绳牵引摄像机器人的力位混合稳定性评价方法

刘 鹏，仇原鹰

（西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，陕西西安 710071）

绳牵引摄像机器人的力位混合稳定性评价方法

刘 鹏，仇原鹰

（西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，陕西西安 710071）

首先，以绳牵引摄像机器人的索拉力求解和运动学分析为基础，提出了以拉力最小绳索的索拉力以及该绳索与水平面夹角的正切值为因素的力位混合稳定性评价指标，用于评价摄像平台运动的稳定性，并定义了满足一定稳定条件的稳定工作空间；其次，进一步将摄像机器人受到扰动后的工作空间与稳定工作空间进行比较；最后，仿真算例验证了采用力位混合稳定性求解指标的合理性.

绳牵引并联机器人；摄像机器人；稳定性；工作空间；力位混合

与传统的刚性并联机器人相比，由于绳牵引并联机器人采用质量轻的绳索作为驱动元件，具有质量轻、惯性小、可实现高速运动、干涉发生的几率较小和工作空间大等优点，因此，已先后应用于虚拟现实、天文观测、风洞试验以及高空摄像等领域［1］.但是由于采用柔性较强且只能单向承载的绳索作为驱动元件，所以绳牵引并联机器人面临着更多挑战性的问题，其中稳定性就是一个很关键的问题［2］.索拉力作为对末端执行器的约束，其对稳定性也会产生较大的影响.

随着电视转播技术的进一步发展，常需进行空中全景式拍摄，以往的拍摄方法是借助摇臂、曲臂升降车和直升飞机等设备实现.但是摇臂摄像机和曲臂升降车摄像系统工作区域和拍摄角度非常有限，且易于干扰观众视线；直升飞机航拍，震颤和噪音干扰大，成本高昂.近年来借助于绳牵引并联机器人可完美实现这种大范围的全景拍摄要求［3］.目前已知的绳牵引摄像机器人速度可达9 m/s，这种高速的运动特性更要求有较强的稳定性才能使绳牵引摄像机器人正常运行.该机器人系统由1个中央控制处理器同时驱动4个独立的卷扬机，每个卷扬机上的绳索通过架设在场地角落支撑杆的顶端滑轮牵引摄像机平台运动.由于摄像平台采用了复合铰结构，使得摄像机的转动和平动可实现完全解耦，摄像机平台在工作空间内具有3个平动自由度.因此，可将摄像机平台抽象成点状，在其工作空间内不必考虑干涉问题［4］.与慢速稳定跟踪恒星运行的大型射电望远镜绳牵引并联机器人［5］和飞行器风洞绳牵引并联机器人［6］相比，绳牵引摄像机器人具有高速性与机动性特征，因此，其运动的稳定性显得尤为重要.

已经有一些学者先后对并联机器人的稳定性进行了研究.文献［7-8］采用刚度矩阵对完全约束刚性并联机器人的稳定性进行分析，研究表明，当关节柔性所产生刚度矩阵的系数为正值时，完全约束并联机器人是稳定的.但是，由于内力所产生的刚度矩阵为非对称矩阵，所以，当有外界干扰力作用于末端执行器上时，完全约束并联机器人的运动有可能是不稳定的.该方法虽然可通过刚度矩阵对并联机器人的稳定性进行评价，但是，其研究仅限于刚性杆驱动的并联机器人，并且，采用刚度矩阵来反映并联机器人末端运动的稳定性，仅仅只是从约束的方面对稳定性进行阐述，不能从约束力和当前末端所处位置两个方面较为全面地反映末端运动的稳定性.文献［9］提出一种新的求解总刚度矩阵的方法，并利用所求解的总刚度矩阵去评价绳牵引并联机器人的稳定性.但是，其求解总刚度矩阵的方法是建立在把绳索简化为线性弹簧基础上的，与实际的绳索模型误差较大，其求解的刚度矩阵存在一定的误差.并且，上述文献对稳定性的求解过于苛刻，其稳定性的状态仅仅存在稳定和不稳定两种状态，不能客观、量化地反映绳牵引并联机器人末端运动的稳定性.文献［10-11］研究了欠约束绳牵引并联机器人基于斜率的稳定性的衡量方法.虽然该方法可量化地反映绳牵引并联机器人末端运动的稳定性，但是，没有考虑索拉力对稳定性的影响，也没有对完全约束和冗余约束的绳牵引并联机器人进行研究.文献［12］提出了一种约束优化算法对欠约束绳牵引并联机器人基于几何静态平衡的模型稳定性进行分析.但是，该方法对稳定性的研究仅限于处于静态平衡的欠约束绳牵引并联机器人.文献［13］对绳牵引并联机器人的动力学建模和控制进行了研究，提出了一种基于绳长的控制算法，并对算法的稳定性进行了研究.但是，其研究的本身是控制算法的稳定性，而没有涉及到末端执行器运动的稳定性.上述文献虽然采用了不同的方法对刚性或柔性并联机器人的稳定性进行分析，但是，这些方法都是从刚度或者控制算法等方面对稳定性进行阐述的，对影响稳定性的因素考虑比较单一.

