李南南 ,王瑞英
(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)
L-fuzzy拓扑空间中α-开运算及α-紧性
李南南 ,王瑞英
(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特010022)
给出了L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzyα-开运算的定义.然后借助L-fuzzy α-开运算给出L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzy α-紧的定义;其次给出L-拓扑空间中开覆盖及fuzzy α-紧的定义;并分别得到了一些相关性质;最后讨论了L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzy α-紧与L-拓扑空间中fuzzy α-紧之间的关系.
L-fuzzy拓扑空间;L-fuzzyα-开运算;fuzzyα-紧
α-开集是一种推广型开集,文献[1]中给出它的定义,在文献[2]中给出了经典拓扑空间中紧性理论.在文献[3]中给出了I-拓扑中紧性理论,在文献[4]中给出了L-拓扑空间中紧性理论,在文献[5]中给出了L-拓扑空间中紧性理论的新形式,那么是否能够给出L-fuzzy拓扑空间中的α-紧性理论呢?在文献[6]中给出了L-fuzzy拓扑空间中开运算的定义,在文献[7]中给出了L-fuzzy拓扑空间中半-p-开运算和开运算及其相关性质,在文献[8]中给出了L-fuzzy拓扑空间中半-p-紧性的概念及其相关性质,在文献[9]中给出了L-fuzzy拓扑空间中半-p-开运算定义及半-p-紧性理论.本文在以上理论基础上,给出了L-fuzzy拓扑空间中α-开运算的定义及α-紧性理论.
下面给出本文常用的一些概念和结论.
本文中(L,≤,∨,∧,′)是满足补余律的F格[10],X是非空集,L中的最大元和最小元记为⊤和⊥,LX是X上所有L-集.LX中的最大元和最小元记为⊤和⊥.L中元素a称为素元当且仅当若a≥b∨c有a≥b或a≥c.L中元素a,若a′是素元,则称a为余素元.L中全体非零余素元记为M(L).
定义L上的一个二元关系≺:a,b∈L,a≺b⇐⇒对于任意的非空集D⊆L,若supD≥b,则存在d∈D使得a≤d.在完全分配格L中,任意b∈L,b=∨{a∈L|a≺b},集合{a∈L|a≺b}称为b的极大极小集[13-14]记为β(a).
定义 1.2[15-18]若映射T:LX-→L满足:
(1)T(⊤)=T(⊥)=⊤;
(2)∀U,V∈LX,T(U∧V)≥T(U)∧T(V);
则称T是X上的L-fuzzy拓扑,(X,T)称作是X上的L-fuzzy拓扑空间,称T(U)是U一个开集的度.
对于任意的a∈L和映射T:LX-→L,采用文献[19]中的记号
定理 1.1[20]映射T:LX-→L,有以下等价命题:
(1)T是X上的L-fuzzy拓扑
(2)对于∀a∈M(L),T[a]是X上的L-拓扑
定理1.2[5]设(X,τ)是L-拓扑空间,A∈LX,若A≤A◦-◦,则称A是τ中的α-开集.定义1.3[5]设(X,τ)是L-拓扑空间,G∈LX,如果对于LX的任意α-开子集U,有
则称G是fuzzy α-紧.这里2(U)是U的所有有限子集的集合
定义2.1 设T是X上的L-fuzzy拓扑,定义映射Tα:LX-→L如下:
这时称Tα是由T诱导的L-fuzzy α-开运算,Tα(A)称A是一个α-开集的度.
证明若∀i∈I,a/≤bi,a≤⊤=bi∨b′i,
知a≤a′,a∧a≤a′∧a.由a′∧a=⊥得a≤⊥,矛盾!
引理2.2(X,T)是L-fuzzy拓扑空间,给定a∈M(L)和T[a],则
证明(⇒)只需证∀yµ≺C,有yµ≤B-,,如若不然∃y′µ≺C,有y′µ/≤B-,则由B-≥B,得y′µ/≤B-≥B,而B-′∈T[a],则T(B-′)≥a,(T(B-′)′≤a′,因此
得a≤a′,便有a=a∧a≤a′∧a=⊥,矛盾!(⇐)只需证
则 ∃D∗,y′µ/≤D∗≥B,(T(D∗′))′/≥a,且又有T(D∗′)/≥a,若不然T(D∗′)≥a,则D∗′∈T[a],即 D∗是T[a]中的闭集,由D∗≥B得 D∗≥B-,又由y′µ≤B-得 y′µ≤D∗矛盾!所以T(D∗′)/≥a,又因为a∈M(L),则a/≤T(D∗′)∨(T(D∗′))′=⊤,矛盾!
