为信号与信息处理、天线布阵和网络防护.

夏春和： 男，1965年生，教授，博士，主要研究方向为网络安全与防护、网络测量等.

Internear Arrays Based on Modified Iterative FFT Technique

LI Longjun①②WANG Buhong①XIA Chunhe②

①(School of Information and Navigation, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)②(BeiHang University, Beijing 100191,China)

Interleaved thinned arrays sharing aperture based on the aperture ratio of reuse is an effective way to realize airbornA new method to interleave thinned linear arrays is proposed in this paper based on the modified Iterative Fast Fourier Transform (IFFT) algorithm. The sub-arrays spectrum energy distributed is achieved evenly by making the Fourier transform to linear array antennas’ excitation, analyzing the frequency spectrum and selecting the incentive crossly to ensure the positions of the thinned sub-array antennas. On this basis, the iterative FFT algorithm is adopted to thin the linear array. The simulations show that compare with the difference sets and the genetic algorithm, this technique can ensure the first subarray under the condition of thinned optimization, at the same time, the Peak Sidelobe Level (PSL) of the second subarray is similar to the first sub-array. It means that the new method is effective to restrain the side lobe levels and useful to interleaved array optimization.

Array antenna; Shared aperture; Thinned interleaved; Iterative FFT; Sidelobe level

The National Natural Science Foundation of China (61172148)

TN820

A

1009-5896(2016)04-0970-08

10.11999/JEIT150749

2015-06-24；改回日期：2015-11-27；网络出版：2016-01-14

王布宏 wbhyl@aliyun.com

国家自然科学基金项目(61172148)