民间剪纸艺术中的数学文化

王　培，王彭德

（大理大学数学与计算机学院，云南大理　671003）

民间剪纸艺术中的数学文化

王培，王彭德*

（大理大学数学与计算机学院，云南大理671003）

剪纸是中国传统的民间艺术，通过对中国民间剪纸图案的研究和分析，挖掘民间剪纸艺术中蕴含的几何曲线、几何变换、黄金分割等数学元素，探析民间剪纸艺术与数学文化的共通性，保护和传承民俗文化，为数学课堂教学提供更多教学案例。

剪纸艺术；数学文化；几何曲线；几何变换

［DOI］10. 3969 / j. issn. 2096-2266. 2016. 06. 004

剪纸是一门有着悠久历史和深厚文化底蕴的民间艺术。剪纸艺术是中国优秀民族传统文化的一部分，在2006年国务院公布的第一批国家级非物质文化遗产名录中就有蔚县剪纸、丰宁满族剪纸、中阳剪纸、医巫闾山满族剪纸、扬州剪纸、乐清细纹刻纸、广东剪纸、傣族剪纸、安塞剪纸等〔1〕。剪纸随着社会的发展形成了一定特征的数学文化，其中许多数学元素至今仍被广泛使用。鉴于人类学的研究方法，通过剪纸中的几何曲线、几何变换、黄金分割以及剪纸中的数字等对数学文化作粗略探析，挖掘民间剪纸艺术与数学文化的共通性。为数学文化应用方面，提供更多传统数学文化的相关例子，并引入到现实应用中，有利于民俗文化的深入了解、传承和保护以及数学文化的认识和探索。

1　民间剪纸及数学文化

1.1民间剪纸中国民间剪纸是以中国广大劳动人民群众为主体而创造的一种富有生命力的艺术，产生于汉代，它有着悠久的历史，是千百年农耕文明所形成的艺术体系，是人类非物质文化的重要组成部分〔2〕。民间剪纸大致可分为五大区域：东北长白山、黄河流域、长江流域、东南沿海及西南少数民族地区。我国的山东、河北、陕西等各个地方均分布着具有各自地方特色的剪纸能手，他们用自己的手传承着民间剪纸文化，为我国的非物质文化做出了巨大的贡献。随着全球化趋势日益加强，非物质文化遗产受到越来越大的冲击，其中民间剪纸艺术也濒临消亡，亟待抢救保护。对民间剪纸的深入探析和了解，有助于非物质文化的传承和保护，并产生民族自豪感。

1.2数学文化数学文化，狭义上来说，是指数学的观点、方法、思想、精神，及它们的形成和发展；广义上来说，它除以上内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的关系、数学与各种文化的关系等〔3〕。深入了解数学文化，可以初步了解数学与人类社会发展的密切关系，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，在实际的生活中发现与欣赏数学之美，从而更好的学习运用数学文化以及享受生活。

2　剪纸中的数学元素

2.1剪纸中的几何曲线

2.1.1蝴蝶曲线蝴蝶曲线，是一种可用极坐标函数表示的蝴蝶型曲线，是由美国南密西西比大学Temple H·Fay发现的，大多数应用于数学方面及个人计算机领域。

蝴蝶是剪纸中常见的题材（如图1～2），一是蝴蝶的造型比较漂亮，二是蝴蝶在剪纸艺术中象征夫妇好合、情深意长和幸福。数学上的蝴蝶曲线（如图3）是一种很美的平面上代数曲线，具有对称美，可用一个特定的极坐标公式表达：

图1　蝴蝶

图2　花丛中的蝴蝶

图3　蝴蝶曲线

2.1.2心形线这是数学家笛卡尔的爱情故事。相传笛卡尔流浪到瑞典，认识了公主克里斯汀，后成为她的数学老师，两人日日相处彼此产生爱慕之心，国王知道后勃然大怒并将笛卡尔遣回法国，他回法国后，日日给公主写信，信件因被国王拦截公主无法收到，不久笛卡尔染上重病，在寄出第十三封信后就去世了，这封信只有短短的一个公式：r=a（1-sinθ），国王看不懂，觉得并不是说情话的就转交给公主，公主看到信，马上着手把方程的图形画出来，就看到一颗心的形状图案，这就是著名的“心形线”。

心形图形是爱的象征，是由两个相同图案的轴对称而形成，代表了人们对美好生活的热爱以及好事成双的寓意。图4双鹿的连接处形成了心形线，为整幅图增添了爱的寓意；图5是“同心乐园”的剪纸，“同”取的是同心协力的意思，此剪纸将“同”字的“口”剪成心形，更形象的表明了寓意；“心”字也是一个心形图案，用两个对称的人头像表示出来，就有了好事成双的寓意，使整幅图表示出更好的寓意。

图4　双鹿剪纸

图5　同心乐园

心形线（图6）为一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因为其形状像心形而得名。心形线参数方程为：

