随机补货间隔且存货影响销售的变质品EOQ模型

杨善林,许广繁,王晓佳,杨昌辉

(1.合肥工业大学管理学院,安徽合肥230009; 2.过程优化与智能决策教育部重点实验室,安徽合肥230009)

随机补货间隔且存货影响销售的变质品EOQ模型

杨善林1,2,许广繁1,2,王晓佳1,2,杨昌辉1

(1.合肥工业大学管理学院,安徽合肥230009; 2.过程优化与智能决策教育部重点实验室,安徽合肥230009)

基于存货影响销售的变质物品EOQ模型,通过考虑随机补货时间间隔和随缺货量变化的延期供给率对库存订货策略的影响,建立了相应的库存控制模型,分析了模型最优解的存在性和唯一性,并给出了数值算例和主要参数的灵敏度分析.研究结果表明:销售价格,存货影响销售率系数和随机补货时间间隔对销售商订货策略和利润有较大影响.

随机补货间隔;存货影响销售;变质物品;库存控制;部分延期供给

1　引　言

库存控制理论一直是运筹学和生产管理中活跃的研究领域之一,其中多周期库存控制的研究便是一个重要分支.而经典的多周期库存控制研究中有两种主要补货策略,即:连续补货和定期补货.连续补货策略是指零售商可以根据产品现有的库存水平随时对其进行补货;而定期补货策略则是零售商必须要在特定的时间点上才能补货.但在实际应用中,供应商对零售商补货的时间间隔也可能是随机的.导致补货时间间隔变动的原因很多,例如在产品的供应链中若供应商占据着绝对的优势地位,供应商就可以单独决定它应该什么时候对零售商的库存进行补货;同时若零售商处于偏远的地区,地理位置上处于弱势,此情形下,供应商更可能会单独决定什么时候对零售商进行访问并对其库存进行补货.Ertogral和Rahim[1]较早地研究了随机补货间隔且补货到库存上限的库存控制问题,Liu等[2]则进一步考虑了随机补货间隔且补货到库存上限的易腐品库存控制问题,Nasab和Konstantaras[3]则讨论了随机补货间隔和特殊销售报价的库存控制模型.

许多销售实践表明,产品现货展示的数量直接影响销售率,这种现象被称为存货影响销售率(stockdependent selling rate).Gupta等[4]首次研究了需求受初始库存水平影响的库存模型;在此基础上,Padmanabhan等[5]考虑了常数通货膨胀率的情形,发展了带有依赖初始库存需求率的库存模型.考虑到需求受物品当前展示库存水平的影响,文献[6-8]研究了带有线性需求率的库存问题.文献[9-11]研究了带有多项式需求率的库存问题.Urban[12]对已有的相关研究进行了全面的综述,并提出了一些未来的研究方向.

在现实库存系统中,仓库缺货期间,有的顾客愿意承担缺货损失,零售商不会丢失销售机会,但同时顾客通常都是没有足够的耐心,随着缺货量的增加,他们就会对库存系统是否能够及时供货缺乏信心,从而转往其他零售商处购买商品.因此,若缺货量越大,则愿意等待供货的顾客就会越少.Padmanabhan等[13]研究了缺货量对延期供给率的影响,认为商品缺货数量越大,顾客越容易丧失等待补货的信心.Chang等[14]认为若等待时间越长,顾客就越不愿意等待,San等[15]进一步研究了顾客相对等待时间的情况,罗兵等[16]考虑了顾客的等待时间、销售价格和补货速度等对延期供给率和订货策略的综合影响.

易变质物品的EOQ模型受到学者们的广泛关注.现实生活中,普遍存在易变质物品,如时尚的衣服、在销售季节末还未售出的节日鲜花、易变质的食品、易腐烂的水果蔬菜、易挥发的液体、易过期的药品和易衰减的放射性物品等.因此,易变质物品的库存研究具有十分重要的理论和实际意义.Chare和Schrader[17]较早地提出了变质物品的库存模型,Ciri等[18]研究了物品变质率随时间变化和有短缺情形的库存模型, Manna和Chaudhuri[19]给出了市场需求和物品变质率都随时间变化的库存模型,Lo等[20]在考虑通货膨胀情况下,提出了物品变质率服从Weibull分布的变质性物品库存模型,闵杰和周永务[8]研究了存货影响销售率的非立即变质物品的库存模型,Sana[21]研究了变质率随时间变化且有部分缺货拖后率的库存模型, Sarkar[22]考虑了在确定订货周期下得到了需求和变质率都随时间变化的库存模型.

