MPCK视角下优化策略的三个维度

☉浙江省象山中学 张宗余

MPCK视角下优化策略的三个维度

☉浙江省象山中学 张宗余

数学教学内容知识（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）作为数学教师知识结构的核心，对教师的专业成长具有决定性作用，MPCK的研究也因此成为数学教育界的一个研究热点.笔者结合学习的心得与自身实践，从几个案例出发，重点剖析教师如何在教学过程，采取一定的策略，达到优化数学教师MPCK的目的.

一、数学教学内容知识（MPCK）的理论综述

1.数学教学内容知识（MPCK）的解释

数学教学内容知识（MPCK）是关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识.香港学者黄毅英等提出数学教学内容知识（MPCK）由以下三部分的组成：（1）数学学科知识简称MK）；（2）一般教学法知识（简称PK），指超出学科内容之外的关于课堂组织管理的主要原则和策略；（3）有关数学学习的知识（简称CK），包括学习者，学习背景、学习环境、教育目标与价值、教育情境等知识，并建构出MPCK的结构图（图1）.显然，MPCK是数学教师从事专业教学所应具备的核心知识.

图1

2.研究数学教学内容知识（MPCK）的意义

数学知识具有客观实在性，数学教师的任务是从教学的角度组织与使用这些数学知识，目的是帮助学生正确理解与掌握相关的数学.现阶段的研究表明：教师在数学教与学的过程中，对数学的某一特定内容上的自我优化和指导大部分是由他们的教学内容知识（CK）、学科知识（MK）、教学法知识（PK）等共同决定.但是一些基本的数学知识表面上看非常简单，由于教师自身对知识缺乏理性思考，向学生解释清楚却十分困难，教师的认识和教学实践之间的关系也同样需要进行更多的MPCK理论支持与动态研究，以揭示数学教师个体独有的知识类型，并且促使数学教师对学科知识和教学知识不断进行建构、融合.

3.从一道数学习题的不同解法管窥MPCK

案例1 设α，β∈R，且（α-1）3+2016（α-1）=-1，（β-1）3+2016（β-1）=1，求α+β的值.

初中教师的解法剖析：

解：令（α-1）=m，（β-1）=n，

原式化为m3+2016m=-1，n3+2016n=1.相加分解得（m+n）（m2-mn+n2+2016）=0.因为m2-mn+n2+2016＞0，所以m+n=0，即（α-1）+（β-1）=0，故α+β=2.

高中教师的解法剖析：

解：令f（x）=x3+2016x，易知f（x）是奇函数.因为f（α-1）=-1，f（β-1）=1，所以f（α-1）=-f（β-1）=f（1-β），又因为f（x）是单调递增函数，所以α-1=1-β，即α+β=2.

由于初、高中学生的认知水平和思维水平的不同，教师在综合运用MPCK上显然有明显的区别.初中阶段虽然对立方和公式的掌握与因式分解不作要求或要求降低，但经验丰富的教师知道它对于初中解题和将来与高中数学课程的衔接等方面所起到的重要作用，因此大都会在学习因式分解阶段以将此类知识点作为一种解题技能补充渗透给学生.高中教师则利用奇偶函数的特点和函数的单调性启发学生构造函数f（x）=x3+2016x，f（x）是单调递增函数，f（α-1）=f（1-β），必有（α-1）=（1-β）.方程根的估计过程中，有经验的教师会适当引导学生复习函数零点存在性定理，并描绘出f（x）的大致图像，渗透高等代数的解题思想方法.

二、优化教师MPCK的三个有效维度

数学教学内容知识（MPCK）是一种能够把科学形态的数学有效地转化为教育形态的知识.在日常数学教学中，教师不断地运用MPCK指导课堂教学，评估教学过程，呈现数学背景，体现数学本质等.可见针对教师开展MPCK的研究，对有效促进教师数学教学内容知识（MPCK）的重要性.

1.优化MPCK有效维度一：高观点下审视的初等数学

德国著名数学家克莱因说过“只有在高等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学”.在中学数学教学的过程中，由于学生的心智发展水平和学习特点还处于发展阶段，因此对于教材中的一些问题只是作简单的阐述，并不需要进行探究和讨论.但作为知识拥有者和传授者的教师本身，问题的掌握不可能仅局限于中学那种肤浅的理解层次，而应该在可研究的问题上从高观点、数学史的发展角度去剖析教材与数学问题，高处着眼，低处入手，深入浅出地对其进行探究和挖掘内涵，沟通基本概念间的相互联系，揭示问题的本质含义.

