关于“数学应用意识”的若干思考

孙朝仁��+��

【摘要】学习数学的最高境界在于运用.作为数学核心素养的应用意识，体现在让学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界这3个方面.数学实验作为一种以“做”为支架的学习活动，是培养数学应用意识的最为有效的载体，可以促进应用意识递进发展.从实践论、认识论、方法论的视角，基于应用意识的发展可以将数学实验划分为9种基本课型，并给出在课堂教学中的基本路径.

【关键词】应用意识；数学实验；若干思考

自“应用意识”作为《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《课程标准》）的十大核心词之一被提出以来，培养应用意识越来越受到广大数学教育工作者的重视.有文献指出，“在现实情景中教数学，通过应用问题来引入数学概念，是有好处的”[1].“应该使大部分学生都不同程度地学习如何在实际生活中应用数学”[2].美国杜克大学跨课程计划即CCP计划，其主要目的就是要把数学与现实世界联系起来.所有这些都反映了数学教育目标在新时期的转型，即由“算数学”“想数学”“做数学”到“用数学”意识形态的转变.

数学实验作为提升数学素养的有效方式和路径，本身具有素养结构形态三个特征：一是认识论领域的应用意识形态特征；二是实践论领域的应用行为形态特征；三是方法论领域的应用观念形态特征.为落实数学实验提升数学素养的目标，研究数学实验对应用意识发展的基本认识、本质特征以及内部关系至关重要.为此，江苏省“初中数学实验的理论与实践研究”课题组进行了专题研讨，基于数学实验的视角进一步深化了对数学应用意识的认识.1为什么说数学应用意识是数学的核心素养之一

《课程标准》指出，“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.”应用意识发展的最好方式和路径是数学实验，它也是培养创新意识的前提；而创新意识是应用意识支配作用的结果，二者相互依存并关联.就数学教育的未来意义而言，创新意识是数学实验的外显目标，提高素养是数学教育的内隐目标，最终是通过“用数学”的活动行为激活内部动机的，是数学素养释放内力的表现形式.因此，基于数学实验视角来深化对应用意识的认识尤为必要也十分重要.

按照《课程标准》的表述来说，应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，数学实验就是培养应用意识一种很好的方式.因此，数学实验课程实施的主要任务就是渗透素养型应用意识.笔者认为，从认识论视角看应用意识有两层意思：一是思想领域“应”的意识形态的支配状态；二是动作领域“用”的能动行为的支配作用.前者是思想统领，后者是实践跟进，二者互相转化和运行，终归于应用意识支配下的数学素养水平的渐次提高.所以，我们认为，基于数学实验视角的“应用意识”，就是形成用数学实验的方式还原抽象数学问题本质的习惯.同时，善于从数学实验现象中揭示数学问题本质特征，终归于认识世界能力的提高和发展.

《课程标准》还明确提出，“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.”这里的“基本素养”至少包含三层递进含义：一是能用数学的眼光观察现实世界、审视生活；二是能用数学的思维分析现实世界，在数学与生活的不断联系过程中自觉锻炼思维力、应用力和行事观；三是能用数学的语言表达现实世界，在生活中养成积累数学活动经验的习惯[1].就课程教育论的层面来说，这种素养层次观和数学教育专家史宁中、顾沛等人关于数学核心素养的说法是一致的.他们把抽象、推理、数学建模、几何直观、运算、统计作为数学的核心素养.就思维形态学来说，抽象概括可归结为第1层次，几何直观、运算与推理可归结为第2层次，数学建模和统计可归结为第3层次.事实上，无论哪种思维形态的运行都离不开应用意识的支配作用，否则，所有的思维哲学将演变成人生玄学.诚然，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所必需的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维力和创新力方面的作用.而个体在后天的教育中获得的知识技能，既是应用意识支配的产物又能反哺应用意识，思维力和创新力的发生、发展和提高更是应用意识发挥作用的外在表现.因此，应用意识无论从认识论，还是从实践论、方法论来认识，均符合数学核心素养的基本标准.2数学应用意识由低到高有几个层次？各层次的基本要求有哪些