由于绳牵引并联机器人抵抗外载干扰的结构稳定性能既与末端平台所处的位置有关，也与索张力的大小有关［10］，因此，笔者从末端执行器的位置和最小约束的索拉力两个方面分析摄像机器人的稳定性，提出力位混合的稳定性指标.在位置性能因子和索力性能因子的基础上，把两者对末端执行器运动的稳定性进行加权综合，进而更加全面客观地反映末端运动的稳定性.该稳定性指标采用区间［0，1］之间的数值来衡量摄像机器人的稳定性，可用来求得满足一定要求的稳定工作空间.首先，建立摄像机器人的运动学模型，采用两个位置性能因子来衡量末端所在的位置点相对于工作空间的中心区域和上边界的距离.其次，研究摄像机器人的索拉力求解问题，将冗余索拉力的求解转化为对具有一定目标函数优化问题的求解.进而使工作空间中任意位置点的最小索拉力确定下来.在此基础上，采用两个索拉力性能因子用于分析最小索拉力在工作空间不同区域的分布情况.基于位置性能因子和索拉力性能因子，提出绳牵引并联机器人的力位混合稳定性，并利用抗扰动稳定工作空间证明了力位混合稳定性指标用于评价末端稳定的合理性.

图1　摄像机器人的运动学简图

1 摄像机器人的位置性能因子和索拉力性能因子

1.1摄像机器人的位置性能因子

摄像机器人的运动学简图如图1所示.建立全局坐标系O-XYZ，oBi= ［oxBi，oyBi，ozBi］T（i=1，2，3，4），为支柱上滑轮与绳索的铰接点在全局坐标系下的位置矢量；oPo′=［oxo′，oyo′，ozo′］T，表示在全局坐标系下的工作云台位置.

绳索的长度矢量O′Bi在全局坐标系中为

绳索的长度为

第i根绳的绳长方向的单位矢量为

图2　末端索拉力和位置性能因子相关因素示意图

如图2所示，P为末端当前位置点；Q为P点所在水平面与工作空间竖直中线的交点；M为工作空间竖直中线最上面的位置点；θ为工作空间中任一位置点处4根绳索中拉力最小的绳索与水平面的夹角；θP、θQ、θM分别为点P、Q、M处的θ角.基于摄像机器人的运动学分析，提出两个位置性能因子Rs-和Rs⊥来衡量当前位置点距工作空间的中心和上边界的距离，分别表示为

其中，θ=arcsin（（H-ozo′）ρi）；ozo′为末端执行器与绳索铰接点所在平面的高度坐标；H为索塔的高度；ρi为在位置点P、Q和M处4根绳索中索拉力最小的绳索的索长.