定理2.3 设(X,T)是L-fuzzy拓扑空间,A∈LX,a∈M(L),则A∈(Tα)[a]当且仅当A 是T[a]中的α-开集,其中(Tα)[a]={A∈LX|Tα(A)≥a}.
证明A∈(Tα)[a]⇐⇒ Tα(A)≥a
定义3.1设(X,T)是L-fuzzy拓扑空间,G∈LX,如果对于LX的任意子集P,有
则称G是L-fuzzy α-紧.这里2(P)是P的所有有限子集的集合
定义3.3 设(X,τ)是L-拓扑空间,a∈M(L),G∈LX,G称是a-fuzzy α-紧当且仅当对于任意b∈β(a),G的Qa-α-开覆盖U,都存在U的有限子集V,V是G的Qb-α-开覆盖.
定理3.1设(X,τ)是L-拓扑空间,G∈LX,则∀a∈M(L),G是fuzzy α-紧当且仅当G 是a-fuzzy α-紧.
所以
于是
所以G是a-fuzzy α-紧.
(⇐)对于LX的任意α-开子集U,
由G是a-fuzzy α-紧,所以∀b∈β(a),∃ψb是U的有限子集,ψb是G的Qb-α-开覆盖,且
所以
进而
因此
所以G是fuzzy α-紧.
定理 3.2设 (X,T)是 L-fuzzy拓扑空间,G∈LX,则 ∀a∈M(L),G在 (X,T)中是L-fuzzy α-紧当且仅当G在(X,(T)[a])中是a-fuzzy α-紧.
因为G在(X,T)中是L-fuzzy α-紧,所以
(⇐)因为
所以
所以所以
所以G在(X,T)中是L-fuzzy α-紧.
定理3.3 设(X,τ)是L-拓扑空间,a∈M(L),G、H∈LX若G是a-fuzzy α-紧且H 是α-闭集,则G∧H是a-fuzzy α-紧
证明设U是G∧H的Qa-α-开覆盖,∀b∈β(a),∀x∈X,有
定理 3.4设(X,τ)是L-拓扑空间,a∈M(L),G,H∈LX若G,H是a-fuzzy α-紧,则G∨H是a-fuzzy α-紧
证明 设U是G∨H的Qa-α-开覆盖,∀b∈β(a),则∀x∈X,有所以
由G,H是a-fuzzy α-紧,则∃V1,V2是U的有限子集,V1,V2分别是G和H的Qb-α-开覆盖,所以
令V=V1∨V2,则V是U的有限子集且
因此
所以V是G∨H的Qb-α-开覆盖,即得G∨H是a-fuzzy α-紧
定理3.8 设(X,T)是L-fuzzy拓扑空间,G∈LX,若G是L-fuzzy α-紧且Tα(H′)=⊤,则G∧H是L-fuzzy α-紧
证明由Tα(H′)=⊤和
所以G∧H是L-fuzzy α-紧.
本文给出了L-fuzzy拓扑空间中α-开运算的定义,在此定义的基础上研究了L-fuzzy拓扑空间中L-fuzzy α-紧,同样,我们可以在此定义的基础上,在后面的工作中可以研究L-fuzzy拓扑空间中的连通性,分离性等拓扑性质,还可以研究L-fuzzy拓扑空间中连通度,紧度等问题。
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2010 MSC:54A40
Regular open set in L-fuzzy Topology
Li Nannan,Wang Ruiying
(College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China)
In this paper,we give the concept of L-fuzzy α-open operator in L-fuzzy topological spaces and use it to obtain L-fuzzy α-compactness in L-fuzzy topological spaces.Moreover we give the concept of open cover and a-fuzzy α-compact in L-topological spaces and its related properties.Finally,We also study the relationship between L-fuzzy α-compactness and fuzzy α-compactness in L-topological spaces.
L-fuzzy topological spaces,L-fuzzy α-open operator,a-fuzzy α-compact
O189
A
1008-5513(2016)04-0499-07
10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.009
2013-07-18.
内蒙古师范大学研究生科研创新基金(CXJJS12030);内蒙古自然科学基金(2012MS0121,2010MS0118);内蒙古自治区高等学校科学技术研究项目(NJZY11033).
李南南(1986-),硕士生,研究方向:模糊拓扑.