浅析高中数学解题方法的应用

齐劲松

[摘 要]随着我国的不断深入，数学作为高中课程中重要性也越来越突出。从历年的高考题来看，数学填空题已逐渐成为高中数学的基本题型之一。考生在平时的学习中应将数学知识与自身解题能力相结合，在这个过程中就需要考生具备更加完整的知识系统，同时具备构架知识体系运用知识体系的能力。本文着重介绍数学思想的应用与掌握来探析数学解题的策略。以下的实例中涉及到的解题方法大致有数学归纳法、函数与方程法、分类讨论法、参数法、待定系数法和配方法等。希望能够对学生的解题技巧与数学能力的培养有一定的启发意义。

[关键词]教育体制；高中数学；知识体系

随着我国教育体制改革的不断深入，数学作为高中课程中重要组成部分越来越受到重视。从历年来的高考题来看，数学更注重对数学思想与技巧的考察，这在填空题中特别明显。著名的数学家华罗庚曾说过这样一句话，对于数学的掌握就是要学会解题。我们在对数学题目的解答过程中常常会被固定思维所限制，总想着用比较熟悉的题型来解答。而对题目中所蕴含的数学方法和思想无法得到比较深透的理解和运用。如果说知识是数学学习的基础的话，那方法就是手段，而思想就是深化。学生对于数学思想方法的认识与运用是提高学生数学素质的核心。

一、换元法

用某个变量来替换数学中的某个式子，从而简化问题的方法就叫做换元法。换元法的实质就是转化，等量的代换是其理论依据，设置元与构造元则是其关键。换元法的最终目的是将新的研究对象转移到另一个只是环境中进行研究和讨论，从而简化问题，使问题得到有效的处理。

例1，已知实数a，b满足，则的取值范围是 。

分析：如果本题采用配方法或者是直接求解的话，题目的难度就会比较大，所以我们运用换元法求解。

解：且设，则有Δ=4k2-4≥0所以k≥1或k≤-1.本题的难度就大大简化了。

灵活运用换元法是数学素质培养的一个重要方面。换元的主要方法有：三角换元、局部换元、均值换元等。引进新变量并把题目中的隐含条件显现出来，从而让条件与结论能够有效的联系，就是换元法的意义所在。换元法具体的内容有变无理式为有理式、化高次为低次、化分式为整式等。同时换元法在方程、函数、数列、三角等问题中都有着比较广泛的应用。

二、配方法

运用配方法找到未知和已知之间的联系，是一种对数学相关式子进行定向变形的技巧，熟练并合理的运用配与凑、添项与裂项的技巧，完成对式子的配方从而将数学问题简易化。在二次函数、二次方程、二次代数式和二次方程中经常出现配方法的运用，恒等变形就是其中较为常见的方法之一。完全平方式是最为基本的配方依据，灵活运用此公式可以延伸出多种配方形式例如。

相应的结合其他的数学性质与知识背景可以衍生出一些其他的配方形式，例如x2+1x2=（x+1x）2-2=（x-1x）2+2 ……1+sin2α=1+2sinαcosα=（sinα+cosα）2；

例2，现有一长方体十二条棱长综合为24.且长方体的全面积为11，则长方体的对角线长度为 。

分析已知条件可知，设置长方体的长宽高分别为x、y、z，则有2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24，而长方体的对角线长度公式为x2+y2+z2，根据已知条件可以得出，2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24，我们可以用配凑法将题中已知条件进行转化，得到x2+y2+z2=（x+y+z）2-2（xy+yz+xz）=62-11=5.将题目中的两个已知的条件转化为某个未知的数学表达式是本题的关键所在。通过分析和观察可以比较容易的找到三个数学式子之间的联系，这就通过配方法将已知和未知进行了联系，这也是在配方法方面比较常用的一种模式。

三、数学归纳法

作为递推论证的一种常见方式，数学归纳法在数学学习中占有着比较重要的地位。它是用来论证自然数相关的一些数学命题的重要方法。递推论证的主要模式是，首先证明命题在n=1（或n0）时成立，接着我们就可以假设在n=k的条件下命题也是成立的，然后进一步证明当n=k+1的条件下，命题也是成立的。它是从无限与有限之间进行衔接的一种重要手段，这每一步都是非常有必要的，通过这两个论证可以进一步推到对于所有的自然数命题都是成立的。

例3，已知34n+2+52n+1（n∈N）能被14整除，当n=k+1时对于式子34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为 。

解 （34k+2+52k+1）34+52k+1（52-34），该例题主要考察对数学归纳法的直接应用，无解析。

数学归纳法的关键在于n=k+1时命题成立的推证。作为这一步的证明比较关键的是要具有一定的目标意识，通过对目标与最终目的进行分析找出其中的联系。这也是确定和控制解题的方向的关键。例题是对数学归纳法的直接应用，数学归纳法同时还涉及到对几何问题、代数不等式、三角不等式、整除性问题等。

四、待定系数法

待定系数法是根据题中所列出的已知条件来确定某些未知系数，通过确定变量间的函数关系来实现的。多项式f（x）≡g（x）的必要条件是相对于任意一个a值都存在f（a）≡g（a），待定系数法的有一个比较重要的理论基础就是多项恒等式，解答待定系数法题目的基本思路是，首先找出含有待定系数法的解析式问题，其次是在恒等条件下作出一组含有待定系数的方程式，最后是运用消去待定系数的方法或者解方程组的方式来解答问题。 例4，对式子（1-x3）（1+x）10进行展开，则x5的系数是 。

对该例题进行分析：系数C510与（-1）C210组成x5，相加后的x5的系数解 x5的系数为C510+（-1）C210=207。

五、参数法

适当的引入与研究目标相联系的参数，并以参数为中间桥梁来对问题进行综合分析从而进一步简化解题过程就叫做参数法。参数法的典型实例就是换元法，同时常用的问题中是参数方程与参数法解题。

例5，已知实数a、b、c满足a+b+c=1，则a2+b2+c2的最小值是。

分析 由a+b+c=1想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，代入a2+b2+c2可求。

解由a+b+c=1，设a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，其中t1+t2+t3=0。

a2+b2+c2=（13+t1）2+（13+t2）2+（13+t3）2=13+23（t1+t2+t3）+t21+t22+t23=13+t21+t22+t23≥13，

所以a2+b2+c2的最小值是13.本题的关键是利用均值换元的方式引入参数，将原本负责的代数式问题简化，从而高效的解答本题。

六、定义法

在数学学习中常见的基础知识都比较少，基本上都是一些公式、定理与性质等，利用这些基本的定义来解题就是定义法。通过对定义内涵的深刻理解利用公式所蕴含的逻辑方法，在一些题目的解答中能得到事半功倍的效果。

例6，现椭圆上有一点p满足如下条件，x225+y29=1，且该点到右准线的距离是2.5，则该点到左焦距的距离是多少

分析本题的解答可以从椭圆的第二定义着手，即平面上到定点距离和到定直线距离之比是常数点的集合。

解利用椭圆的第二定义得到|PF左|52=e=45即PF左=2，PF右=2a-PF左=10-2=8.

熟练运用定义法解题是学生基本数学素质的体现。

参考文献：

[1]周彩凤.高中数学导数解题典型性应用[J].中学数学教学参考，2015.15：58 .

[2]崔迎新.导数在高中数学解题中的应用[J].新课程学习（上），2013.03：50-51.