适合极端深水的双层高阶Boussinesq水波方程

刘忠波，房克照，孙昭晨

(1.大连海事大学 交通运输管理学院，辽宁 大连 116026； 2.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023；3.长沙理工大学 水沙科学与水灾害防治湖南省重点实验室，湖南 长沙 410076)



适合极端深水的双层高阶Boussinesq水波方程

刘忠波1,2,3，房克照2，孙昭晨2

(1.大连海事大学 交通运输管理学院，辽宁 大连 116026； 2.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023；3.长沙理工大学 水沙科学与水灾害防治湖南省重点实验室，湖南 长沙 410076)

为精确描述深水强非线性波浪运动，本文推导了适用于极端水深、具有高精度色散和非线性特征的双层Boussinesq水波方程。首先把流体虚拟地划分为上下两层，对上下两层的速度势分别在静水面处和交界面处沿水深做泰勒展开，任一点速度可用此两处速度表达；其次在两层流体的中间水深位置上选择速度变量，进一步用两个计算水平速度矢量和两个垂向速度分量取代它们，依此速度表达流场内任一水深处的速度；最后结合自由表面的运动学方程和动力学方程、交界面上速度相等以及海底边界条件，推导了双层高阶Boussinesq水波方程。对该方程进行傅立叶分析，方程色散关系式为Padé(18,20)，当分层位置为0.12倍静水深时，该方程具有非常优良的线性和非线性性能。在1%误差下，相速度适用水深可达kh=210，沿水深的速度剖面分布最大适用水深可达kh=114，二阶和差频最大适用水深可达kh=103。

Boussinesq水波方程；计算速度；色散性；非线性；和差频；速度剖面

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自1999年起开始出现具有强色散性和非线性的Boussinesq水波方程以来，Agnon等首次将非线性和色散性分离，实现了非线性也可以适用于kh=6(k为波数，h为水深)的情况[1]。然而此方程速度剖面精度不高，Madsen和他的合作者们开展了一系列开创性的学术研究。Madsen等导出的方程具有优良的色散性、非线性等特征，在1%误差下，该方程的色散适用最大水深为kh=40，非线性特征(和频、差频和二阶非线性)可以适合kh=25.2的水深，沿水深的速度分布适用水深约为kh=10[2-4]。为避免求解空间5次导数的难度，一些学者推导了最高空间导数为3阶的方程[5-10]，如Lynette和Liu等采用对水体进行虚拟分层，推导了2-4层Boussinesq水波方程，4层模型色散适用水深可达到30左右[6]。 虽然Madsen等导出的Boussinesq方程是最具代表性的[2-4]，但其速度剖面精度不高。为了要改善这一方面性能，开展了适合极端水深的双层Boussinesq水波方程理论研究工作。

1　双层Boussinesq方程的理论推导

以静水面为坐标横轴，z轴铅垂向上。考虑水深h为常数，将整个流体分成两层，交界面位于z=-h1处，其也是一常数。在考虑流体无旋、无粘情况下，上下两层流体存在速度势Φ和ψ[7-9]，两个速度势满足Laplace方程。

1.1控制方程

上部流体存在自由波面，在自由面上满足连续性条件及动力学边界条件，控制方程为[1-3]

(1)

(2)

(3)

式中:η为波面升高，uη和wη在自由水面上水平速度矢量和垂直分量，水平梯度算子)。

流体内，速度势满足：

(4)

(5)

交界面上满足：

(6)

在海底边界z= -h上，速度势ψ满足：

(7)

1.2基于z= zα处速度(uα，wα)和z= zβ处速度(uβ，wβ)的表达形式

将速度势Φ做关于水深z的泰勒展开[2-3]，将其分解成为水平速度势与垂直变量z的乘积，将其代入方程(4)，并利用静水面处速度(u10, w10)信息可确定上部流体任意水深处的速度；类似地处理下部流体ψ，对其关于(z+h1)做泰勒展开[7-9]，并利用式(6)，将下部流体速度与交界面处下部流体的速度(u20, w20)相关联，最终可以得到

(8)

(9)

(10)

(11)

其中,x=(x, y),cos和sin运算符为泰勒展开：

(12)

根据表达式(8)～(11)，在z = zα(zα=-αh)和z= zβ(zβ=-βh)的速度可写为

(13)

