立足经验获取过程，有效突破教学难点——高三第二轮专题复习课“函数中的恒成立、能成立问题”教学实录

☉湖北省宜昌市一中 熊江华

立足经验获取过程，有效突破教学难点
——高三第二轮专题复习课“函数中的恒成立、能成立问题”教学实录

☉湖北省宜昌市一中 熊江华

美国教育家约翰·杜威说过“一盎司经验胜过一吨理论”.仲秀英在研究学生获得数学活动经验的过程结构时，结合杜威的经验理论和皮亚杰的同化“理论”，提出了“原初经验、再认经验、概括性经验”的概念.她把学生从第一次数学活动中获得的数学活动经验称为初始经验，当学生再次遇到和第一次数学活动一样的情景时，第一次的数学活动经验完全再现，学生能照着模式套用，这样的经验称为再生经验.再生经验是在相同活动情景下学生能用前一次的经验完成该情景中的教学任务，能再生同一活动的经验；当学生再次遇到与最初活动情景不同但相类似的情景中时，会把在前一次活动中的经验迁移到活动情景中，于是就有了再认性经验；而当学生在形式不同、本质一样的新情况下，按照“模式”再重复运用这种经验时，这种经验就成为概括性经验.这对指导我们在教学中如何促进学生获得、积累并发展数学活动经验具有十分重要的意义.恒成立、存在性问题既是高中阶段的重点，也是学生学习的难点.很多学生对此常流于简单模仿，对一些结论没有透彻理解，只是机械地记住了一些结论，纯属知其然不知其所以然，致使求解相关问题时方法选择不合理，分类讨论思维不清晰，没有形成有效的解题流程.为有效破解这一教学难题，笔者根据仲秀英给出的获得数学活动经验的过程结构，设计了一节高三第二轮专题复习课“函数中的恒成立、能成立问题”，收到较好的教学效果.以下是对本节课的总体设计思路、课堂教学实录与课后教学感受.

一、总体设计思路

经过第一轮的复习，大多数学生对恒成立、能成立问题并不陌生，也积累了一些有关处理恒成立、能成立问题的活动经验，为本节课的教学奠定了一定的基础.数学活动经验是在活动中产生的，因此学生获得数学活动经验的关键是要能为学生创设良好的问题情境、提出一些好的问题，通过问题驱动引导学生开展数学活动.首先，本节课笔者坚持以问题为导向，通过自主梳理、基础回顾对以前学过的知识和做过的习题进行回顾，梳理解决此类问题的主要思想方法，形成有关处理恒成立、能成立问题的原初经验；其次，通过典例剖析、检测反馈使学生首先能简单模仿、形成再生经验，进而通过变式、交流、讨论等环节能针对不同情形将已有知识方法进行迁移、固化，初步明确解决处理恒成立、能成立问题的主要类型及其思路方法，对如何灵活利用函数的性质和图像去分析转化，如何使分类时机的选择、分类标准的确定、分类层次的把握更加自然合理等问题有一个基本认识，从而形成再认经验；最后，通过总结提炼使学生的经验得到进一步升华，形成解决类此问题的一般解题策略，并能加以灵活应用，形成概括性经验.上述其教学流程可用图1表示：

图1

二、课堂教学实录

1.自主梳理，基础回顾

要求课前学生自主整理以前学过的知识和做过的有关恒成立与存在性问题的习题，思考并归纳其解题策略，并回答下面问题：

问题1：已知函数f（x），x∈D，f（x）存在最小值与最大值.

（1）恒成立问题的转化.∀x∈D，使得f（x）＞M恒成立⇔___________________.

（2）能成立问题的转化.∃x∈D，使得f（x）＞M成立⇔___________________.

设计意图：通过自主梳理，让学生回顾以前做过的有关恒成立、存在性问题的习题，并在此基础上自我归纳此类问题的一些基本结论，意在让学生弄清此类问题的本质，形成解决此类问题的原始经验，为本节课的后续推进奠定坚实的基础.