1.2摄像机器人的索拉力性能因子

由于绳索受力的单向性，为保证摄像机器人末端执行器完全可控，摄像机器人必须采用驱动冗余.这种驱动冗余性导致求解的各根绳索的拉力值不惟一确定，而在机构的实际运动控制需实时计算各根绳的拉力.所以，为解决索拉力的不确定性，必须研究索拉力优化分配问题［4］.可通过符合实际需要的某种优化的指标，惟一地确定各根绳索的拉力.

利用Newton-Euler法，摄像机器人末端执行器基于动态静力分析的力学平衡方程可表示为

其中，J=［J1，J2，J3，J4］∈R3×4，为结构矩阵，Ji=ui，i=1，2，3，4；T=［t1，t2，t3，t4］∈R4，为索拉力矢量；W∈R3，表示作用在末端执行器的外力螺旋，包括惯性力、科氏力等；Tsmin=［t1，min，t2，min，t3，min，t4，min］∈R4，T smax=［t1，max，t2，max，t3，max，t4，max］∈R4，ti，min和ti，max（i=1，2，3，4）分别为第i根绳的最小预紧力和最大拉力.绳索的最小预紧力是为防止发生绳索的虚牵和限制绳索的下垂；绳索的最大拉力是由绳索材料强度和驱动电机功率所决定的.

根据力学平衡方程式（5），可得

其中，J+∈R4×3，是结构矩阵J的Moore-Penrose广义逆；Null（J）∈R4×1，为J的零空间基底；λ为任意标量.

将式（7）代入式（6），得

形成关于标量λ的线性约束条件，使得结构矩阵的一维零空间向量Null（J）λ落在有界的正实数空间内.

对于绳牵引摄像机器人，索拉力优化模型可表示为

其中，η是优化性能指标，采用不同的优化性能指标，式（9）所求解的索拉力T有不同的物理意义.

在文中，索拉力的最小方差被用作优化指标，来惟一确定绳索的拉力，即式（9）中的优化性能指标

其中，E（T）=（t1+t2+…+tm）m，为索拉力向量T的算术平均值.采用索拉力的最小方差作为优化指标是因为最小方差能够使每组求解的索拉力比较均匀，索拉力的差别比较小，这样能够有助于末端执行器更加平稳的运行.

基于式（9）求解的索拉力向量，在工作空间的任意位置点P处的最小索拉力可用下面的式子来计算:

其中，min（·）表示索拉力向量的最小的分量.

如图2所示，TP，min为工作空间内任一位置点P处4根绳索中拉力最小的绳索的索拉力；TQ，min和TM，min分别为点Q和M处拉力最小绳索的索拉力.在最小索拉力被确定的基础上，两个索拉力性能因子R-和R⊥被提出用于研究最小索拉力在工作空间的水平切面以及竖直中线上的分布情况.分别表示为

从式（4）和式（11）可以看出:位置性能因子为角度θ的函数，索拉力性能因子为最小索拉力Tmin的函数，而角度θ表示任一位置点处4根绳索中具有最小索拉力Tmin的绳索与水平面的夹角.因此，位置性能因子和拉力性能因子是密切相关，都与当前末端所处的位置点的索拉力最小的绳索相关.

2 绳牵引摄像机器人的稳定性评价

2.1绳牵引摄像机器人稳定性的定义和评价方法

由于绳牵引摄像机器人采用轻质柔软的绳索来驱动末端执行器，所以当其受到外界干扰时，有可能在外界干扰的迫使下改变其末端当前的位置.如果外界干扰改变了绳牵引摄像机器人末端的位置，则机器人是不稳定的.所以，绳牵引摄像机器人的稳定性指的是，当机器人受到外界干扰时，其约束最弱的方向上抵制外界干扰的能力.绳牵引摄像机器人的稳定性主要受到两个方面的影响:绳牵引摄像机器人末端执行器在工作空间所处的位置和当前位置点处4根绳索中拉力最小绳索受到的索拉力.对于最小索拉力一定的所有位置点，由于其在工作空间中所处的位置不同，末端的稳定性可能不同；而在相同的位置点，由于载荷的不同，求解的冗余索拉力也不同，进而造成同一位置点的最小索拉力不同，其末端的稳定性也不同.所以，可从摄像平台在工作空间所处的位置以及当前位置点摄像平台受到的最小索拉力两个方面来对稳定性进行研究，综合式（4）和式（11），提出绳牵引摄像机器人加权的力位混合稳定性指标Ω，用于衡量末端执行器在整个工作空间运动的平稳性.把加权的力位混合稳定性指标的数值大小称为稳定度，用来反映摄像平台在当前位置点的稳定程度.Ω可表示为

其中，p1、p2、q1和q2为权系数，p1+p2=1，q1+q2=1.