(14)

(15)

(16)

任意水深处的速度可用两个特定位置处的速度信息表示，即

(17)

(18)

(19)

(20)

在两层流体交接面处满足:

(21)

(22)

在水底处满足:

(23)

注意到本文研究限于常水深情况，故在以上所有替换过程中，表达式中不含水深导数。

为便于后文推导和数值求解的可能性，将任意水深处速度对应于cos和sin运算符均取前3项，即表达式中的无穷大取值为2。Madsen等研究表明用截断泰勒展开的方式不足以在很大程度上提高方程的色散精度[2-3]，为此本文也将在1.2节中的两个速度转换成为计算速度，速度之间的关系表示如下:

(24)

(25)

根据Agnon等和Madsen等的研究结果[1-3]，当截断项为3时，系数取值为

(26)

当截断项为2时，系数取值为

(27)

将式(24)代入式(17)～(20),上部水体任意点处的速度表达为

(28)

(29)

下部水体任一点速度的表达为

(30)

(31)

其中系数取值为

在交界面处，有

(32)

(33)

以上方程中的系数中是将z=-h1代入即可。方程(32)和(33)右端表明下部流体的速度表达式是Padé逼近型，但左端均不是，因此必须对上部流体对照的zα予以特定设置，即

(34)

为避免类似Madsen等[2]处理海底边界时采用的一个M算子，本文将zβ设定在下部流体的中间部分，即

(35)

对应的海底边界条件为

(36)

式(36)中的系数中的z取值为-h。

自由面处的速度及静水面上的速度表达形式为

(37)

(38)

(39)

(40)

方程(1)、(2)和连接处方程(32)和(33)、海底处方程(36)以及(37)～(40)构成本文的双层高阶Boussinesq水波方程，以下简称模型1。该模型是对Madsen等给出的单层高阶Boussinesq水波方程的拓展[2]。模型1对应着sin和cos截断项均是3项的情况，当截断项为2时，则可忽略所有速度表达式中3次以上的导数项，此时表达式(30)～(31)中的系数取值为

此模型以下简称为模型2。

2　Boussinesq方程性能的理论分析

下面研究方程在色散性、非线性(波-波相互作用的和差频)以及速度沿垂向上的分布等方面的性能。

2.1色散性

忽略方程的非线性，方程(1)、(2)、(32)～(34)、(37)～(40)可写为

(41)

(42)

优化方程的色散性是通过以下过程实现的：从0到指定水深范围内将方程的相速度与线性解析解的均方误差和累加，使其取最小值，从而确定参数α的取值，即采用式(43)的误差最小时对应的参数值。

(43)

当κ0=100时，可以优化出来α=0.059 6，近似地取α=0.06，此时水深h1=0.12h。我们也将α为0.1、0.25对应相速度的计算结果一并绘制在图1中。

图1　模型1的相速度Fig.1　Phase celerity of model 1

由图1可见，当α=0.06时，1%误差对应着的最大水深kh=210。同样地对模型2也进行了优化，取κ0=25时，参数值为0.121 6，近似地取α=0.12，分层水深h1=0.24h，方程的相速度见图2，1%相速度误差对应着的kh=48。以上表明模型1和模型2均有很高的色散精度。

图2　模型2的相速度Fig.2　Phase celerity of model 2

2.2速度剖面

模型1沿水深的水平与垂直速度分量与解析解的比较见图3。由图可见，速度与解析解吻合程度良好。为分析沿水体垂向的速度误差，我们采用Madsen等给出的表达式[2]：

(44)

用式(44)定义计算出来的速度误差见图4.1%误差下，水平和垂直速度适用水深kh分别是114和119，这表明提高了方程的色散精度，速度沿水深分布的特征也十分精确。沿垂向水深上，模型2水平与垂直速度分量与解析解的对比在图5中给出，相应的误差见图6。由图可见，1%误差下，Fu和Fw适用水深kh均是19.2。

图3　模型1的速度剖面(实线代表理论解, 虚线代表模型1)　　　　　Fig.3　Vertical profile of velocities for model 1(solid line is for analytical solution, and dash line is for model 1)

图4　模型1的速度误差Fig.4　Velocity errors of model 1

图5　模型2的速度剖面(实线代表理论解,虚线代表模型2)　　　　　　Fig.5　Vertical profile of velocities for model 2(solid line is for analytical solution, and dash line is for model 2)

