稳定为前提，思维为导向——2016年高考数学全国I卷理科试卷评析及高三复习建议

☉安徽省合肥市教学研究室 许晓天

稳定为前提，思维为导向
——2016年高考数学全国I卷理科试卷评析及高三复习建议

☉安徽省合肥市教学研究室 许晓天

习惯了十年安徽省自主命题复习的安徽教师，对于2016年回归全国I卷的考试尽管准备充分，但是心理总感焦虑，更是一份期待.直到6月8日下午数学考试结束，与考生的交流中，教师的“释然”感油然而生.大家一致认为试卷：内容稳定，梯度合理，源于教材，突显思维.下面以2016年全国I卷理科试卷为例，谈谈对试卷的若干思考和高三复习的一些建议.

一、试卷评析

针对使用全国I卷考生的人数多达几百万，“总体”数量庞大，各地教育发展不均衡，“个体”差异显著的重要特点，全国卷多年秉持：试卷结构固定，内容平稳、梯度合理和区分度良好的特点.今年的理科I卷数学试卷一如既往地坚持了全国卷的这个优良传统，并加大了对学生知识面和思维力的考查.就试卷结构而言和以前一样设置了必考和选考部分，其中必考内容依然是5本必修加选修2-1、选修2-2和选修2-3，选考内容是选修4-1（几何证明选讲）、选修4-4（坐标系与参数方程）和选修4-5（不等式选讲）.试卷注重考查基础知识、基本技能和基本方法，涉及内容大多是全国卷的常规考点，并突出了对考生知识面与数学思维能力、转化化归能力及创新思维能力的考查.试题的难度由易到难以阶梯式的方式呈现，不论是何种程度的学生都有自己的得分点，给学生充分的人文关怀，同时又设置了一些区分度较高的试题，如选择题最后两道题、填空题最后一道题以及解答题第20题和21题等，能有效考查了学生的数学能力，可以帮助不同层次的高校选拔出所需的人才.

（一）内容稳定，稳中有变

题号 2014年 2015年 2016年1 集合 复数 集合2 复数 三角函数 复数3 函数的奇偶性 命题的否定 等差数列4 双曲线 概率 几何概型

5 概率 双曲线 双曲线6 三角函数 立体几何 立体几何（三视图）7 程序框图 平面向量 函数的图像8 三角函数 三角函数 指数与对数函数9 命题 程序框图 程序框图10 抛物线 二项式定理 抛物线11 函数的零点 立体几何（三视图） 立体几何12 立体几何（三视图） 不等式 三角函数13 二项式定理 函数的奇偶性 平面向量14 逻辑推理 圆 二项式定理15 平面向量 线性规划 等比数列16 解三角形 解三角形 线性规划17 数列 数列 解三角形18 概率 立体几何 立体几何19 立体几何 统计 概率20解析几何（椭圆） 解析几何（抛物线） 解析几何（椭圆）21 导数 导数（零点） 导数（零点）22 选修4-1：几何证明选讲23 选修4-4：坐标系与参数方程24 选修4-5：不等式选讲

上表中给出了最近三年全国I卷理科试题的考点分布，从表中可以看出今年的全国I理科试题依然全面考查了高中所学的主干知识：基本初等函数、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计及导数.结合近三年的试题看，试卷具有稳中有新、稳中有变的特点，每年都有新增的不同于往年的考点.如今年的第4题就考查了平时大家关注度不高的几何概型、第16题考查了应用型的线性规划问题.另外全国卷解答题的考点位置相对固定，其中必考部分第17题每年都是三角函数或解三角形与数列这两种题型中的一种，相对应的填空题（16）可能性较大的是另外一种题型，以便这两种题型在整体上达到平衡.但今年稍有不同，选择题（3）和填空题（15）分别考查了基本的等差和等比数列的知识，问题难度不大.解答题（17）考查了解三角形的知识，属于简单题，但选择题（12）考查了函数y=sin（αx+φ）的性质，难度较大，是否有加强三角函数和解三角形知识点考查的命题意图？这也体现了“稳中有变”的命题思路.解答题的立体几何、统计和概率按照问题的难易程度分别出现在第18和19题，解析几何出现在第（20）题，第21题是导数题.选考部分每年都是选修4-1（不等式证明选讲）、选修4-4（坐标系和参数方程）、选修4-5（不等式选讲）三部分别命制一题，学生从三题中任选一题作答，固定不变.