近期，教育部从社会参与、自主发展和文化修养等维度提出了一个学生的核心素养标准.社会参与行为从属于社会学范畴，该行为发生是生活观层面应用意识支配的外在表现；自主发展行为从属于实践论范畴，该行为运行是以“现实经验”的重组和改造为突出特征，是数学应用意识在实践层面发挥作用的表现；文化修养行为从属于审美学范畴，该行为施加教育作用的表现是应用意识在德化、立美、造美层面的价值力量.遵循数学素养维度划分逻辑和公共应用意识水平标准，课题研究组认为，数学应用意识由低到高可划分为对应的3个层次，即实践型应用意识观、规划型应用意识观和审美型应用意识观.

《课程标准》就应用意识的培养任务来说，在学段目标中给予层次性阐释和呈现.第一学段（1—3年级）：经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容.该学段目标反映实践应用意识特征，是微观形态的学以致用.第二学段（4—6年级）：通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验.该学段目标反映规划应用意识特征，是中观形态的学以致用.第三学段（7—9年级）：通过对有关问题的探讨，了解所学过的知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力.该学段目标反映高级形态应用意识特征，是宏观形态的学以致用.比如，就“搭三角形”实验来说，实践型应用仅要求学生能搭出三角形即可，即在搭的过程中感受三角形的外在要求；规划型应用则要求学生在搭的过程有追问反思，“为什么有的能搭？有的不能搭？三条线段满足怎样的数量关系才一定能搭？”审美型应用还要求学生在塔的体验中明白“三角形三边制约关系”的来龙去脉以及设计延伸实验方案的造美行动.显然，这里“搭三角形”行为是应用意识支配作用的低级形态，“关联不确定三角形”动作是应用意识支配作用的中级形态（元认知监控），“编制深层次搭三角形方案”是应用意识造美的集中表现.3个应用意识层次随学段的升高，其操作力、思维力、逻辑力水平不断上升，反映应用意识的“由外而内——由内而外——内外一致”的动态特征，揭示数学实验在形成数学素养方面的应用意义.

另外，《课程标准》在实施建议中明确指出，“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动是数学教学的重要目标.”事实上，积累活动经验的过程就是“悟数学”的过程，而提高数学素养的过程就是“用数学”的过程.这种“二分法”应用意识观在辩证学领域与章建跃教授的“限制课堂容量，延长知识获得过程，给学生悟的时间”[2]是一致的，反映应用意识的递进式支配形态.3数学实验是如何促进应用意识发展的数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动.数学实验的出发点“做数学”本身就是应用意识支配作用的结果，做的过程就是应用意识发展的过程；数学实验的生长点“思维参与”是应用意识的具体表现，参与思维的过程就是应用意识水平得以提高的过程；数学实验的物质外壳“手脑并用”是应用意识的物质基础，手脑协同并用的过程就是应用意识倾向数学化的过程；数学实验的技术手段“操作与观察”、“实验与猜想”是应用意识由感性到理性的上升过程，由操作到观察、实验到猜想是应用意识自觉序列化的外在表现.而建构和发展认知结构的过程目标就是应用意识得以发展的结果性表现.

纵观数学实验对应用意识的正迁移作用，不难发现数学实验作为培养应用意识的有效路径，关键是让学生经历完整的发现和提出问题、分析和解决问题的数学学习过程.而“四能”得以具体落实的过程正是应用意识水平渐次抬升的过程.笔者认为，应用意识在数学实验领域包括3种水平形态，即低级形态（做数学）、中级形态（用数学）和高级形态（思数学），实验的过程就是“做”“用”“思”联结复合的过程，是应用意识形态梯级变迁和发展的过程.比如，感受“垂线的唯一性”的实验，如果仅让学生通过画和折的方式感受“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质，这属于低级形态的用数学；如果在折与画的过程中再伴随有语言表征的行为，这便属于中级形态的用数学；而如果在实验中既有行为动作和多元表征，又有验证和论证行为发生，这就是高级形态的用数学.4数学应用意识是如何渗透在数学实验之中的？其基本路径有哪些