图6　模型2的速度误差Fig.6　Velocity errors of model 2

2.3波-波相互作用的和差频

准确再现非线性波-波相互作用的演化过程，阐释非线性波-波相互作用机理，势必要求数学模型除了优秀的色散性外，还应具备良好的和差频性能。一般来说，将方程关于波-波相互作用和差频的理论计算结果与相关解析解结果进行比较，来考察各类Boussinesq方程的非线性性能[1-3,5,8-9]。

图7和图8中分别给出了模型1的参数取值α=0.06和模型2中α取值0.12的计算结果。由图可见，模型1也具有极佳的非线性性能，1%误差下和差频的最大适用水深kh分别为140、103。1%误差下模型2和差频的适用水深kh分别是35、28。

图7　模型1的和差频Fig.7　Super-and sub-harmonics of model 1

图8　模型2的和差频Fig.8　Super-and sub-harmonics of model 2

2.4比较分析

将本文方程在相速度、沿水深分布的速度、和差频等3方面性能与Madsen等的方程[2-3]、Lynett和Liu[6]的4层模型的加以比较，并汇总于表1，由表可见，模型1具有无比优良的色散性和非线性特征。

1)模型1比Madsen等模型(高阶)的速度分布特征更胜一筹，这是因为前者多引入一层的速度信息。多1层信息使得方程的解更能接近Laplace理想解，因而对应方程的色散性和非线性精度也大幅度提高。Agnon等成功分离非线性与线性，推导出来的方程非线性与色散性一样达到很高的精度[1]；Madsen等在Agnon等研究基础上，实现了色散性和非线性精度的突破[2-3]；本文在Madsen等研究基础上，采用了分层的理念，最终实现了在色散和非线性等性能方面质的飞跃，特别是速度分布适用范围更大，其是Madsen等方程的11.4倍。

2)与模型Madsen等、Lynett和Liu[6]的4层模型相比，模型2在线性和非线性等性能更好，这是因为Madsen等模型色散关系式是Padé(8, 10)，模型2是Padé(10, 12)，而Lynett和Liu[6]的则是Padé(8, 8)。Lynett和Liu的4层模型水平速度为二次表达式，垂向速度是线性分段的，而本文模型2的水平速度和垂向速度均是互耦的，最高次均是3次，因而垂向速度和水平速度的精度都很高。在展开过程中，必须保证垂直速度和水平速度展开项是互耦才能提高方程的性能。而传统Boussinesq方程推导过程中将垂向速度用低阶的水平速度来表达，这导致垂向精度都不如水平速度的精度高。

3)模型1、2均含9个变量(水平速度矢量看成1)，差别在于模型1含高阶项，其是导致模型1具备更优良性能的主因，但这给数值求解带来了巨大挑战；而模型2最高空间导数是3次，更便于数值计算。

表1　表1不同模型最大适用水深比较(1%误差内)

3　结论

从Laplace控制方程出发，推导出了两组适合极端深水的双层Boussinesq水波方程，并对模型进行了理论分析，研究结果表明：

1)双层Boussinesq水波方程的线性、非线性性能在更大范围内与解析解较为吻合，且超过了Madsen等学者的单层模型的水深适用范围，这说明双层概念的引入来拓展Boussinesq适用性是非常有效的。

2)双层Boussinesq水波方程的速度适用范围大约是单层模型的5倍左右，双层概念的引入促使方程具备更佳的速度剖面特性，这说明双层模型的速度更逼近于解析解。

以上两点也说明，若将水体分成更多层，则方程在线性和非线性等方面的精度将会进一步提高。此外，本文模型针对常水深情况导出的，下一步将对方程进行拓展，使其适于变水深情况。

[1]AGNON Y, MADSEN P A, SCHFFER H A. A new approach to high-order Boussinesq models[J]. Journal of fluid mechanics, 1999, 399: 319-333.

[2]MADSEN P A, BINGHAM H B, LIU Hua. A new Boussinesq method for fully nonlinear waves from shallow to deep water[J]. Journal of fluid mechanics, 2002, 462: 1-30.