2.典例剖析，方法探究

例1设函数（fx）=x2-mx+4.

（1）若∀x∈［1，3］，不等式f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若∃x∈［1，3］，不等式f（x）＞0有解，求实数m的取值范围；

（3）若∀m∈［1，2］，不等式f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围.

师：首先请大家完成例题，然后请同学并展示解题解题过程.

生1：第（1）问直接转化为f（x）min＞0，第（2）问直接转化为f（x）max＞0，然后就是一个动轴定区间求最值问题.生2：也可以先采用参变量分离将原式变形为x+＞m.第（1）问直接转化为（x+）＞m，第（2）问直接min转化为（x+）＞m.这样计算要简便很多.max

生3：第（3）问可以变换主元，将（fx）看成关于m的一次函数，令g（m）=-x·m+x2+4，m∈［1，2］，因为（fx）＞0，即g（m）＞0，m∈［1，2］，g（m）min＞0.

生4：第（1）问和第（2）问还可以转化为抛物线y=x2+4与动直线y=mx之间的位置关系.

师：刚才同学们的发言十分精彩，通过以上展示，请同学们思考并回答以下问题：

问题2：解决恒成立与存在性问题的解题策略是什么？有哪些方法？（引导学生深入思考，将活动经验推广）

生5：有四种方法：①直接转化为含参函数最值问题.②参变量分离后再求最值.③转化为两个函数图像的关系.④变换主元.

问题3：比较这些方法的优劣，思考如何做出最佳的选择？通过问题引导学生将做题得到经验及时总结提炼，在比较中积累数学活动经验.

生6：如果能够参变量分离，计算起来要容易些.

生7：有时候转化为两个函数图像的关系会十分直观.

生8：多个变量时可以灵活地选择主元，达到减少变量的目的.

设计意图：由于经过教学环节1学生所形成的解决有关恒成立、能成立问题的经验可能还比较零散、粗糙、模糊，所以通过例1中的三个具体问题，不仅使教学环节1中的两个基本结论得以具体化，使学生遇到类似问题能进行简单模仿，形成此类问题的再生活动经验.而且通过一题多解，使学生能够把握解决有关恒成立、能成立问题的本质，并不断积累解决此类问题的解题经验.

例2已知两个函数f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x.

（1）对任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围；

（2）对存在x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围；

（3）对任意x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2），求实数c的取值范围.

生9：第（1）问和第（2）问可以构造函数h（x）=g（x）-h（x）=2x3-3x2-12x+c，x∈［-3，3］，然后转化为求h（x）的最值问题.

第（3）问有些同学开始还有些困难，经过小组讨论后才逐步理解了为什么要转化为两个函数的最值即f（x）max≤g（x）min.

师：例2与例1有哪些区别与联系？

生10：例2有两个函数，例1只有一个.但是如果只有一个变元可以看成一个整体.

师：例2的第（3）问与第（1）问有哪些区别与联系？

生11：都是两个函数，但第（1）问只有一个变元，移项后可以看成一个整体.第（3）问有两个变元，必须视为两个不同的函数.

设计意图：数学活动经验是学生经历数学活动之后所留下的直接感受、体验和感悟.在学习活动中，经常要对一些相近的、相反的或容易混淆的问题进行比较，通过比较与小组合作，给学生足够时间去思考、讨论、交流、辩论、表达，使学生能运用已有的经验解决类似的问题，实现知识、方法的顺利迁移，从而初步形成再认识经验.

3.检测反馈，巩固提高

练习1：请根据题意在下列横线中填写“∀”或“∃”，并进行解答：

_____x1∈［-3，3］，____x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2），求实数c的取值范围.

答案：

∃x1∈［-3，3］，∃ x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）max；

∃x1∈［-3，3］，∀x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）min；

∀ x1∈［-3，3］，∃x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≥g（x）max.

练习2：已知函数f（x）=lnx-ax＜0恒成立，求实数a的取值范围.

解答略.