本文综合考虑了存货影响销售、两次连续补货时间间隔是随机的、允许缺货发生且短缺量部分延期供给,延期供给率与缺货量呈负相关等因素,建立了变质物品的库存控制模型,分析给出了库存模型最优解存在的必要条件.同时,分析了当库存模型的两次连续补货时间间隔服从一般分布时,最优解的存在性及唯一性.最后,当两次连续补货时间间隔服从均匀分布时,用数值实例对相关的参数进行了灵敏度分析,研究主要参数对订货策略和每周期期望利润的影响,从而为诸如小超市、药店和杂货店等在供应链中处于不利地位的零售商制定采购计划提供决策依据.

2　决策模型

2.1假定与符号说明

首先作以下假定和符号说明.

1)两次连续补货时间间隔Z是独立同分布的随机变量,其取值范围为[z1,z2],f(z)为Z的概率密度函数.

2)前置期为零.

3)t时刻产品的需求率其中I(t)表示t时刻的库存水平,r为单位时间的基本需求量,α表示存货影响销售率系数,且r,α均为正常数.

4)物品的变质率θ假定为一个常数,且物品变质后无残值.

5)允许缺货发生.考虑到实际中当库存系统处于缺货状态时,延迟供给率与该时刻的实际短缺量有关系,实际短缺量越大,顾客损失率就越大,该时刻的延期供给率越小(即某时刻单位时间内愿意加入到排队队列中来等候供货的顾客数会随着队列中排队顾客数的增加而减少),因此假定缺货期间发生的延期供给率D1(t)与已经发生的缺货量有关,即

其中β为缺货影响延期供给率系数,且0≤β≤1,S(t)表示t时刻等待供货的需求量.

6)S表示产品所需补货的库存上限,ts表示产品从最高库存水平S降为0所需的总时间.

7)h为每周期单位产品单位时间的库存费用,π为单位产品单位时间的延期供给成本,π′为因缺货造成销售损失的单位产品的机会成本,p为单位产品的售价,w为单位产品的成本.

2.2模型构建

由于给定了产品两次连续的补货时间间隔是独立同分布的随机变量且每次都是补货到库存上限S.因而当产品两次连续的补货时间间隔长度Z小于库存从最大库存量降为0的时间长度ts时,库存系统没有缺货发生;而当产品两次连续的补货时间间隔长度Z大于库存从最大库存量降为0的时间长度ts时,库存系统有缺货发生.下面将会给出在一个周期内产品期望利润函数组成的五个部分.

设I(t)表示在时间t上系统的库存量,则I(t)满足下列方程

其中T为每周期的时间长度.

由I(ts)=0,有

1)每周期的期望库存量

式(4)给出了每周期的期望总库存水平,其中第一项表示的是当库存系统未发生缺货时的期望库存量,第二项表示的是当库存系统发生缺货时的期望库存量.

2)每周期的期望延期供给量和销售损失量

当库存系统发生缺货时,产品在t时刻的延期供给速度与已缺货量呈线性关系,因此在缺货期间t时刻等待的需求量S(t)满足下述微分方程

上述方程的解为

由于产品每周期总的期望缺货量为期望延期供给量与期望需求销售损失量之和,而产品每周期的期望延期供给量为

从而产品每周期的期望需求销售损失量为

其中式(8)中的第一项表示的是若缺货发生时,产品每周期总的期望缺货量;第二项表示的是若缺货发生时,产品期望的延期供给量.

3)每周期的期望补货量

由于每周期的补货策略均为补货到库存上限,从而每周期的期望补货产品数量就为产品的期望销售量、期望变质量和期望延期供给量之和,即

4)每周期的期望销售量

由于产品的存货影响销售率且产品每周期总的期望销售量为未发生缺货时产品的期望销售量与发生缺货时产品的期望延期供给量之和,从而有

式(10)给出了每周期产品总的期望销售量,其中第一项表示的是当库存系统未发生缺货时产品的期望销售量,第二项表示的是当库存系统发生缺货时产品的期望销售量与期望延期供给量之和.

5)每周期的期望变质量

由于产品每周期的期望补货量为产品的期望销售量与期望变质量之和,从而有产品每周期的期望变质量为产品的期望补货量与期望销售量之差,即

6)每周期的期望利润

由式(4)～式(11)可知在基于补货到库存上限的库存策略下该库存系统每周期的期望利润为

3　模型的求解

对式(12)中的R(ts)关于ts分别求一阶导数和二阶导数,经过化简可得

引理1当r≥0,π≥0时,则不等式rM+A+B-βC≥0恒成立.

定理1若M ≥0,则ts越大,每周期的初始库存水平越高,库存系统中每周期的期望利润就越大, 即R(ts)在ts=z2处取得最大值.

证明由于0≤z1≤ts≤z2,E(1-e-(α+θ)Z|Z≤ts)＞0,F(ts)＞0,0≤α≤1,0≤β≤1,0≤θ≤1,r≥0,π≥0且M ≥0,又由积分中值定理可知:

这表明,当M≥0时,R(ts)是关于ts的增函数,所以R(ts)在ts=z2处取得最大值.证毕.