在讲课中某老师给出了如下的优异方法，对cosα+2sinα=-两边求导（把α看作未知数），即得到-sinα+2cosα=0，两边同除以cosα，于是tanα=2.

容易验证，上述方法中得到的答案是正确的，但是上述方法是否正确，为什么能对等式两边求导？对等式两边求导意味着什么？这种求导的方法能否解决一类问题，如：已知msinα+ncosα=c，求tanα.即是说，这种解法具有共性吗？对于原问题，为什么对两边求导的方法也能够求得正确答案呢？是巧合？还是另有原因？

易知，在等式mcosα+nsinα=c中，如果其右边的常数c是函数mcosx+nsinx的最值±，那么用求导的方法是可行的.显然，要解释这个原因，就要清楚这里的求导意味着什么？根据导数的定义，如果要求函数y=（fx）的极值，只需对函数y=（fx）求导，并由f′（x）=0得到相应的x值，代入函数y=（fx）即可求出极值.至此“真相大白”了.正是由于在等式mcosα+nsinα=±中，其右边的常数±是函数y=mcosx+nsinx的极值，而对等式mcosα+nsinα=±两边求导时，得到的tanα的值，正好是mcosα+nsinα取得极值±时需要满足的条件.

所以只有了解初等数学与高等数学之间的联系，适当掌握一些高等数学知识，中学教师才能了解和懂得怎样克服教学中的不足，这对于教学中保证数学的严谨性是有用的.同时，如果教师能够从高观点下审视和研究自己在教学实践中遇到的疑难问题，勇于探索、乐于学习、不断反思，这对自己的MPCK发展无疑是十分有利的.

2.优化MPCK有效维度二：按有意义的顺序来组织和呈现教学内容

数学概念、数学命题的产生有其必要性.要实现教师数学知识课堂教学的有效转化，促进MPCK的生成与发展，就必须建立在对数学知识深刻反思的基础上，按照“知识的发生、发展过程”来呈现内容，不是把知识简单地摆在学生面前.如教师在概念教学时，切忌直截了当地就定义而讲定义，应更多地从概念而产生和形成的过程中为学生提供思维情境，让他们通过观察，比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象.下面是等差数列的概念引出的教学过程：

案例3 人教A版必修5“等差数列”案例.

T：从情景的表格中抽象出一般数列（表格略）.

设计意图1：直观感知的学习.从现实数据中抽象出数学数字，观察数字的表征，感受数字的变化规律.

T：同学们能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？

S1：后一项与它的前一项的差等于常数.（描述1）

T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？

S：不一样，要加上同一常数，

S2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）

T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？

S：不一样，必须从第二项起.

S3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.（描述3）

（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻地理解这四组数列的共同特征：①同一常数，②从第二项起）

设计意图2：描述性定义的学习.在直观认识的基础之上教师引导学生用文字语言描述，通过正反例的举证，不断完善定义.

S4：an-an-1=d.

T：等价么？

S5：应加上d是常数，且n≥2，n∈N*.

设计意图3：形式化定义的学习.教师要求学生用符号语言来定义，再到图形语言的描述，让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性，逐步加深对数学概念的理解.同时注重对数学知识的反思，实现数学学科知识（MPCK）的课堂教学转化，以相应的数学知识为基础，按知识的发生、发展过程来呈现.教师拥有的数学学科知识是课堂灵活运用的基础，只有具备丰富的数学学科知识，且具备良好的表达能力，又善于从学生的角度进行思考，才能够产生高效的教学策略，才能够使用不同的教学表征促进学生对数学知识的了解.

3.优化MPCK有效维度三：促进学生思维参与的教学对话

我们认为教学是“教与学”的统一体，是学生的知识现状与教学目标之间的差距不断缩短，学生不断获得发展的一种动态过程.因此，在教学过程中教师需要了解学生的学习情况（包括学生的已有认知基础、学习难点、学习误区、学习困惑、学习错误、思维方式和学习态度等）.在教学过程中通过教学对话能更真实、更深入了解到学生的学习情况.教师在教学对话中注重激发学生的思维，激发思维是促进学生思维参与的先决条件.教师在教学对话中通过追问、反问和侧问来回应学生，促使学生深入思考问题，同时提升他们的思维参与度.

