浅谈初中生几何推理能力的初步培养

夏福秀

摘 要：几何推理能力是学好初中平面几何的基础，是养成学生步步有据思考习惯的关键。如何在七年级初始阶段就抓好几何推理能力的培养呢？本文结合自己的数学课堂，从几何学习的素材、三种语言的互译谈起，进而强调了三种思考方法的推理训练，知识梳理和规范化的书写强化，最后还谈到今后学习中应该注意的几个问题。本文对于几何起始课程的教学有一定的借鉴和启发作用。

关键词：几何推理能力、素材、语言、推理训练、知识梳理、规范书写

几何学习对培养学生逻辑思维及推理能力有特殊的作用。几何教学，一向都是初中数学教学中的重点和难点。对于刚接触几何的七年级学生来说，从代数到几何的认识转变是一个不易的过程。一是研究对象从数变为形，二是思维方法从以计算为主转变为以推理论证为主，还要学会用标准的几何语言进行推理、描述与论证。我们发现，不少学生几何推理能力差，面对许多不同的证明题束手无策，极大地影响他们的学习数学兴趣和效果。因此，采取切实有效的措施，帮助学生寻找证题方法，探求规律，提高学生的几何推理能力，是初中数学教师教学的一个重要教学任务。通过二十余年的教学实践和探索，本人认为培养学生初步的几何推理能力，应从以下几方面努力：

1 几何素材，了然于胸

推理论证的过程要符合客观实际，论证要有充分的根据，不能主观猜想，证明中的每一步推理论证的根据就是命题中给出的题设和已证事项，定义、公理和定理。这就要求学生首先要掌握好最基本的几何语言材料。掌握好基本的语言材料是“运用”的前提。“最基本的几何语言材料”包括：各种几何概念、定理；各种几何符号；几何概念、定理的推理格式等。

在教学概念时，要让学生准确掌握定义。教学定理时要让学生掌握定理的条件和结论，弄清适用范围。比如，初一教学“平行线”概念时，要准确呈现定义：“平面内，不相交的两条直线叫平行线”。要强调两点：（1）在同一平面内；（2）两直线永不相交。又如，教学全等三角形的判定公理：“三边对应相等的两个三角形全等”，要让学生弄清：已知是“三边对应相等”，结论是“两个三角形全等”。另外，要让学生掌握好基本几何符号的使用，诸如垂直符号“⊥”，全等符号“≌”。

让学生掌握单个几何知识点的“推理格式”尤为重要。因为它是理解和运用知识点的桥梁。其作用表现在：一是强化单个几何知识点的理解；二是规范推理格式；三是便于单个知识点间进行“组合”，为进行复杂的逻辑推理打下基础。因此在教学每个知识点时，有必要及时给学生“推理格式”的指导和学习。

2 夯实基础，强化互译

幾何推理包括大前提、小前提和结论。大前提就是已学过的几何定义、定理、公理等，也就是图形的定义、性质、判定等。小前提是指一种特殊的情况，结论就是得出的结果。

在几何教学中，要高度重视基础知识的掌握度。因为基础知识的掌握程度，直接关系到学生后续的学习。基础知识掌握的好，学生在几何推理中就会得心应手，否则的话，学生将无从入手。

在几何教学中，要强化文字语言、图形语言、符号语言的互译训练。几何语言的互译训练是提高学生几何素养的重要途径。对于刚学几何的学生，要特别注重加强几何符号语言的培养与训练。教学时，不仅要求学生会用文字语言叙述，还要能正确画出其对应的图形，且能熟练的用符号语言来描述。

如文字语言：“在△ABC中，线段AD平分∠BAC.”画出图形（如图）；

符号语言表示有：

∠DAB=∠DAC= ∠BAC，

∠BAC=2∠DAB=2∠DAC。

3 常见推理，训练到位

推理是根据已知判断得出新判断的思维过程。几何中命题复杂，类型繁多，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视对问题的分析和推理。几何推理常见的方法如下：