[3]MADSEN P A, BINGHAM H B, SCHFFER H A. Boussinesq-type formulations for fully nonlinear and extremely dispersive water waves: derivation and analysis[J]. Proceedings of the royal society A, 2003, 459(2033): 1075-1104.

[4]MADSEN P A, AGNON Y. Accuracy and convergence of velocity formulations for water waves in the framework of Boussinesq theory[J]. Journal of fluid mechanics, 2003, 477: 285-319.

[5]LYNETT P, LIU P L F. A two-layer approach to wave modeling[J]. Proceedings of the royal society A, 2004, 460(2049): 2637-2669.

[6]LYNETT P, LIU P L F. Linear analysis of the multi-layer model[J]. Coastal engineering, 2004, 51(5/6): 439-454.

[7]刘忠波, 房克照, 孙昭晨. 适合可渗海床上波浪传播的高阶Boussinesq方程[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2013, 34(9): 1100-1107.

LIU Zhongbo, FANG Kezhao, SUN Zhaochen. High order Boussinesq equations for wave propagation over permeable seabed[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2013, 34(9): 1100-1107.

[8]LIU Zhongbo, FANG Kezhao, LÜ Lin. A double-layer depth-averaged Boussinesq model for water wave[J]. Journal of ship mechanics, 2015, 19(9): 1072-1084.

[9]LIU Zhongbo, FANG Kezhao. Two-layer Boussinesq models for coastal water waves[J]. Wave motion, 2015, 57: 88-111.

[10]赵彬彬, 段文洋. 全非线性深水波的Green-Naghdi理论研究[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2009, 30(8): 860-866.

ZHAO Binbin, DUAN Wenyang. Research on the Green-Naghdi theory for fully nonlinear deep water waves[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2009, 30(8): 860-866.

本文引用格式：

刘忠波，房克照，孙昭晨. 适合极端深水的双层高阶Boussinesq水波方程[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2016, 37(8): 997-1002.

LIU Zhongbo,FANG Kezhao , SUN Zhaochen. Two-layer high-order Boussinesq model for water waves in extremely deep water[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(8): 997-1002.

Two-layer high-order Boussinesq model for water waves in extremely deep water

LIU Zhongbo1,2, 3,FANG Kezhao2, SUN Zhaochen2

(1. Transportation Management College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology Dalian, 116024, China; 3. Key Laboratory of Water & Sediment Science and Water Hazard Prevention of Hunan Province, Changsha University of Technology, Changsha, 410114, China)

To accurately describe strongly nonlinear wave motion in deep water, a new two-layer Boussinesq model for water waves is derived in this paper with excellent dispersive and nonlinear properties in extremely deep water. First, we separated the fluid into two parts: the upper layer and lower layer. Then, using Taylor expansion, we expanded the velocity potential in the vertical direction at the still water surface and interface, and the velocity at arbitrary water depths can be expressed by the velocities defined atz=0 andz=-h1, respectively. Second, we replaced these two velocities defined at z=0 andz=-h1with two velocities defined at midwater depths within the two layers, which were further replaced by two computational velocities. Then, other velocities at arbitrary water depths could be expressed by these computational velocities. Finally, by applying this velocity information to dynamic and kinematic equations at the surface elevation to the velocity connection condition atz=-h1and to the bottom condition, we derived a two-layer Boussinesq model. A Fourier analysis is conducted to this model, and the linear dispersion expression is Padé (18, 20). Moreover, when the interface water depth is set toh1= 0.12h, the model exhibits extremely dispersive and highly nonlinear properties. Within 1% error, the model can be applicable to maximum water depthskh=210 for phase celerity,kh=114 for vertical profile of the velocities, andkh=103 for super-and sub-harmonics.

Boussinesq wave equations; computational velocity; dispersion; nonlinearity; super-and sub-harmonics; velocity profile

2016-03-18.网络出版日期：2016-07-04.

国家自然科学基金项目(51579034)；辽宁省教育厅科学研究一般项目(2015062)；水沙科学与水灾害防治湖南省重点实验室开放基金项目(2015SS01)；中央高校基本科研业务费专项资金(3132016052).

刘忠波(1976-), 男, 副教授，博士；

孙昭晨(1960-)，男，教授，博士生导师.

刘忠波,E-mail: zhongbo_liu1976@163.com.

10.11990/jheu.201603065

O353.2

A

1006-7043(2016)08-0997-06