若M ≥0,则有α(p-w)≥h+θw,那么α(p-w)可以解释为“增加单位库存所带来的销售收益增量”, 而h+θw表示的则是“增加单位库存所引起的库存和变质费用”,因此,α(p-w)≥h+θw就意味着“增加单位库存所带来的销售收益增量”不小于“增加单位库存所引起的库存和变质费用”.此时库存水平越高,系统的期望利润当然越大,即增大库存水平对整个库存系统是有益的,所以R(ts)在ts=z2处取得最大值.

引理2若M＜0,则R(ts)存在唯一的最大值点.

从而得R′(ts)是关于ts的严格单减函数,R(ts)是关于ts的严格凹函数,因此在闭区间[z1,z2]内必然存在唯一的t*s,使得R(ts)取得最大值.证毕.

令ts分别为z1和z2代入到式(13)中并化简得

证明由引理2知当M ＜0时,R′′(ts)＜0在区间[z1,z2]上是恒成立的,则R′(ts)是关于ts的严格单调减函数.若时,则由式(15)知R′(z1)≤0,即对∀ts∈[z1,z2],均有R′(ts)≤0,从而R(ts)在区间[z1,z2]上是减函数,即R(ts)在区间[z1,z2]的最大值在t*s=z1处取得;若M ＜ 0, 当时,则由式(15)知R′(z1)＞0,又由式(16)知R′(z2)＜0,由介值定理知在闭区间[z1,z2]内必然存在唯一的根t*s使得R′(t*s)=0,即t*s满足式(17).

注意到驻点t*s的唯一性,知t*s是R(ts)的唯一最大值点.由于t*s是由式(17)唯一确定的,而式(17)明显依赖于概率密度函数f.

4　数值算例

若两次连续补货的时间间隔服从均匀分布,其范围是[z1,z2],则其对应的条件期望和互补累积分布函数分别为

将式(18)～式(20)代入到式(17)中,经过相应的代数运算后可化简得式(23),并通过利用分段搜索算法可以找出相应的最优解使得每周期的期望利润最大.

又由式(3)可得最优的补货库存上限S*为

将式(18)～式(23)代入到式(12)可得每周期的期望利润最大值R(t*s).

参考Ertogral等[1-3,8]的数据,假定库存系统的基本参数为:r=10,p=100,w=70,h=5,α=0.15, β=0.7,θ=0.02,[z1,z2]=[4,8],π=10且π′=p-w.运用MATLAB7.10版软件及二分法进行计算,结果如下:ts=5.394,S=88.346,R(ts)=1 205.618.以下对库存模型中各主要参数进行灵敏度分析,图1至图4反映了这些参数对库存模型中产品有存货情况下的销售时间、最大库存量和平均期望利润的影响.

由图1可知,在价格一定的情况下,随着存货影响销售率系数α的增大,产品有存货的销售时间段就会延长且产品的补货库存上限和每周期的期望利润均增大;而当存货影响销售率系数一定时,产品有存货的销售时间间隔、最大补货库存上限和每周期的期望利润均随着价格的增加而增大,且当α越大时,产品有存货的销售时间间隔、最大补货库存上限和每周期的期望利润对价格的变化越敏感.这是因为随着存货影响销售率系数的增大,有现货期间最佳的需求明显增加.此时,销售商可以通过两种途径获得更高的期望利润: 1)增加每周期的初始库存量,延长存货影响销售的时间段;2)增加有现货时间,缩短缺货时间,提高顾客服务水平.

图1　存货影响销售率系数α的灵敏度分析Fig.1 The sensitivity analysis of α

由图2可知,在价格一定的情况下,随着缺货影响延期供给率系数β的增大,产品有存货的销售时间段就会缩短且产品的补货库存上限也随之减少而每周期的期望利润却增加但增加的幅度并不是特别明显;且当价格大于112.7时,产品有存货的销售时间间隔、最大补货库存上限和每周期的期望利润并不会随着缺货影响延期供给率系数β的变化而变化.这是由于此时模型满足定理1,即两次连续补货时间间隔已经达到了最大的补货时间间隔上限,而此时库存模型并没有缺货发生,从而可知β的变化对产品的补货库存上限和每周期的期望利润并没有产生任何影响.

由图3可知,在价格一定的情况下,随着变质率θ的增大,产品有存货的销售时间段缩短且每周期的期望利润减少;同时注意到当θ=0.1且价格较低时,每周期的期望利润为负值,这表明利润是亏损的,而这是由于增加单位库存所带来的销售收益增量小于增加单位库存所引起的库存和变质费用所造成的;且变质率越大,产品有存货的销售时间间隔、最大补货库存上限和每周期的期望利润对价格的变化越不敏感;同时,当变质率较大且价格较高时,零售商更愿意将库存维持在较低的水平,这是由于单位产品变质所带来的边际损失比增加单位产品所带来的边际销售收益要大,所以低库存水平对零售商是有益的.