图6　心形线

2.1.3星形线星形线，1836年正式定名，因其有4个尖端，又称为四尖内摆线，Johann Bernouli是最先研究星形线的人。

图7“福”字旁边的两朵花连接到一起，连接处中间呈星形线；图8中心图案呈星形线，都使整幅图具有美感；数学上星形线（图9）的参数方程：

图7　福字剪纸

图8　方形剪纸

图9　星形线

2.1.4玫瑰线玫瑰线，其说法源于欧洲海图，又称罗盘线。希腊神话里的风神都被描绘在这些线上，看做方向的记号。葡萄牙水手称他们的罗盘盘面为风的玫瑰，并根据太阳的位置估计风向，再与风的玫瑰对比找出航向。所以玫瑰线被用来指引方向。

图10剪纸中人物所穿衣物上有玫瑰线状的装饰，它为整个人物的服饰增光添彩。数学上定义的玫瑰线形如图11，其极坐标方程为：

若k是偶数，玫瑰线就有2k个花瓣，称为2k叶玫瑰；若k是奇数，玫瑰线有k个瓣，称为k叶玫瑰。

图10　人物剪纸

图11　玫瑰线

2.1.5四叶草曲线四叶草又称幸运草，它有4片叶子：分别代表财富、荣誉、爱情和健康，剪纸采用四叶草曲线来表达广大人民群众对财富、荣誉、爱情和健康这些美好事物的向往之情。

图12是四叶草剪纸，由两个不同的四叶草图案组成，为剪纸增添了美感。图13是四叶草剪纸，图案分3层，深色部分呈四叶草，中间有四朵花，整幅剪纸炫目多彩。数学上四叶草曲线（图14）极坐标方程：ρ=sinθ·cosθ。

图12　四叶草剪纸

图13　四叶草剪纸

图14　四叶草曲线

2.2剪纸中的几何变换

2.2.1图形的相似和全等两个图形形状相同，大小不一定相等，那么这两个图形相似；全等是相似的一种特例。当相似比为1时，两图形全等。

图15和图16分别以最中间的八角形和六叶形为基准开始往外延伸，一共延伸了6种八角形，任两种八角形间形成了固定的比例，也就是数学上的相似比。图17以“福”为中心，“福”字外围有3层图案，任一层以其中任一个不重复的独立个体为样本，其余都为样本的全等图形，故每层所有的图案都是全等图形。

图15　八角团花

图16　六叶形团花

图17　福

2.2.2图形的对称民间剪纸艺术中最突出的数学文化就是对称美，数学中的对称有：轴对称和中心对称。很多剪纸图案都呈对称性，有些图案既是轴对称又是中心对称，直接体现出数学的对称美。

图18为鱼形剪纸，“鱼”在剪纸中大多和别的图形结合在一起，代表连年有余的意思；图19为双鹿剪纸，“鹿”与“禄”同音，而且所有的事物都以偶数形式呈现，有好事成双的寓意，为整个图案增添吉祥的氛围；“囍”是传统吉祥图案，由两个喜组成的图符。大红“囍”字剪纸，在中国几乎无人不知，无人不晓。结婚办喜事时，总是在门窗、房间、嫁妆上贴上大红“囍”字。“囍”字剪纸基本上采用对称手法，既能减少工作量，也能保持美观性，寓意好事成双，图20为喜鹊围绕的囍字，整体严格轴对称，民间称为“喜迎吉庆”，一般贴在家里的电视、音响电器上。

图18　鱼

图19　双鹿剪纸

图20　喜鹊双囍

2.2.3图形的平移在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动称为图形的平移运动，简称平移。图形平移的方向，不限于水平方向。

图21和图22都是以图中任一个物体为基本图形，再水平平移得到的；图23〔4〕是以图中任一个体为基本图形，再通过水平平移和上下平移得到的。通过图形的平移可以大大减少工作量，只需要将纸对折数次剪出一个基本图形即可。

图22　熊猫剪纸

图23　花样剪纸

2.2.4图形的旋转在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形变换称为图形的旋转。其中，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

图24是以五角星为基础所构成的剪纸。五角星可以由一个基本图形（五角中的任意一角）绕中心至少4次旋转、每次旋转72°得到。图25以图形中心为旋转中心，以任一只动物作为基本图形绕旋转中心至少经过3次旋转、每次旋转90°得到。图26将最中间的图形看作一个整体，当做旋转中心，旋转过程和方法与图25类似。图形的旋转在剪纸艺术中的应用十分广泛。

图24　五角星剪纸

图25　方形剪纸

图26　圆形剪纸

2.2.5图形的镶嵌从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做平面镶嵌。

图27中背景的一部分是用正六边形镶嵌形成的，给人一种整齐有序的美感。

图27　墙与蝇

2.2.6图形的连续纹样连续纹样是将单位纹样根据条理与反复的规律，作重复排列，构成循环的图案。由于重复的方向不同，分为两方连续（图21和图22）和四方连续（图23）。剪纸图案虽繁多和错综复杂，但用了图形的连续纹样，使整个剪纸图案清晰明了、有规律可循。

两方连续：将一个单位纹样向上下或左右两个方向反复连续循环的排列，形成可无限延长和伸展的条形连续纹样，又称带状纹样。

四方连续：四方连续是由一个纹样或几个纹样组成一个单位，向四周重复地连续和延伸扩展而成的图案形式〔4〕。常见排法有梯形连续、菱形连续和方形连续，四方连续图案广泛应用于剪纸艺术中。