就微观教学论来说，数学应用意识属于实践论范畴.据此，可将数学实验划分为概念课、程序课和审美课3种课型.概念课是通过寻找“前概念”背景将应用意识隐藏在具体知识的背后；程序课是通过操作不变性活动将应用意识渗透在“用数学”的过程中；审美课是借助塑造美和展示美的活动将应用意识滴灌在学习心理活动的动作中.现有《数学实验手册》中的“平面图形的密铺”、“折三角形的三线”属于新概念课，“探索多边形的内角和与外角和”属于程序课，而“制作微型动画片”、“七巧板拼图”属于审美课.就中观课程论来说，数学应用意识属于认识论范畴.据此，又可将数学实验划分为数据课、算理课和存在课3种课型.数据课主要是通过定量分析将应用意识渗透在收集整理数据的行为中；算理课主要是通过几何直观将抽象的算理直白的显化出来，是在“做”和“思”的思维过程中来进行的；存在课主要是借助画折动作、镜像猜想、思维考证等推演行为发现存在性的事实.像《数学实验手册》中的“教科书有多厚”、“测量硬币的厚度与质量”属于数据课，“拼图·公式”、“字母表示数”属于算理课，而“感受唯一性”、“感受无理数”属于存在课.就宏观数学教育的意义来说，数学应用意识属于方法论范畴.此时，还可将数学实验划分为关系课、经验课和方法课3种课型.关系课主要是通过模拟探究和实物操作等活动发现规律或关系；经验课主要是通过操作实物来获取知识积累经验；方法课主要是通过不断尝试并逐步逼近来获得探究一类问题的具体方法.像《数学实验手册》中的“探究圆周角与圆心角的关系”、“莱洛三角形与圆”属于关系课，“折纸与黄金矩形”、“折纸与特殊角的三角函数”属于经验课，而“找重心”、“探究无盖长方体纸盒的最大容积”属于方法课.

数学实验作为应用意识培养的有效载体，承担提高学生数学核心素养的重要任务.

按照章建跃教授的数学教育观来说，加强用数学解决实际问题的教学，是将数学知识转化为认识世界、革新创造的智慧的关键环节.基于实践论视角的数学实验，用数学的基本途径就是为解决实际问题而设计并实验.像“模拟7位数体育彩票开奖”这一实验让学生切身体验中奖的随机性，理解概率对生活的指导意义，体验概率本不是高深莫测的代名词.基于认识论视角的数学实验，用数学的基本途径就是为发现和提出问题而设计并实验.像“有趣的平面坐标系”这一实验让学生在“做思结合”的过程中伴随“用意识”水平的螺旋上升，感受平面内点的表示方法可以进行多元立体的表征，可以是有序实数对法、极坐标法、三角形坐标法以及菱形坐标法等，反映了认知论体系中认识的适应性，正如马克思研究的结论那样，“世界是按照美的规律建造的.”遵循这样的认识观，可以说应用意识是按照美的素养结构梯级排列的.基于方法论视角的数学实验，用数学的基本途径是为落实形而上的“后双基”概念（基本思想、基本活动经验）而设计并使用.像“图形运动与坐标变换”这一实验，让学生在计算机模拟环境下，感受图形运动状态是由点的运动方向和距离引发的，直观体验坐标变换对图形运动的定性影响.

科学性和艺术性是教学的两种基本属性[3].按照实验教学是科学更是艺术的应用意识观来说，科学素养来自于实验理性的定量分析与定性把握，艺术素养更多来自于实验经验的权衡与批判以至于变迁的“母思维”状态，终归于应用意识水平的横向延伸和纵向拓展，实现应用意识支配的素养型实验的教育本体意义和价值取向.

参考文献

[1]齐民友.数学教育的改革要遵循数学科学的发展[J].数学通报，2006（8）：1-4

[2]王尚志，胡典顺.齐民友先生对数学教育若干问题的看法——齐民友先生访谈录[J].数学教育学报，2015（2）：4-9

[1]孙朝仁，马敏.基于数学核心素养发展的应用型数学实验[J].中国数学教育，2015（11）：36-40

[2]章建跃.数学学习和智慧发展[J].中学数学教学参考，2015（8）：4-11

[3]罗增儒.教学既是科学又是艺术[J].中学数学教学参考，2015（8）：1