设计意图：通过练习1、2，不仅使学生获得的新经验不断得以强化，而且还通过填空使学生能够进行情景创设，将所获得的经验自觉地迁移到新的数学活动和数学情景之中，不断实现经验的模式化、条理化，提高学生解决此类问题的策略和水平.

4.总结提炼，技进乎道

通过这节课的学习，你有什么收获？

生12：解决恒成立、能成立问题——转化为最值（或值域）的问题.

常见方法：①分离参数法；②主元变更法；③数形结合法.

生13：要注意看是一个函数还是两个函数，一个变量还是多个变量.

师：你能不能具体说明一下？

生13：如果只有一个函数的要注意方法的选择：可以直接讨论最值、也可以参变分离后求最值、还可以分拆成两个函数数形结合.如果两个函数就要看有几个变量，一个变量时可看成一个函数，如果有多个变量时要根据条件里给的范围确定主元.

师：非常好，如果有多个变量注意主元的选择，其根本目的是逐步减少变元，由多到一，简化结构，还有吗？（对于学生总结不到位的地方教师要及时完善）

生14：我们还学习了一些重要结论：

（1）∀x∈D，f（x）≤g（x）成立⇔∀x∈D，（g（x）-f（x））min≥0；

（2）∃x∈D，f（x）≤g（x）成立⇔∃x∈D，（g（x）-f（x））max≥0；

（3）∀x1，x2∈D，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min；

（4）∃x1，x2∈D，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）max；

（5）∃x1∈D1，∀x2∈D2，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）min；

（6）∀x1∈D1，∃x2∈D2，有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≥g（x）max.

设计意图：通过本环节，让学生总结提炼有关恒成立、能成立问题的主要类型，反思解决此类问题的基本思路与一般策略，使所获得的经验上升到概括性经验，从而完成对本节内容的知识建构与思想方法的整合，最大限度地实现认知的升华与能力的提升，做到“技近乎道”.

三、课后教学感悟

（1）美国有句名言：“你听到了，你忘记了；你看到了，你记住了；你经历了，你学会了.”数学学习是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.这个过程不可能一蹴而就，也不会一帆风顺，需要在“做”的过程和“思考”的过程中不断磨砺、慢慢积淀、逐步积累、渐渐深化.已有研究证实，学生前期积累的数学活动经验只有参与了多样化的数学活动，经过了多次调用和加工后才能逐渐内化为概括性更强的经验图式，进而真正达到理性的领悟，更有效地推广到同类问题的解决中去.

（2）善于采用变式教学，引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，激活学生的数学活动经验，进而对问题进行更深层次的探索，这样灵活地使用变式教学，既可以免于题海战术，减轻学生负担，做到深入浅出、以点带面，以少胜多，不仅能有效培养学生的思维能力，克服思维定势，提高学生的解题能力及应变能力，而且还能最大限度地激发学生学习数学的兴趣，提高学习的积极性.

（3）合作学习是提升学生数学活动经验的重要手段，学生数学活动经验的领悟与转化常常受到个人学习风格的局限，要克服个人数学活动经验的缺陷，一个重要的方式是给学生提供一个“合作交流”的平台，促进个人经验的交流与融合，实现对个人经验的优化和内化.这样的合作交流提升了活动经验的理性品质，加速了其内化为个体数学素养一部分的进程.在教学实践中，通过合作交流旨在完成对个体活动经验的“四个提升”，即把感性的经验理性化，把模糊的经验明晰化，把松散的经验结构化，把知识型的经验策略化.

（4）数学教学是数学活动的教学，是学生在各种数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经验的过程，同时也是他们获取数学基本知识、基本技能、基本思想的过程.因此在总结数学活动经验时，要引导学生以下四个方面进行提炼：①数学活动经验里的知识性成分；②数学活动经验里的思想方法性成分；③数学活动经验里的体验性成分，即在活动过程中所产生的情绪体验；⑷数学活动经验里的观念性成分，即活动过程中所形成的意识和信念，如应用意识、创新意识、做事的信心与信念等.