图28中有一对放风筝的孩子、一条龙和一条奔跑的小狗在草地上，整幅剪纸营造了一种其乐融融的氛围，表达了广大人民对美好生活的向往和憧憬。现在以龙身为全段，龙头到风筝头部位置为短段，从风筝头部到尾部前为长段，经测量，全段约为11.3 cm，短段约为4.3 cm，长段约为7.0 cm，其比值7.0/11.3≈0.619接近黄金分割取值，使整幅图更添美感。

图28　春风得意

2.4剪纸中的数字剪纸的题材源于生活，用于生活，生活又与数字分不开。

一年365天、4个季节、12个月。中国生肖源于古人以十二种动物与十二地支相配纪年，即子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪。图29剪纸以十二生肖为图案，以福字镶嵌其中，寓意健康长寿、福如东海和富贵呈祥。

图29　十二生肖

图30为三阳开泰剪纸〔2〕。《说文解字》上这样解释“三”：三，数名也；天地人之道也；老子曰：一生二，二生三，三生万物。“三”与古人崇敬且追求的“道”“王”“皇”有着相通的含义，有宇宙观、皇权王道的象征等。因此，“三”被认为是至高无上的吉祥数字。“阳”和“羊”同音同调，羊在中国古代又被当成灵兽和吉祥物，词语大概意思是冬去春来，阴消阳长，剪纸正是取了其吉祥寓意。

图30　三阳开泰

图31为迎奥运剪纸〔2〕，在整幅图中，2008处于最显眼位置，很鲜明的表达了这幅剪纸上举国欢庆的时间，也向人们传递了2008年北京举办奥运会这个事件，整幅图的氛围喜气洋洋。所以数字总是能用最少的话语传递出最大的信息量，这是数字的独特性。

图31　迎奥运

3　剪纸方法与数学

剪纸艺术源于生活，色彩多数为大红色，剪纸图案蕴含了吉祥美好的寓意，代表人民对美好生活和安居乐业的憧憬。不同的剪纸手工艺人所创作的剪纸都有自己独特的风格，这说明了剪纸方法的重要性。剪纸方法从大的方面可分为对称剪法和不对称剪法。对称剪法又可分为中心对称剪法、左右对称剪法和上下对称剪法。

中心对称剪纸又名喜相逢、单对称或旋转对称。中心对称剪法是传统剪纸常用的形式之一，它是由两个或几个同一方向的图形巧妙组合，形成具有转动感的图形，人物、动物、花草、虫鱼等题材都适合这种类型的剪法，其中以花草和动物为最多，剪时应该突出图形的动态曲线，这样所剪的图形动感、节奏感比较强。

左右对称剪法是比较广泛的一种形式，也是对初学者而言最重要的剪法。首先要统筹规划，想到剪成后的展开效果。几乎所有剪纸题材都适合左右对称剪法。左右对称剪纸有祥和、庄重之感，是人们普遍喜欢的常见的剪纸形式。

上下对称剪纸也是常见的剪纸方法，上下对称和左右对称的剪法原理大致是相同的。剪纸时，首先应先确定主题内容，然后留意连接边的取舍。物体在水面上具有倒影，或者是一些概念性的现代剪纸作品大多数采用上下对称剪法。

4　结语

以民间剪纸为研究个案，从数学角度研究民间传统剪纸艺术是一种新的方式。深入流行剪纸的地区，访问调查采集图片，研究相关文献，粗略挖掘民间剪纸艺术中形成和运用的数学元素〔5-9〕。通过用数学的观点对民间传统剪纸艺术的研究，从民间剪纸所蕴含的几何曲线、几何变换、黄金分割等数学元素为出发点，深入探析民间剪纸艺术与数学文化之间的联系，有利于民间剪纸艺术文化的传承和保护，促进多元文化的健康发展和数学文化的交流融合。最后以数学中对称性作为民间剪纸的重要方法予以说明，希望能为中小学数学课堂提供一些教学素材。

本文大多图片由作者手机拍摄所得，剪纸创作者无从查证，在此表示衷心的感谢。

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〔Abstract〕Paper cutting is a traditional Chinese folk art.Through the research and analysis of Chinese folk paper-cut patterns，this paper aims at excavating mathematical elements of folk paper-cut art including curve geometry，geometry transform and golden section，exploring the commonality between folk paper-cut art and mathematics culture，protecting and inheriting the folk custom culture，providing more case teaching for maths class teaching.

〔Key words〕paper-cut art；mathematical culture；geometry curve；geometric transformation

（责任编辑袁霞）

Mathematical Culture in Folk Paper-cutting Art

Wang Pei，Wang Pengde*
（College of Mathematics and Computer，Dali University，Dali，Yunnan 671003，China）

J528.1：O119

A

2096-2266（2016）06-0013-06

国家自然科学基金资助项目（41464004）；大理大学第五期教育教学改革项目（JGV-77）

2016-05-04

2016-05-19

王培，数学与应用数学专业2012级本科生.

王彭德，教授.