案例4 人教A版必修2“3.1直线的倾斜角与斜率”教学案例.

尤其值得注意的是，王钻清在进行追问时，直接关注的是我们人类的生存和卑鄙堕落的人性，以至创世的存在。他的诗歌上至天空、宇宙、下至大地和海洋，其开阔的思维和宏大的想象空间，在当代诗坛上可说是独树一帜，极具辨识度的。但无论怎样海阔天空，精骛八极，心游万仞，王钻清的“大时空诗”，却始终能够巧妙地处理好诗歌写作的宏大与细微的关系。其最终的落脚点，依然要回到人类的生存现状和对时间未来的思考：

先创设教学情境，导出坐标法研究方式，探究1：一点能否确定一条直线，通过观察过一点P作无数条直线的区别和几何画板的动画，思考能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度，然后引出倾斜角的概念；探究2：还有什么量能描述直线的倾斜程度，引导学生联系坡度比，给出斜率的概念，再讨论两点间斜率公式.但课堂上在引出探究1和观察后，出人意料的事发生了，一位女同学站起来回答“可以用斜率描述”，学生的回答出乎了教师的预设.如何处理学生这一“突发性问题”，下面是笔者运用较成功的一次“教学对话”.

对话1：“斜率是什么？”如果学生按照课本的定义回答斜率是倾斜角α的正切值，教师在追问倾斜角α是什么？自然将学生研究的视角回到教学预设上来.但是学生的回答又一次出乎教师的预设，学生说：“斜率k=，其中x、x、y，y表示点的坐标.”显然学生的回答

1212使教师的教学预设又一次落空，再继续下去必然打乱之前的教学设计.

对话2：“你是怎么获得的？”学生说：“书上有的.”课堂学生哄然大笑.此时教师将板书，放弃了原先的教学设计.

对话3：“我们说两点确定一条直线，对所有的直线都存在k吗？”让学生共同讨论，并结合几何画板演示，明确只要确定两点，当x1≠x2时都有k的存在.

对话5：“能不能用坡度（比）来表示倾斜程度呢？坡度（比）能满足我们研究直线的需要吗？它有哪些局限性？”引导学生回忆起坡度问题，通过坡度比与斜率的对比，不断完善斜率的概念.

对话6：“所以我们有继续研究斜率k的必要，斜率k取值与P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有关吗？”通过几何画板，在点不断的运动过程中，引导学生理解“坡度”实际就是“α的正切值”，从而引入倾斜角的概念.

对话是一种课堂教学手段，它能反映教师的教学策略和教学机智.通过对话，让设计的教学活动有利于学生交往过程的开展，让每位学生都参与、思考，都有机会把他们的思维呈现出来，我们的教学才能真正有效.其实苏教版教材就是先给出公式，再给出斜率的概念，再在研究中给出倾斜角的概念.

今天，我们在强调教学方式变革的同时，对于数学知识内涵的理解，本质的把握亦不容轻视.事实上，数学教师对数学知识的反思是数学教师不断优化MPCK的过程，是不断进行创造性教学的过程，是不断理解学生思维的过程.当然，在反思的过程中，应该采取溯本求源和刨根问底的态度，不迷信权威和课本，不片面或孤立地看问题，注意用高等数学的知识与方法进行解读，提高自身数学素养，从一般教师向高水平教师转化.

（感谢英国南安普敦大学数学与科学教育研究中心主任范良火教授指导.）

1.张红，孙立坤，李昌勇.高观点下的初等数学与数学教师MPCK的优化案例剖析［J］.数学通报，2009（7）.

2.胡典顺.MPCK的发展路径：学会反思——基于若干案例的思考［J］.数学通讯，2012（10）.

3.胡典顺，何穗.MPCK视角下的指数函数的单调性［J］.数学通报，2012（4）.

4.李渺.优秀教师课堂MPCK的特点——基于两则教学案例的比较研究［J］.数学通报，2013（4）.

5.张宗余.追问——应对课堂生成性问题的有效方法［J］.数学教学，2013（12）.

6.张宗余，钮晶莹.等差数列概念课教学［J］.数学教学，2004（7）.

7.贺明荣.浅析MPCK视角下的解题教学［J］.中学数学（上），2013（19）.