对于权系数有如下选取原则:一般来说，每组权系数p1、p2、q1和q2对应于一种构型参数和冗余索拉力优化目标的稳定度.对于同一构型参数和相同的冗余索拉力优化目标，取不同的权系数p1、p2、q1和q2，在工作空间的相同位置点，求解的稳定度是不同的.在对绳牵引摄像机器人稳定度的求解过程中，权系数p1、p2、q1和q2反映了索拉力性能因子和位置因子对末端稳定性的贡献，它们都是小于1的正数，且p1+p2=1，q1+q2=1.由于R⊥和Rs⊥分别表示工作空间竖直中线上最小索拉力的分布以及竖直中线上任一位置点距工作空间上边界的距离，又由于竖直中线在全工作空间中处于完全对称的位置，所以，权系数q1和q2都取0.5.对于权系数p1和p2，由于p1和p2分别表示索拉力性能因子R-以及位置性能因子Rs-对末端执行器稳定性的影响，因此，若索拉力性能因子和位置因子对末端稳定性的贡献相同，则可将它们均选为0.5；若索拉力性能因子对末端稳定性的贡献较大，则对应的权系数p1要大于0.5，而相应的权系数p2要小于0.5；若位置因子对末端稳定性的贡献较大，则对应的权系数p2要大于0.5，而相应的权系数p1要小于0.5.综上所述，鉴于文中选取绳牵引摄像机器人的构型尺寸、绳索拉力限制条件以及冗余索拉力优化求解目标，由于位置因子对末端执行器稳定性的贡献较大，因此，取权系数p2=0.6，p1=0.4较为合理，这样能够较为客观地反映位置性能指标和索拉力性能指标对末端执行器稳定性的影响.

文中所提出的力位混合稳定性指标Ω一般取值范围Ω∈［0，1］.其中，Ω=0，对应于工作空间之外的位置点，因为其处于工作空间之外，所以认为其稳定度为0；Ω=1，对应于全工作空间稳定性最好的位置点，即工作空间竖直中线与工作空间顶面交点的稳定性最好，其值等于1；其余工作空间内其他位置点的稳定度都介于0和1之间.

2.2结合稳定度的稳定工作空间求解流程

绳牵引摄像机器人任务空间中每一位置点都对应一个稳定度，可把符合一定稳定度条件的位置点集合起来，形成稳定工作空间.稳定工作空间的求解流程如下:

（1）输入绳牵引摄像机器人末端的实时的位置Xi，稳定度的限制值Ω*min，外力螺旋W（Xi），i=1.

（2）计算雅克比矩阵J（Xi），并求得雅克比矩阵的零空间矩阵Null（J（Xi））.

（3）利用索拉力优化模型式（9）和式（10），分别求解出所有绳索的索拉力和当前位置点的最小索拉力Tmin（Xi）.

（4）采用式（4）求得当前位置点的位置性能因子，利用式（11）求得当前位置点的索拉力性能因子.

（5）再利用式（12）求解出当前位置点的稳定度值Ω（Xi）.

（6）判断Ω（Xi）是否大于Ω*min，若是，则记录并输出当前位置点的坐标；若不是，进行下一点的判定，i=i+1.

（7）判断Xi是否为最后一个位置点，若是，则记录并输出当前位置点的坐标并停止；若不是，转步骤（1）求解下一点的Ω（Xi+1），并进行判定.