图2　缺货影响延期供给率系数β的灵敏度分析Fig.2 The sensitivity analysis of β

图3　变质率θ的灵敏度分析Fig.3 The sensitivity analysis of θ

由图4可知,在价格一定的情况下,随着补货时间间隔[z1,z2]的增大,产品有存货的销售时间段延长且产品的补货库存上限也随之增大;且当价格较低时,产品每周期的期望利润与补货时间间隔的关系并没有明显的规律,但当价格较高时,产品每周期的期望利润随着补货时间间隔的增大而增加;并且补货时间间隔[z1,z2]越大,产品有存货的销售时间间隔、补货库存上限和每周期的期望利润对价格的变化越敏感.同时注意到当[z1,z2]=[8,12]且价格较低时,每周期的期望利润为负值,这表明利润是亏损的,而这是由于缺货所造成的销售损失和延期供给成本过高所造成的,因而此时高库存水平对零售商是有利的.

图4　补货时间间隔[z1,z2]的灵敏度分析Fig.4 The sensitivity analysis of[z1,z2]

5　结束语

本文的模型是一个基于实际应用的库存控制模型,如可在小超市、药店和杂货店等库存系统中观察到相应的库存模型.在该库存模型中供应商能在随机的时间段中访问零售商且物品是易变质的,其需求受当前库存水平的影响且缺货的延迟供给率与该时刻的实际短缺量呈负相关关系.零售商在基于存货影响销售率、变质率、现有的库存水平、缺货影响延期供给率和下次随机的补货时间间隔来确定所要增加的库存水平.在本模型中,假设两次连续的补货时间间隔是随机的,并且易变质物品的需求与当前展示的库存水平呈线性关系,同时允许缺货并且缺货量部分延期供给.同时本文给出了如果两次连续的补货时间间隔满足一般分布的情况下,讨论了模型最优解的存在性与唯一性,最后用实例说明了模型在两次连续的补货时间间隔服从均匀分布的情况下其解的有效性和可行性,同时对主要参数的灵敏度进行了分析.数值分析显示:销售价格、存货影响销售率系数和随机补货时间间隔对零售商订货策略和每周期的期望利润的影响比其他因素显著,在制定采购计划时应给予考虑;在实际工作中,当产品的销售价格,存货影响销售率系数和随机补货时间间隔增大时,零售商应增加补货库存上限,缩短缺货时间,提高服务水平;而当产品的变质率增大时,零售商应减少补货库存上限,延长缺货时间,降低服务水平.本文所建立的模型还可以做更深层次的研究,如考虑联合补货策略、带有多项式存货影响销售率的库存问题及特价商品对库存系统的影响等情况,显然这些假设条件会增加属性分析的难度,但会更加符合实际情况.

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EOQ model for deteriorating items with stochastic replenishment interval and stock-dependent selling rate

Yang Shanlin1,2,Xu Guangfan1,2,Wang Xiaojia1,2,Yang Changhui1
(1.School of Management,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China; 2.Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making,Ministry of Education,Hefei 230009,China)

Based on the EOQ model for deteriorating items with stock-dependent selling rate,this paper develops a more general inventory model with stochastic replenishment interval and partial backlogging,where the backlogged demand rate is shortages-level dependent.The necessary and sufficient conditions of the existence and uniqueness of the optimal solutions are provided,a numerical example and key parameters’sensitivity are shown to illuminate the presented model.It is shown that the selling price,the stock-dependent selling rate factor and stochastic replenishment interval influence distributors’ordering strategy and average expected profit more than other factors.

stochastic replenishment interval;stock-dependent selling rate;deteriorating item;inventory control;partial backlogging

F227.07

A

1000-5781(2016)01-0101-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.010

2013-12-05;

2014-07-14.

国家自然科学基金资助项目(71071045;71131002;71101041);教育部人文社会科学基金资助项目(11YJC630248);安徽省教育厅人文社会科学基金(2013AJRW0140).

杨善林(1948—),男,安徽怀宁人,教授,博士生导师,中国工程院院士,研究方向:智能决策方法,云计算,Email: slyang@mail.hf.ah.cn;

许广繁(1988—),男,广东从化人,硕士,研究方向:库存控制理论与供应链管理,Email:xugfsong08@163.com;

王晓佳(1983—),男,安徽蚌埠人,博士,讲师,研究方向:决策理论与方法,库存控制理论,Email:tonysun800@sina.com;

杨昌辉(1974—),女,安徽怀宁人,博士,副教授,研究方向:公司理财,决策科学与技术,Email:yangchanghui@hfut.edu.cn.