（二）立足基础，梯度合理

仔细做完整套试卷后，就会发现今年的课标I卷数学理科试卷遵循了《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，全面考查了考生对高中所学基础知识的掌握情况.从试卷整体看，选择题前6题属于简单题，后继的4题属于中档题，最后两题难度较大.填空题前3题是简单题，最后一题需要很强的阅读提取信息、建模和准确作图的能力，因而有一定的难度.选择题和填空题中的简单题是指重点考查了学生“四基”的问题，只要学生基本功扎实，都可以顺利解决这些问题.解答题第17题和第18、19、20题的第一小问都是较简单的基本问题，20题第二问和21题有一定的难度.通过统计发现试卷中有100分左右的基础题型，其他的问题，虽然有一定的难度，但都在考试大纲要求的范围以内，旨在让试卷有合适的区分度，有利于高校选拔人才.另外，从解答题的解答来看，虽然题目涉及内容的位置相对固定，但从难易程度看，基本上是按照大多数学生的认知能力，由易到难依次递进，这样有利于不同层次思维能力学生的考场发挥，说明专家在命题前已经拟定了每一题的难度系数.对于“三选一”的选考问题，三题设计难度基本相当，也属于“简单题”.

（三）能力立意，适度创新

对数学能力的考查，考纲强调：“对能力的考查，以思维能力为核心全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合学生实际.”这里的“各种能力”，包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.今年全国卷I理科试题，很多问题都要求学生有很好的思维能力，特别是创新意识的考查有所增强.如一般情况下考查立体几何中的线线、线面和面面关系，常常借助长方体、正方体或多面体进行考查，但今年理科第11题命题专家，用学生非常熟悉的正方体为载体，过一顶点在正方体外作一与正方体内一个面平行的平面，在体现对学生人文关怀的同时，加大了对学生空间想象能力的考查，命题力求继承中体现创新.

例1（理科11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，平面α//平面CB1D1，平面α∩平面ABCD=m，平面α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）.

分析：该题是一道没有给出图形的立体几何体，充分考查了考生的空间想象能力，不同层次的学生会有不同的解题思路，会选用不同的解法，也反映了考生不同层次的能力.

方法1：如图1所示，以A为顶点再补一个全等的正方体ADEF-A1D1E1F1，则易证EF1∥CB1，AE∥B1D1，则平面AEF1∥平面CB1D1，而平面AEF1过正方体的顶点A，故平面AEF1就是平面α，而平面AEF1∩平面ABCD=AE，平面AEF1∩平面ABB1A1=AF1，则m，n所成角就是直线AE和AF1所成的角，即∠EAF1，而△AEF1为等边三角形，因此，故选A.

而空间想象能力能力强的考生会采取口算的方法即可解决：

图1

图2

方法2：如图2所示，易知平面A1BD∥平面CB1D1，平面α∥平面CB1D1，故平面α∥A1BD.又平面α∩平面ABCD=m，则m∥BD.同理可得n∥A1B.故m，n所成角的大小与直线BD，A1B所成的角大小相等，即∠A1BD，而△A1BD为等边三角形，因此sin∠A1BD=，故选A.

（四）源于教材，高于教材

教材是课程标准的重要载体，是教与学的重要资源.每年的高考试题都蕴含着课本中重要的数学思维方式和思想精髓.今年的试卷中有不少试题都能在教材中找到原型，如第4题的几何概型问题与人教A版必修3第136页例1很相似；第16题与人教A版必修1第87页简单线性规划问题的引例如出一辙，而这种应用题型由于包含的信息量较大，学生首先要静下心来设出题目中包含的未知量，再寻找未知量之间的不等关系，转化为线性规划中整点最优解的问题.又人教A选修2—1第49页习题

2.2 A组第7题：

课本习题：如图3，圆O半径为定值r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

图3

例2 （理科20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）（省略）.

分析：两问题命题的载体都是圆，课本中问题借助线段中垂线性质转化为：QO+QA=OQ+QP=OP=r，从而根据椭圆定义解决；而20题问题（Ⅰ）解题是利用等腰三角形两腰相等，推出|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，y也等于半径.从本质上说，把课本问题中延长PA交圆O于B，连结OB、AQ.再去掉直线l，改成QA∥OB.这可能就是高考题生成的过程.

可以说，第20题是一道源于教材、高于教材的难得的好题.

图4

（五）突出思想，注重通法

考纲要求：“从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.”如理科试卷第5、8、10、11、12、20均考查到了学生的转化化归的思想方法，第7、12、16、24题用到了数形结合的思想，第21题则考查了分类讨论的思想.并且解题的方法都可以用常规方法解决，下面举两例：

例3（理科3）已知等差数列｛an｝前9项的和为27，a10=8，则a100=（）.

A.100 B.99 C.98 D.97

分析：这是一道简单的数列问题，但是在答题时可能会有不少考生想利用等差数列的性质来寻找特殊技巧来做题，在这里反而得不偿失，老老实实运用通式通法利用等差数列的通项公式和前n项和公式得到关于a1，d的方程组求出首项和公差，从而问题迎刃而解.此题突出了方程组思想和通性通法的考查.