2.3绳牵引摄像机器人抗扰动稳定工作空间求解

绳牵引摄像机器人的稳定性:当机器人受到外界干扰时，其抵制外界干扰的能力.换句话说，就是当末端执行器在给定位置点受到外界干扰力时，末端执行器不会在干扰力的作用下离开现在的位置点，就认为末端在该位置点处是稳定的.

这里所陈述的抗扰动稳定工作空间，就是先假定绳牵引摄像机器人末端，在工作空间的所有位置点在外力干扰下不会离开原来的位置，也就是说所有的位置点是稳定的.然后，再根据工作空间索拉力的限制条件，判断属于工作空间内所有位置点的集合，这样构成抗扰动稳定工作空间.在其内部的所有位置点处受到外力干扰后，因为冗余索拉力的通解可调整各根绳索的拉力来平衡外界干扰力.而2.2节所求解的稳定工作空间是指末端摄像平台未受到外界干扰力情况下，结合文中提出的力位混合稳定性评价方法所求解的工作空间.最后，把所产生的抗扰动稳定工作空间和2.2节的稳定工作空间进行比较，证明利用力位混合的稳定度作为衡量末端稳定性的合理性.

3 数值算例

文中以摄像机器人的数值仿真来分析力位混合稳定性指标的合理性.摄像机器人是由4根绳索牵引的三自由度点状机器人，其结构参数如下:末端摄像机的重量为10 kg，索拉力上限Tsmax=［300 N，300 N，300 N，300 N］T，索拉力下限Tsmin=［10 N，10 N，10 N，10 N］T.用1号塔柱作为全局坐标系的原点，则绳索与滑轮连接点的坐标为:B1=［0 m，0 m，23 m］T，B2=［37 m，0 m，23 m］T，B3=［37 m，40 m，23 m］T，B4= ［0 m，40 m，23 m］T.摄像机器人工作空间的竖直中线与水平面的交点坐标为:［18.5 m，20.0 m，0.0 m］T.

图3 稳定度Ω在整个工作空间的分布情况

图3为稳定度在整个工作空间的分布情况.图3（a）和3（b）分别为稳定工作空间索拉力等值线的主视图和俯视图，其侧视图的形状与主视图类似.从图3（a）可以看出，随着Z向高度的增加，稳定度在工作空间逐渐增强.并且，随着向该平面中心位置靠近，稳定度的值也增大.这说明末端执行器在工作空间上部分区域运动时，比在下部区域运动的稳定性强.从图3（b）可以看出，在工作空间水平切面内，中心部分的稳定度较边缘处的稳定度好.并且随着水平切面向工作空间的上方移动，该水平切面内所有位置点的稳定度都会提高，在工作空间的顶面到达最大.这说明末端执行器在工作空间中心区域运动时，比在边缘区域运动的稳定性强.图3（c）为稳定度Ω=0.4时在工作空间形成的曲面，从Z坐标可以看出，该曲面处于工作空间的上半部分，并随着Z坐标的增大，稳定度Ω=0.4的位置点逐渐向边缘散去，这与工作空间的中心稳定度较好是相吻合的.在该曲面的内部所有的位置点的稳定度的值都大于0.4.此曲面可作为具有一定稳定度工作空间的边界曲面，末端执行器只有处于该曲面的内部，才认为其运行是稳定的.综上所述，末端执行器处于工作空间中上部区域的位置点，相对于边缘区域，具有较大的位置性能因子、索拉力性能因子和稳定度，且拥有较均匀的绳索拉力以及较大的最小约束的索拉力.因此，末端执行器在该区域能够更加稳定地运行.