1、顺向推理法：即从已知条件出发，分析在此条件下会得到哪些结论，然后再把这个结论作为条件，经过分析又能得出哪些结论，直到所得结论与要证明的结论相符为止。例1：

如图：已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠DCB

求证：BE∥CF

分析：由AB∥ CD可以得出：∠ABC=∠DCB，

又由BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，可以得出

∠EBC=（1/2）∠ABC， ∠FCB= （1/2）∠DCB，

即可得出：∠EBC=∠FCB

则BE∥CF

2、逆向推理法：即从要证明的结论出发，分析要得到这个结论需要什么样的条件，然后再把这个条件作为结论，分析要得到这个结论又需要什么条件，这样层层推理，直到所需条件与已知条件相吻合。

如图：已知 平行四边形 ABCD，对角线AC、BD交于点O，

求证：OA=OC

分析：要证OA=OC，需证△ABO≌△CDO，

而要证△ABO≌△CDO，需要得出∠BAO=∠DCO

或∠ABO=∠CDO及边AB=CD，这些条件都可以通过平行四边形的性质得到。当然此题也可通过证明△AOD≌△COB，道理同上。

3、分析——综合法。即先顺向推理，再逆向推理，或者是先逆向推理再顺向推理直到顺推（或逆推）的结论正好是逆推（或顺推）的条件时，解题思路也就水到渠成。

如对例1，可分析如下：要证BE∥CF，必须得出∠EBC=∠FCB，而这个条件，又如何得出呢？我们可以回过头来，再从已知条件出发，由AB∥ CD可以得出：∠ABC=∠DCB，

又由BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，可以得出

∠EBC=（1/2）∠ABC， ∠FCB= （1/2）∠DCB，

即可得出：∠EBC=∠FCB

4 知识梳理，精准及时

无论是顺推还是逆推还是分析——综合法，对于学生基础知识的链接能力，都提出了更高的要求。这就要求我们教师在平时的教学中，对于有关的知识要做好系统梳理，给学生一个清晰的认识。例如，常见的证明两个角相等的方法有：

（1）对顶角相等；

（2）垂直定义（只针对于两个角都是直角）；

（3）角平分线的定义；

（4）两直线平行，同位角相等、内错角相等；

（5）同角或等角的余角或补角相等；

（6）全等三角形的对应角相等

（7）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角或圆周角相等；……

又如，辅助线的作法应用问题。如果有直径出现，往往构造直径所对的圆周角是直角。过圆心作弦的垂线从而运用垂径定理，有中点出现常构造出三角形或梯形的中位线等等。

5 过程清晰，书写规范

几何推理证明的分析和书写是一个重要而学生又难以掌握的过程，它需要教师较长时间的引导和帮助，才能逐步形成学生自己的技能和技巧。对于初学几何的学生，可用填充形式来训练学生证题的书写格式和逻辑推理过程，使书写规范，推理有理有据，训练的时间久了，学生也就在潜移默化中转入了独立书写这样一个规范的过程当中。例如：

请在下面题目的证明中的括号内，填入适当的理由。

已知，如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。

解：∵EF∥AD，（ ）

∴∠2= （ ）

又∵∠1=∠2，（ ）

∴∠1=∠3，（ ）

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC+ =180 o（ ）

∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= 。

教师在教学中要反复强调这样一个模式：要证什么→需要什么→题目有了什么→还缺什么→需补什么，按照这种模式反复训练，学生是能够学好几何推理证明的。

6 其他注意事项

1.教学时要让学生经历观察、猜想、实验、讨论、探究、证明几个环节，因为这是一个完整的推理逐步发展的过程。

2.要提高对已知条件的分析能力。在实际教学中我们经常发现学生解题时往往漏掉题中个别已知条件或不能将已知条件与所学定理、性质相联系致使寻找不到解题思路。

3.要注重培养学生的识图能力，使学生善于观察，探索几何图形的各种共性与个性，分析图中动态因素，并由这些特性与因素作出推断，然后进一步找出已知与未知之间的联系。

4.加强对几何题证明的一题多解。培养学生能从多角度、全方位进行思考的意识与习惯，开拓几何证明思路。另外解完题后注意进行反思和点评，是解题思路达到最优化，培养学生思维的简洁性的有效方法。

总之，培养学生的几何推理能力并非一日之功。初中数学教师只有不断总结、完善几何知识的教学方法，善于總结经验、探索规律，才能不断提高学生学习几何的兴趣，发展他们的思维能力、推理能力和创造能力；才能全面提高学生的数学素养，为今后学习打下坚实的基础。

参考文献

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[4]王惠文.初中生合情推理能力的调查研究[D].南京师范大学.2013、03、20.