例谈优化解析几何解题策略与方法

☉江苏省如东高级中学 唐 勇

例谈优化解析几何解题策略与方法

☉江苏省如东高级中学 唐 勇

解析几何综合题常作为高考试卷的压轴题，常常会涉及较复杂的一些计算题，综合代数、几何、三角等知识，运算量大，方法与技能方面要求高，让学生最头痛的是计算，这就需要我们认真分析题目，观察已知和未知，认真分析、观察解答过程中的每一步以及题目要求，便可施以技巧，使问题得到简捷解答.从而达到优化解题过程、提高思维品质，使做题达到事半功倍之功效，下面举例予以说明.

一、掌握圆锥曲线基本性质是解题的前提

要想熟练解决解析几何综合题，掌握其基本性质是必要前提.例如，椭圆的第一定义：｛P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c｝，P点的轨迹；椭圆的第二定义：动点到定点F（c，0）的距离与到定直线：x=的距离之比为的点的轨迹；椭圆的焦半径r1=a-ex，r1+r2=2a，得r2=a+ex；椭圆的一个重要结论：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），kPA·kPB=，椭圆的标准方程为等等.

（Ⅰ）求曲线W的方程；

（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2分别交曲线W于A，B和C，D，求四边形ACBD面积的最小值.

图1

（Ⅱ）如图1，直线l，l的斜率存在12且不为0，设直线l1的方程为y=kx+

由l1⊥l2，得l2的方程y=

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6k，x1x2=-9，

点评：第一小问考查到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合是抛物线（抛物线的定义）.第二小问考查的是对角线相互垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，弦长公式，利用基本不等式求最值.通过典型例题的示范，学生做到心中有数，大多数学生能举一反三，让学生摸着石头过河.

二、善于从整体思考问题是解题的关键

解析几何运算量较大，若能从整体考虑，例如经常使用设而不求的方法，往往会取得事半功倍的效果.

解：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.

图2

得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0.

由题意知，Δ1=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-16）＞0，

即m2＜4+16k2.①

则x1+x2=

所以|x1-x2|=

由直线y=kx+m与y轴的交点为（0，m），

再将y=kx+m代入椭圆C，得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

由题意知，Δ2=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）≥0，

即m2≤1+4k2.②

由①②可知，0＜t≤1.

所以，当t=1时，S△OAB取得最大值为2

点评：求解解析几何问题常用的方法是“设而不求”，该方法的关键是合理设置参数，从整体上抓住解题目标，通过整体运算、整体代换、整体换元等方法，如遇“中点弦问题”常用“点差法”，实现化难为易、化繁为简的目的.

三、优化处理计算方法是解题的重要步骤

解析几何题中如何优化计算是解题的重要步骤，常用的方法有点差法、同解式中的类比代换，有效捕捉信息等等.

1.点差法

例3 已知双曲线：x2-=1.过P（1，2）能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且P是线段AB的中点？

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x21-

①-②，得（x1-x2）（x1+x2）-

即（x1-x2）×2-

所求直线的方程为y-2=x-1，即x-y+1=0.

以上这题，先设点的坐标，再做差，求出所求直线的斜率，带入点斜式直线方程，求出直线方程，根本没有什么计算量，很简洁.

2.类比代换

面对问题，我们要认真审题，选好解题的入手点，特别对于似曾相识的问题，要避免先入为主，选对解题方向，绕过非必要的运算.

3.捕捉有效信息，避免“过分运算”

例4 如图3，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且

图3

（Ⅰ）建立适当坐标系，求椭圆的方程；

（Ⅱ）如果椭圆上两点P、Q使直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否存在实数λ，使，请说明理由.

解：（Ⅰ）以椭圆中O为原点，两对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，建立如图3所示的坐标系.于是可设椭圆的方程为，由此椭圆长轴为4，于是a=2.

所以b2=，故椭圆的方程为，即x2+3y2=4.

此问题中运用椭圆的几何性质，发现△OAC是以OA为斜边的等腰直角三角形，进而求得C点坐标，这一点很关键.

（Ⅱ）由直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，可知直线CP，CQ斜率存在且互为相反数，于是设直线CP的方程为y-1=k（x-1），即y=kx+1-k，则CQ的方程为y=-kx+1+k（只需将上式中的k换成-k即得），并设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由韦达定理，得1+x1=-

于是x1=

，所以y1=

由于求Q点的坐标与求P点坐标过程完全相同，只需将-k替换P点坐标中的k，就得Q点的坐标.

点评：由此可见，解题中随时捕捉有用信息，力避“重复计算”“过分运算”，缩短了解题的长度，节约了宝贵的时间资源.

四、加强题型的模式辨别是优化解题的捷径

解析几何综合问题有很多共同点，大多都是由一些“基本题型”构成.深入剖析这些“基本题型”，掌握解决这类问题的一般方法，进而视为你解决其他新问题的工具，这是理解和掌握解析几何的一种有效方法.解析几何题的“基本模型”一般包括：弦长、面积最值问题；定点、定值问题，对称问题，取值范围问题等等，下面仅仅阐述关于“弦长、面积”的基本模型.

图4

求一个量的最大值，首先考虑这个量的变化与哪个变量有关，这是函数思想的应用.本题中△ABC面积的变化随直线AB的斜率变化而变化，因此选择斜率为变量表示面积.一般方法：S△ABC=，d是点C而且到直线AB的距离.分析本题直线AB过左焦点F（-1，0）且|CF|=1，所以S△ABC=S△ACF+

因此可设直线AB方程为x=my-1，引入参变量m，预测得到S=（fm），应用代数方法求最值，而且这种设法不用对斜率k是否存在进行讨论）.与椭圆方程联立消去x得到关于y的一元二次方程（3m2+4）y2-6my-9=0，可求得

以本题为基本模型，你可变换得到很多题目.

变式3 上题中记△ACD与△BCD的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值.

点评：解决解析几何题可以先分析题目规划解题思路，找到相应的基本模型.因此，分析基本题型，内化成分析解决问题的工具，不仅在解析几何中应用，也是解决数学学习中难点的一种有效方法.

通过以上举例我们可以看出掌握概念，抓住问题的核心，透视问题的实质，优化解题过程，提高数学思维品质，学习数学的本质和简单美，使解题者进一步认知数学思想方法，使数学解题巧设巧解、以简驭繁是大有裨益的.