求解索末菲尔德积分的广义函数束方法

赵燕

（新乡医学院 生物医学工程学院，河南 新乡453003）

求解索末菲尔德积分的广义函数束方法

赵燕

（新乡医学院 生物医学工程学院，河南 新乡453003）

应用广义函数束方法求解了索末菲尔德积分。通过被积函数分式部分的指数拟合和索末菲尔德恒等式将无穷积分转化为闭合级数形式，避免了贝塞尔函数值计算和数值积分中繁琐的运算，提高了数值计算的效率和精度。

广义函数束方法；索末菲尔德积分；指数拟合

目标识别是图像处理、模式识别和计算机视觉领域的研究热点，已广泛应用于国民经济、空间技术和国防等领域。在目标识别中，需要从目标的瞬态响应中提取目标的各种特征［1-3］。在实际操作中，要先精确提取含有衰减因子和谐振频率信息的目标极点，然后通过求解一个线性最小二乘问题可以得到极点所对应的留数［3］。普朗尼法是提取极点分布的一种常用算法［1–3］，这一方法衍生出最小二乘普朗尼法、总体最小二乘普朗尼法和奇异值分解普朗尼法。利用这些算法求极点分布的过程分为两步：第一步是求解一个矩阵方程，第二步是通过寻找一个多项式的根求得极点分布。

近年来，在函数束方法［4］基础上发展起来的广义函数束法已成为一种比较流行的算法。与上面提到的几种方法相比，该方法具有高鲁棒性和高抗噪性，其优点是通过求解一个广义特征值问题就可得到极点分布。

索末菲尔德积分的概念自提出以来，一直受到广大数学研究人员的关注。研究人员一直致力于导出它的各种近似公式，近年来，他们更关心如何通过计算机求菲尔德积分问题的解。由于被积函数的奇异性和高震荡性，如果采用传统的变步长修正辛普生法或龙伯格法，不仅积分的计算费时，而且计算结果也经常出现不收敛或达不到精度等现象。如果计算多点积分，这些方法要求的计算量更大，其后果是计算时间更长，计算效率更低。

在本文中，笔者通过广义函数束方法对被积函数的分式部分进行指数拟合，并利用索末菲尔德恒等式将无穷积分转化为闭合级数形式，避免了贝塞尔函数值计算和数值积分中繁琐的运算，提高了计算效率和计算精度。

1　广义函数束方法

瞬态电磁信号为

其中，bi是复留数，si是复极点，δk是抽样间隔。

定义矩阵Y1和Y2为

为了分析这两个矩阵的底层构造，把它们改写成

其中，

从矩阵Y1和Y2的分解结果可以看出：如果M≤ L≤N−M，矩阵束Y1的广义特征值［6］就是待求极点，即为矩阵的秩，当L=M时，该方法将与函数束方法等同。对于广义函数束方法，更需关注的是M

为了给出计算矩阵束广义特征值的方法，记

其中，上标+和-1分别表示矩阵的伪逆和逆。

2　索末菲尔德积分的数值计算

一般的索末菲尔德积分式为

取n=0时，由索末菲尔德恒等式

拟合，即

式（13）就有闭式表达式

3　模拟结果

笔者利用自己设计的计算机程序对广义函数束方法进行了模拟。图1是时，I0的计算结果。从图1可以看出，广义函数束方法与变步长辛普生法的计算结果相当吻合，计算所需要的时间更短。同样计算60个点，广义函数束方法耗时4.012 s，变步长辛普生法耗时620.128 s。

图1　广义函数束方法和变步长辛普生法的计算结果

［1］VAN BLARICUM M，MITTRA R.A Technique for Extracting the Poles and Residues of System Directly from Its Transient Response［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1975，23（6）：777-781.

［2］POGGIO A J，BLARICUM M L，MILLER E K，et al. Evaluation of a Processing Technique for Transient Data［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1978，26（1）：165-173.

［3］VAN BLARICUM M，MITTRA R.Problems and Solutions Assocsiated with Prony's Method for Processing Transient Data［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1978，26（1）：174-182.

［4］HUA Y B.On Techniques for Estimating Parameters of Exponentially Damped/Undamped Sinusoids in Noise［D］. New York：Syracuse University，1988.

［5］JAIN V K，SARKAR T K，WEINER D D.Rational Modeling by Pencil-of-function Method［J］.IEEE Transactions on ASSP，1983，31（3）：564-573.

［6］ ROY R，KAILATH T.ESPRIT-estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques［J］.IEEE Transactions on Acoust，1989，7：984-995.

【责任编辑王云鹏】

Generalized Pencil-of-function Method for Solving Sommerfeld Integral

ZHAO Yan
（School of Biomedical Engineering，Xinxiang Medical University，Xinxiang 453003，China）

Generalized pencil-of-function method was applied to calculate Smmmerfeld integral in this paper.Infinite integral could be changed into a closed form of accumulation by exponential fit of the integrand fraction and Sommerfeld identical equation so as to avoid tedious computation of Bessel function evaluation and numerical integration.The computational efficiency and accuracy were greatly improved.

generalized pencil-of-function method；Sommerfeld integral；exponential fit

O177.2

A

2095-7726（2016）09-0008-03

2016-03-25

赵燕（1980-），女，河南濮阳人，讲师，硕士，研究方向：计算数学。