绳牵引摄像机器人的稳定性指“当机器人受到外界干扰时，其约束最弱的方向上抵制外界干扰的能力.”当绳牵引摄像机器人处于正常工作状态时，其所受的干扰一般为水平风扰动，同时水平风扰动会产生沿着Z轴正方向的升力［14］，该升力也会对绳牵引摄像机器人的稳定性产生一定的影响.但相对水平风力，该升力较小.绳牵引摄像机器人的稳定性特指最大扰动力方向上的稳定性，因此，可假设摄像机器人分别受到沿着X轴或Y轴正向或负向，大小等于FX或FY的外界干扰力作用，摄像平台没有离开原来的位置点，即摄像平台在该位置点是稳定的.把摄像机器人末端能够稳定的位置点所形成的工作空间，称为抗扰动稳定工作空间.图4为摄像平台在未受外界干扰力、受到外界干扰力FX=±49 N，FY=±49 N以及干扰力FX=±98 N，FY=±98 N时这3种情况下的工作空间的主视图.在图4中，点状区域内部为摄像平台未受到外界干扰力情况下的工作空间；星形区域内部为摄像平台受到分别沿着X轴和Y轴正向与负向，大小等于49 N的外界干扰力时，其抗扰动稳定工作空间体积占未受到外界干扰力情况下工作空间体积的40.56%；五角星区域内部为摄像平台受到分别沿着X轴和Y轴正向与负向、大小等于98 N的外界干扰力时，其抗扰动稳定工作空间体积占未受到外界干扰力情况下工作空间体积的

18.26%.说明外界干扰对绳牵引并联机器人的工作空间的影响很大.并且，不同大小的外界干扰所形成的抗扰动稳定工作空间形状和体积不同.随着外界干扰的增大，抗扰动稳定工作空间的体积会随之减小.根据文中对稳定性的描述，在图4中所形成的抗扰动稳定工作空间内部，稳定度的值从下边界到上边界，从边缘到中心区域，其稳定度的值从0到1递增.通过图4可以看出，工作空间的中上部区域在受到外界干扰力时，

稳定性较其他部分的稳定性好，这和通过文中所提出的稳定度对摄像机器人稳定性评价所得出的结论相同.总体来说，在工作空间的中心和上部分区域，末端执行器运行的稳定性较边缘区域的好.所以通过基于位置性能指标和索拉力性能指标的力位混合稳定性指标来判断末端运行的稳定性是合理的.

图4　3种外界干扰力下的抗干扰稳定工作空间对比

4 结 论

（1）提出了以拉力最小绳索的索拉力以及该绳索与水平面夹角的正切值为因素的力位混合稳定性评价指标和评价方法，该性能指标主要取决于末端当前位置点在全工作空间所处的位置和末端在该位置点所受到的最小索拉力，所以，可用于其他类型的可把末端简化为点质量的绳牵引并联机器人，如应用于水上环境监测机器人和用于搬运货物的起重机器人等.而对于还需要考虑平台末端姿态影响的绳牵引并联机器人，需要在文中研究的基础上进一步引入末端姿态对稳定性的影响因素，这也是下一步将要做的工作.

（2）结合力位混合稳定度Ω和工作空间的概念，定义并求解了稳定工作空间.它指的是，在其内部的所有位置点的力位混合稳定性指标必须大于或者等于一定的限制值.

（3）通过对摄像机器人受到外界干扰力后工作空间的求解，证明了采用力位混合稳定性的求解指标来评价末端执行器运行的稳定性是合理的.

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（编辑:齐淑娟）

Approach with a hybrid force-position property to assessing the stability for camera robots

LIU Peng，QIU Yuanying
（Ministry of Education Key Lab.of Electronic Equipment Structure，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

Firstly，in order to assess the stability of the camera robots，a stability performance index with combination of force and position is proposed based on the determinations of the cable tensions for a camera robot.Furthermore，the stability performance index is described using the weighted average method，and meanwhile，the stability workspace is designed with the stability performance index.Secondly，a robust workspace with the external wrench is selected to compare with the stable workspace above for the camera robots.Finally，simulation results show that it is suitable to employ the stable performance to evaluate the stability of the camera robots.

cable-based parallel robots；camera robot；stability；workspace；hybrid force-position approac

TP242

A

1001-2400（2016）01-0087-07

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.016

2014-08-18 网络出版时间：2015-04-14

国家自然科学基金资助项目（51175397，51105290）

刘 鹏（1984-），男，西安电子科技大学博士研究生，E-mail:200304405liupeng@163.com.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.013.html