例4（理科21题） 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）（略）.

分析：第（Ⅰ）问涉及含参数的零点问题，学生非常熟悉分离变量的方法，也是通性通法.问题（Ⅰ）应用此法很容易解决.

解：当x=1时，f（1）=-e，x=1不是零点；

当x∈（-∞，1）时，g（′x）＜0；

当x∈（1，+∞）时，g（′x）＞0.

所以g（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.

当x∈（-∞，1）时，g（x）＜0，当x→-∞时，g（x）→0，

又当x→1时，g（x）→-∞，又g（2）=0，

故函数（fx）有两个零点，只需-a＜0，即a＞0.

二、复习建议

2016年的高考已经拉下了帷幕，而2017年高考复习在即，怎样尽可能做到高三“复习教学与高考评价”的统一，是我们高三复习有效性的关键.根据2016年理科数学I卷的评析，给参加全国卷I理科考生复习教学提出以下建议：

（一）全面复习，把握常考内容

从2016年的全国卷I理科试题可知，考纲中出现的考点，哪怕是以往很少出现的题型或大家认为不很重要的知识，我们都不应该小觑，如几何概型和线性规划.

从多年的全国考卷统计可以看出，全国卷最大的特点是稳定，对考生将来学习和工作起到奠基作用的内容，高考都坚持常考不变.常考的题型很多，仅举一例：今年考生觉得难度最大的第21题，我们关注的是连续两年的压轴题都考到了函数的零点问题，可知零点问题是近期高考命题的重点和热点内容，是帮助高校选拔优秀人才的有效把关试题.

因此，高三复习首先一定要全面，对考试大纲出现的知识点都要面面俱到，不可偏废.在此基础之上，教师要依据统计出近十年全国卷常考内容和题型种类，对这些内容要针对性的训练，避免“眉毛胡子一把抓”平均使劲，在全面复习的基础之上，尽可能达到与高考题型的一致.

（二）立足教材，注重基础与拓展

从前面的试卷分析可以看出来，整套试卷基础题居多，而且有很多题目都是来自课本原题的变形，还进行了拓展与创新.所以我们在进行高三复习的时候一定要以课本为本，不能过度地依赖辅导资料.在对高中学校进行视导时发现，有不少学校的老师在进行一轮复习时从头到尾都是一本辅导资料，上课时对照资料上的内容照本宣科，没有一点自己对高考复习的思考和想法，这样本末倒置的复习，一定低效.我们知道教材是知识的载体，是课标的逻辑呈现，是数学试卷命制的原材料、重要来源.高考试题“源于教材高于教材”是减轻学生负担又达到提高研究能力的重要策略.因此在进行高考复习时要回归教材，用好教材，关注教材中基础知识，不能放过每一个细节.同时，对课本中的典型例题和习题要进行变式和拓展，开阔学生的视野和思维，以高效适应高考测量的考试要求.

（三）淡化技巧，倡导通性与通法

通过前面的试题分析可知，近三年的全国I卷试题几乎都可以用常规方法即通性通法解决，并且新题不难、难题不怪.因此，在平时的复习中要多注重基本的解题方法，注重数学思想的渗透和一般解题方法的归纳总结，充分体会通性通法在解题中的作用，系统掌握知识间的内在联系，多采用具有典型思想方法的例题和习题，舍弃偏、难、怪的问题，淡化特殊技巧.特别摒弃对某一自己感兴趣的问题，不顾学生认知水平，大玩解题技巧，展示自己多年来“研究成果”，似乎这样才能够体现老师的水平.要知道教师的教是为了促进和维持学生的学习，不是为了教而教，更不是为了展示教师的能力.

（四）培养思维，凸显能力与创新

从近三年全国卷I理科的试卷，每年都在前几年基础上的继承中有所创新.特别是2015年的第16题和2016年的第11题，都给我们教师和学生“眼睛一亮”的感觉，倍感命题专家的智慧.而思维能力贯穿在任何学习和考试的每一环节，创新问题的解决对学生的思维和综合素养要求更高.因此，高三复习中要突出学生的思维训练，培养创新意识.不能让学生在“茫茫题海”中“随波逐流”，这纯属“体力”的训练，无疑对学生“脑力”锻炼有百害而无一利.高三复习寻找知识之间联系，形成学生自己的认知结构，并使得学生认知结构具有开放性；典型问题的解决和拓展，对学生数学思想、数学思维、数学解题和创新意识都有极高的要求，这都为学生在高考中需要极高思维能力和创新意识问题的解决，奠定良好基础和保证的有力措施.

总之，唯有仔细研读考纲、归纳真题和分析走向，才能把控高考复习的内容和方法，使我们的高三复习务实和高效，以期最终达到“教学与评价”的统一！